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【摘要】本文以《相遇问题》的教学设计与评析为例，论述在具体教学中借助多样素材帮助学生理解“相遇问题”，通过问题引入，回顾经验;借助图形，理解模型;多样变式，丰富模型等活动，借助图形操作、直观对比和反思迁移策略，引导学生感悟解决问题中“两积之和”的结构，提升解决问题的能力。
【关键词】《相遇问题》 整合素材 深化模型
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）25-0062-04
《相遇问题》是人教版数学四年级上册第四单元《速度时间路程》的课后补充内容。虽然人教版教材中没有相关的教学内容，但五年级上册教材出现了借助《相遇问题》的模型来列方程解决问题的习题。因此，在教学四年级上册教材《速度时间路程》一课之后补充相应的“相遇问题”内容，有利于学生建立相遇问题的模型，深入理解速度、时间、路程之间的关系，为学生后续的学习打下基础。
一、教材分析
针对人教版教材相关习题的分析，笔者认为《相遇问题》的教学可以关注如下四个方面。
（一）关注素材的整合
人教版教材中有大量的好题，虽然这些习题分散在不同单元、不同年级，但它们有着相同的结构，即两积之和的结构。教师在设计教学中需要运用整合教材的方法，把这些习题按照一定的逻辑进行组合，促进学生解决问题能力的提升。而《相遇问题》属于两积之和的模型，教材中有着大量类似的习题，教师通过收集、整合、改编这些素材，有利于加强学生对知识点的理解。
（二）注重图形的表征
浙江省2019年中小学质量监测相关数据显示，四年级学生在利用画图来解决问题的相关能力较为薄弱，即很多学生并不知道如何利用画图表征和分析问题。因此，教师在数学课堂中给予学生更多的借助画图分析和表征问题的机会，会对他们提升问题解决能力有所帮助。
（三）深化模型的理解
四年级学生对“相遇问题”相关知识并不陌生，但他们并不明白为什么可以这样计算、其中有什么联系等。因此，教师要引导学生感悟模型的发生和发展过程，让学生能够把新旧模型、正向逆向模型等进行联系与扩展，从而深入理解《相遇问题》模型问题。
（四）沟通习题的联系
数学知识之间有着千丝万缕的联系，解决数学问题的模型更是如此。如果把相遇问题的模型与生活中其他速度类问题进行巧妙沟通，那么对学生理解该模型、提升解决问题的能力将会有较大的帮助。
二、教学目标
基于以上思考，确定教学目标如下。
1.经历解决具体生活问题的过程，借助实物和图形的直观演示和表征，逐步构建相遇问题的数学模型。
2.经历从问题情境和已有数量关系出发解决新问题的过程，不断深入感悟和丰满模型，有效培养学生利用画图分析解决问题的能力，以及培养学生解决问题的迁移能力。
3.经历不断观察、对比、交流与归纳等学习活动，让学生感受生活问题的数学化，培养学生的数学应用意识和模型思想。
三、教学过程
（一）问题引入，回顾经验
1.口答习题，回顾关系
师：同学们，这里有几个问题，你们能解决吗？（学生逐一回答）
课件出示：
[（1）小明每分钟步行80米，5分钟行多少米？
（2）一辆汽车每小时开40千米，6小时共开多少千米？
（3）火箭速度15千米/时
师：刚才我们解决了这几个问题，那么，解题的过程中你们又是怎么想的呢？
生1：比如第一题，先找到小明每分钟行的路程，再乘时间，就可以算出路程。
生2：就是利用“速度×时间=路程”来解决。
师：是的，我们都是利用了“速度×时間=路程”这个关系来解决问题。
2.沟通数形，回顾线段图
师：我们再来看，第一题可以用这个图来表示吗？
课件变化（隐去第三题的相关信息）：
（1）小明每分钟步行80米，5分钟行多少米？
生1：可以的。这里的一小段表示小明每分钟行80米，有这样的5段就是5分钟，可以求出一共行走的路程。
师：很好。那第二题呢，可以吗？
（2）一辆汽车每小时开40千米，6小时共开多少千米？
生2：不行，因为题目中提出开车6小时，而这里只有5段，不能表示。
生3：也可以，只要增加一段就可以了。这一段就表示每小时行40千米，求一共行多少千米？
40千米/时
一共行多少千米？
师：说得很清楚，看来在解决问题时，你们已经学会用线段图来表示题目的意思。
【评析】这三道口答题虽然简单，但能充分调动学生学习的积极性，有效地回顾利用“速度×时间=路程”这个关系来解决问题，以及利用线段图表征问题等经验，为后续的学习打下基础。同时，通过讨论画图为后续的画线段图打下基础。
（二）借助图形，理解模型
1.讨论习题，解读信息
师：刚才我们研究的是一个人、一辆车行驶的问题，现在我们变一下，变成两个人。
课件出示：小明与小红从两家同时出发，相向而行，小明每分钟行80米，小红每分钟行60米，4分钟后相遇，他们两家相距多少米？
师：仔细观察一下，问题中有哪些地方需要注意的？
生1：他们是相向而行。
生2：他们同时出发。
生3：问题是要求两地相距多少米。
……
师：好的。我们一起来看一下动画。（课件播放动画）
2.画线段图，解决问题 师：对这样的问题你能用线段图来表示吗？（生：可以。）请你们先尝试画一画图，然后列式解决问题。（学生操作）
3.数形结合，理解模型
师：老师收集了几种方法，我们一起来看一下。
展示一：
小明：80[×]4=320（米）
小红：60[×]4=240（米）
一共：320+240=560（米）
师：请介绍一下自己的想法。
生1：小明和小红都走了4分钟，所以给两人都画了4段。小明的速度是80米/分，小红的速度是60米/分，所以用80乘4就是小明的路程，60乘4是小红的路程，两个路程相加得出总的路程。
展示二：
（80+60）[×]4=560（米）
生2：我是先求出小明和小红一分钟走的路程，然后用路程去乘他们行走的时间。
师：谁能把他的意思用画图的方式表示出来。
生3：左边一段是小明每分钟行的，右边一段是小红每分钟行的。他们相加就是1分钟共行的路程，一共有这样的四组线段，所以用（80+60）×4=560（米）。
师：是的，这样连一连，可以让我们看得更加清楚。
展示三：
师：为了让大家更容易理解，老师把这样的图“请”到黑板上来。谁愿意再来解释一下这个图是什么意思？
生4：这里的红色一段就是小明的速度，黄色一段是小红的速度，把它们加起来就是一分钟共行的路程。（引导学生移动线段，把图整理如下）
4.对比关系，提炼模型
师：同学们，上面的一组线段是不是更加清楚了？那么这一组线段表示的是什么？
生5：一组线段表示小明和小红每1分钟共行的路程，四组线段表示他们一共行了4分钟。
师：那是不是利用了“速度×时间=路程”这个关系来解决问题？（生：是的。）这里的80+60还叫速度吗？
生1：不是速度了，可以叫速度和。
师：是的。把两个人的速度合在一起就可以叫速度和。它们的关系是怎样的？
生2：速度和×时间=总路程。
师：刚才我们用两种方法都求出了总路程，那么他们之间又有什么不同的地方呢？让我们再来回顾一下。
课件出示：
师：是的。第一种方法是用“速度×时间”，算出小明和小红的路程;而第二算法是先求两人的速度和，再用速度和去乘共同行驶的时间，最后算总路程。
【评析】“相遇问题”对学生来说并不陌生，很多学生还会运用“速度和乘时间”求总路程。因此，教师要把教学重点放在理解和沟通“速度和×时间=路程”和原來关系之间的联系和区别。通过引导学生围绕线段说一说、连一连、摆一摆等活动，从多种角度表征和理解速度和，同时开展“速度和×时间=路程”和“速度×时间=路程”的讨论与比较，不断扩展解决问题的结构，使学生深入理解相遇问题模型。
（三）多样变式，丰富模型
1.相反变式，感悟模型
师：接下来，我们继续看大屏幕，题目要变一下。
课件出示：
师：想一想，上面的哪个问题也可以用这个线段图来表示？同桌可以交流一下。
师：现在老师来做个调查，认为第一个可以的请举手，第二个呢？（学生举手）谁愿意来说一说可以怎么表示？
生1：我认为第一个可以，第二个不可以。因为第一个是相向而行，第二个是背向而行。
生2：我觉得第二个也可以，虽然是背向而行，但题目中讲了是从同一个地点出发的。
师：如果背向而行可以表示上面的问题，那么能用“速度和×时间=总路程”来解决吗？
生3：可以的。因为左边这一段就表示80米，右边这一段是60米，把他们相加就是1分钟行的路程，这样一共有5分钟，所以可以用（80+60）×5=700（米）。
课件出示：
师：是的。前面是相向而行（板书），这里是背向面行，虽然行走的方向不同，但他们解决问题的方法却是相同的。
【评析】学习完经典习题之后，笔者设计了一些反向变式，围绕《相背问题》的讨论，让学生再次感受“速度和×时间=路程”的关系，更重要的是让学生感受到：原来这样的相背问题可以运用类似的方法来解决，从而扩充《相遇问题》的内涵。
2.公式变式，全面理解
师：这幅图的意思你们看懂了吗？谁来说说它表示的是什么问题呢？
课件出示：
生1：甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，两地相距440千米，他们从两地出发几小时后相遇？
师：非常好！我们一起来看课件。
课件出示：
（1）A、B两地相距440千米，甲乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙每小时行50千米。几小时后两车相遇？
（2）小明和小红两家相距360米，他们同时出发，相向而行，小明每分钟走70米，出发3分钟后相遇，小红每分钟走几米？
师：上面两题你们能画出线段图并解决问题吗？（学生独立操作，展示交流。）
师：我们一起来看看这个同学的方法。
展示一：
师：他的方法正确吗？（正确）
展示二：
师：第二题，请大家仔细看一下，问题出在哪里？
生1：150是小红3分钟走的路程，所以150还需要除以3。
生2：这里的150是指上面的一整段，而我们要求的是小红的速度，所以还需要把150平均分成3段。
展示三：
师：再来看看刚才这两种算法，想一想，与我们今天学习的方法一样吗？ 生1：第一种方法是求时间，第二种方法是求另一个速度。
生2：第一种用总路程÷速度和=时间，第二种先用总路程÷时间=速度和，再用速度和减去另一个速度。
师：其实你们说得都很有道理。虽然随着条件和问题的變化，我们想到了“总路程÷时间=速度和”和“总路程÷速度和=时间”这两个关系，但它们都是建立在前面关系的基础上进行思考和解决问题。
【评析】上面两道习题是相遇问题公式的变式，通过解决问题，学生可以感悟与提炼不同习题背后的数量关系。同时借助对比与交流，使学生了解到公式之间有着紧密的联系，它们都是由“速度和×时间=路程”演变而来，帮助学生理解不同数量关系之间的联系与区别，促进学生全面深入地理解相遇问题模型。
3.迁移变式，拓展模型
师：同学们，知道今天学习的内容是什么吗？
生1：行程问题。
生2：相遇问题。
师：是的，我们今天学习的就是行程问题中的相遇问题。刚才我们用画图的方法解决了很多行程的问题，那么，生活中还有哪些问题也可以用这样的方法来解决呢？
课件出示：
师：这是挖隧道问题，可以用画图的方法来解决吗？
师：其实生活还有很多问题，比如两个人跳绳、两个人打字等问题都可以用这样的方法来解决。
课件出示：
【评析】在课堂结束环节揭题，其实就是让学生在慢慢解决问题的过程中，逐步渗透扩充相遇问题的模型，促使学生有效地理解。把相遇问题的方法迁移到生活中的其他速度类问题，有效沟通了不同习题之间的联系，使得学生再次感悟“速度和×时间=总数”这种模型，也为今后学生解决这类问题打下基础，有效提升学生解决问题的能力。
虽然“相遇问题”并非四年级数学教材内容，但教师要善于整合教材资源，合理设计内容来提升解决问题教学的质量。解决问题本身也是帮助学生感悟模型思想的主要途径之一，随着课程改革的深入，越来越多的教师关注数学思想的感悟与运用，因此，教师在解决数学问题的教学中要善于收集、整理、对比和运用材料，通过对比、沟通和迁移感悟解决问题的变与不变，有效提升学生解决问题的能力。
注：本文作者参加2019年杭州市小学数学课堂教学观摩评比活动中荣获一等奖。
【作者简介】孔忠伟（1984— ），浙江杭州人，大学本科学历，高级教师，区兼职教研员，区名师导航站站长，研究方向为小学数学教学。
（责编 杨 春）
【关键词】《相遇问题》 整合素材 深化模型
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）25-0062-04
《相遇问题》是人教版数学四年级上册第四单元《速度时间路程》的课后补充内容。虽然人教版教材中没有相关的教学内容，但五年级上册教材出现了借助《相遇问题》的模型来列方程解决问题的习题。因此，在教学四年级上册教材《速度时间路程》一课之后补充相应的“相遇问题”内容，有利于学生建立相遇问题的模型，深入理解速度、时间、路程之间的关系，为学生后续的学习打下基础。
一、教材分析
针对人教版教材相关习题的分析，笔者认为《相遇问题》的教学可以关注如下四个方面。
（一）关注素材的整合
人教版教材中有大量的好题，虽然这些习题分散在不同单元、不同年级，但它们有着相同的结构，即两积之和的结构。教师在设计教学中需要运用整合教材的方法，把这些习题按照一定的逻辑进行组合，促进学生解决问题能力的提升。而《相遇问题》属于两积之和的模型，教材中有着大量类似的习题，教师通过收集、整合、改编这些素材，有利于加强学生对知识点的理解。
（二）注重图形的表征
浙江省2019年中小学质量监测相关数据显示，四年级学生在利用画图来解决问题的相关能力较为薄弱，即很多学生并不知道如何利用画图表征和分析问题。因此，教师在数学课堂中给予学生更多的借助画图分析和表征问题的机会，会对他们提升问题解决能力有所帮助。
（三）深化模型的理解
四年级学生对“相遇问题”相关知识并不陌生，但他们并不明白为什么可以这样计算、其中有什么联系等。因此，教师要引导学生感悟模型的发生和发展过程，让学生能够把新旧模型、正向逆向模型等进行联系与扩展，从而深入理解《相遇问题》模型问题。
（四）沟通习题的联系
数学知识之间有着千丝万缕的联系，解决数学问题的模型更是如此。如果把相遇问题的模型与生活中其他速度类问题进行巧妙沟通，那么对学生理解该模型、提升解决问题的能力将会有较大的帮助。
二、教学目标
基于以上思考，确定教学目标如下。
1.经历解决具体生活问题的过程，借助实物和图形的直观演示和表征，逐步构建相遇问题的数学模型。
2.经历从问题情境和已有数量关系出发解决新问题的过程，不断深入感悟和丰满模型，有效培养学生利用画图分析解决问题的能力，以及培养学生解决问题的迁移能力。
3.经历不断观察、对比、交流与归纳等学习活动，让学生感受生活问题的数学化，培养学生的数学应用意识和模型思想。
三、教学过程
（一）问题引入，回顾经验
1.口答习题，回顾关系
师：同学们，这里有几个问题，你们能解决吗？（学生逐一回答）
课件出示：
[（1）小明每分钟步行80米，5分钟行多少米？
（2）一辆汽车每小时开40千米，6小时共开多少千米？
（3）火箭速度15千米/时
师：刚才我们解决了这几个问题，那么，解题的过程中你们又是怎么想的呢？
生1：比如第一题，先找到小明每分钟行的路程，再乘时间，就可以算出路程。
生2：就是利用“速度×时间=路程”来解决。
师：是的，我们都是利用了“速度×时間=路程”这个关系来解决问题。
2.沟通数形，回顾线段图
师：我们再来看，第一题可以用这个图来表示吗？
课件变化（隐去第三题的相关信息）：
（1）小明每分钟步行80米，5分钟行多少米？
生1：可以的。这里的一小段表示小明每分钟行80米，有这样的5段就是5分钟，可以求出一共行走的路程。
师：很好。那第二题呢，可以吗？
（2）一辆汽车每小时开40千米，6小时共开多少千米？
生2：不行，因为题目中提出开车6小时，而这里只有5段，不能表示。
生3：也可以，只要增加一段就可以了。这一段就表示每小时行40千米，求一共行多少千米？
40千米/时
一共行多少千米？
师：说得很清楚，看来在解决问题时，你们已经学会用线段图来表示题目的意思。
【评析】这三道口答题虽然简单，但能充分调动学生学习的积极性，有效地回顾利用“速度×时间=路程”这个关系来解决问题，以及利用线段图表征问题等经验，为后续的学习打下基础。同时，通过讨论画图为后续的画线段图打下基础。
（二）借助图形，理解模型
1.讨论习题，解读信息
师：刚才我们研究的是一个人、一辆车行驶的问题，现在我们变一下，变成两个人。
课件出示：小明与小红从两家同时出发，相向而行，小明每分钟行80米，小红每分钟行60米，4分钟后相遇，他们两家相距多少米？
师：仔细观察一下，问题中有哪些地方需要注意的？
生1：他们是相向而行。
生2：他们同时出发。
生3：问题是要求两地相距多少米。
……
师：好的。我们一起来看一下动画。（课件播放动画）
2.画线段图，解决问题 师：对这样的问题你能用线段图来表示吗？（生：可以。）请你们先尝试画一画图，然后列式解决问题。（学生操作）
3.数形结合，理解模型
师：老师收集了几种方法，我们一起来看一下。
展示一：
小明：80[×]4=320（米）
小红：60[×]4=240（米）
一共：320+240=560（米）
师：请介绍一下自己的想法。
生1：小明和小红都走了4分钟，所以给两人都画了4段。小明的速度是80米/分，小红的速度是60米/分，所以用80乘4就是小明的路程，60乘4是小红的路程，两个路程相加得出总的路程。
展示二：
（80+60）[×]4=560（米）
生2：我是先求出小明和小红一分钟走的路程，然后用路程去乘他们行走的时间。
师：谁能把他的意思用画图的方式表示出来。
生3：左边一段是小明每分钟行的，右边一段是小红每分钟行的。他们相加就是1分钟共行的路程，一共有这样的四组线段，所以用（80+60）×4=560（米）。
师：是的，这样连一连，可以让我们看得更加清楚。
展示三：
师：为了让大家更容易理解，老师把这样的图“请”到黑板上来。谁愿意再来解释一下这个图是什么意思？
生4：这里的红色一段就是小明的速度，黄色一段是小红的速度，把它们加起来就是一分钟共行的路程。（引导学生移动线段，把图整理如下）
4.对比关系，提炼模型
师：同学们，上面的一组线段是不是更加清楚了？那么这一组线段表示的是什么？
生5：一组线段表示小明和小红每1分钟共行的路程，四组线段表示他们一共行了4分钟。
师：那是不是利用了“速度×时间=路程”这个关系来解决问题？（生：是的。）这里的80+60还叫速度吗？
生1：不是速度了，可以叫速度和。
师：是的。把两个人的速度合在一起就可以叫速度和。它们的关系是怎样的？
生2：速度和×时间=总路程。
师：刚才我们用两种方法都求出了总路程，那么他们之间又有什么不同的地方呢？让我们再来回顾一下。
课件出示：
师：是的。第一种方法是用“速度×时间”，算出小明和小红的路程;而第二算法是先求两人的速度和，再用速度和去乘共同行驶的时间，最后算总路程。
【评析】“相遇问题”对学生来说并不陌生，很多学生还会运用“速度和乘时间”求总路程。因此，教师要把教学重点放在理解和沟通“速度和×时间=路程”和原來关系之间的联系和区别。通过引导学生围绕线段说一说、连一连、摆一摆等活动，从多种角度表征和理解速度和，同时开展“速度和×时间=路程”和“速度×时间=路程”的讨论与比较，不断扩展解决问题的结构，使学生深入理解相遇问题模型。
（三）多样变式，丰富模型
1.相反变式，感悟模型
师：接下来，我们继续看大屏幕，题目要变一下。
课件出示：
师：想一想，上面的哪个问题也可以用这个线段图来表示？同桌可以交流一下。
师：现在老师来做个调查，认为第一个可以的请举手，第二个呢？（学生举手）谁愿意来说一说可以怎么表示？
生1：我认为第一个可以，第二个不可以。因为第一个是相向而行，第二个是背向而行。
生2：我觉得第二个也可以，虽然是背向而行，但题目中讲了是从同一个地点出发的。
师：如果背向而行可以表示上面的问题，那么能用“速度和×时间=总路程”来解决吗？
生3：可以的。因为左边这一段就表示80米，右边这一段是60米，把他们相加就是1分钟行的路程，这样一共有5分钟，所以可以用（80+60）×5=700（米）。
课件出示：
师：是的。前面是相向而行（板书），这里是背向面行，虽然行走的方向不同，但他们解决问题的方法却是相同的。
【评析】学习完经典习题之后，笔者设计了一些反向变式，围绕《相背问题》的讨论，让学生再次感受“速度和×时间=路程”的关系，更重要的是让学生感受到：原来这样的相背问题可以运用类似的方法来解决，从而扩充《相遇问题》的内涵。
2.公式变式，全面理解
师：这幅图的意思你们看懂了吗？谁来说说它表示的是什么问题呢？
课件出示：
生1：甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，两地相距440千米，他们从两地出发几小时后相遇？
师：非常好！我们一起来看课件。
课件出示：
（1）A、B两地相距440千米，甲乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙每小时行50千米。几小时后两车相遇？
（2）小明和小红两家相距360米，他们同时出发，相向而行，小明每分钟走70米，出发3分钟后相遇，小红每分钟走几米？
师：上面两题你们能画出线段图并解决问题吗？（学生独立操作，展示交流。）
师：我们一起来看看这个同学的方法。
展示一：
师：他的方法正确吗？（正确）
展示二：
师：第二题，请大家仔细看一下，问题出在哪里？
生1：150是小红3分钟走的路程，所以150还需要除以3。
生2：这里的150是指上面的一整段，而我们要求的是小红的速度，所以还需要把150平均分成3段。
展示三：
师：再来看看刚才这两种算法，想一想，与我们今天学习的方法一样吗？ 生1：第一种方法是求时间，第二种方法是求另一个速度。
生2：第一种用总路程÷速度和=时间，第二种先用总路程÷时间=速度和，再用速度和减去另一个速度。
师：其实你们说得都很有道理。虽然随着条件和问题的變化，我们想到了“总路程÷时间=速度和”和“总路程÷速度和=时间”这两个关系，但它们都是建立在前面关系的基础上进行思考和解决问题。
【评析】上面两道习题是相遇问题公式的变式，通过解决问题，学生可以感悟与提炼不同习题背后的数量关系。同时借助对比与交流，使学生了解到公式之间有着紧密的联系，它们都是由“速度和×时间=路程”演变而来，帮助学生理解不同数量关系之间的联系与区别，促进学生全面深入地理解相遇问题模型。
3.迁移变式，拓展模型
师：同学们，知道今天学习的内容是什么吗？
生1：行程问题。
生2：相遇问题。
师：是的，我们今天学习的就是行程问题中的相遇问题。刚才我们用画图的方法解决了很多行程的问题，那么，生活中还有哪些问题也可以用这样的方法来解决呢？
课件出示：
师：这是挖隧道问题，可以用画图的方法来解决吗？
师：其实生活还有很多问题，比如两个人跳绳、两个人打字等问题都可以用这样的方法来解决。
课件出示：
【评析】在课堂结束环节揭题，其实就是让学生在慢慢解决问题的过程中，逐步渗透扩充相遇问题的模型，促使学生有效地理解。把相遇问题的方法迁移到生活中的其他速度类问题，有效沟通了不同习题之间的联系，使得学生再次感悟“速度和×时间=总数”这种模型，也为今后学生解决这类问题打下基础，有效提升学生解决问题的能力。
虽然“相遇问题”并非四年级数学教材内容，但教师要善于整合教材资源，合理设计内容来提升解决问题教学的质量。解决问题本身也是帮助学生感悟模型思想的主要途径之一，随着课程改革的深入，越来越多的教师关注数学思想的感悟与运用，因此，教师在解决数学问题的教学中要善于收集、整理、对比和运用材料，通过对比、沟通和迁移感悟解决问题的变与不变，有效提升学生解决问题的能力。
注：本文作者参加2019年杭州市小学数学课堂教学观摩评比活动中荣获一等奖。
【作者简介】孔忠伟（1984— ），浙江杭州人，大学本科学历，高级教师，区兼职教研员，区名师导航站站长，研究方向为小学数学教学。
（责编 杨 春）