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《新课标》明确规定“初中数学的基础知识主要指代数、几何中的概念、法则性质、公理、定理以及由此内容反映出来的数学思想和方法”。可以看出，把数学思想作为基础知识的范畴是过去大纲所没有的，它既是我国数学教育多年研究的成果，也充分反映了数学思想的重要性。数学是一门思维的科学，培养学生的思维能力是数学科学的核心，而数学思想方法是对数学内容及其所使用方法本质的认识，在培养能力方面起着不可替代的作用，可以说是提高学生思维品质和能力最重要的途径。若学生在学习中能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来，能用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题，对培养学生数学思想和方法，对解决数学问题有很重要的作用。
１ 对“数形结合”概念的理解
初中北师大版教材中数形结合的内容，不完全统计达到214处，可以看出数形结合思想在初中数学教学中占据的地位，对于学生来说，到高中将是不自觉的应用过程，数学中大量数的问题后面隐含着形的信息，图形的特征也体现着数的关系，我们将抽象复杂的数量关系通过形的形象直接揭示出来，以达到“形帮数”的目的，同时我们又要运用数的规律，数值的计算来寻找处理性的方法，达到“数促形”的目的。
在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用，浓缩升华的过程。这就要求我们在教学中重视数形结合的数学思想渗透的目的，让学生逻辑思维和形象都得到提高。
２ 利用“形解数”的数形结合
2.1 数形结合在解不等式中的应用。在七年级教材（北师大版）第二章讲有理数及其运算时，引入数轴，这是点和数的一种对应，就是数形结合思想的体现，“数轴上的点”和“点所表示的数”是两个不同的概念，前者是图，后者是数，不等式解集可在数轴上表示出来，用数形结合比较形象直观，尤其是在解不等式组时，可将几个不等式解集表示在同一数轴上，这样就容易求出解集的公共部分，即不等式组的解集，举例如下：
例1：解不等式组２x-x>-x （１）■x<3 （２）
解：由（1）得x>■，解（2）得ｘ＜６，在同一数轴上表示（１）、（２）的解集 ∴原不等式组的解集为：■<ｘ<６
2.2 数形结合在方程中的应用。二元一次方程图像解中也渗透了有关数形结合的思想，利用它可以使我们解题时直观明了。
例2：解方程组x-ｙ＝５ （１）ｙ＝3－x （２）
分析与解：由（１）得ｙ＝ｘ－５在同一坐标系中作直线ｙ１＝ｘ－５及直线ｙ２＝３－ｘ的图像，有图像很直观，可得直线ｙ１与直线ｙ２交点Ｐ（４，-１）的横坐标、纵坐标分别为ｘ、ｙ的值，所以方程的解为x＝4ｙ＝-1，当然这种做法的准确性依赖于作图的准确性，一般情况不太用。一元二次方程中有关根的问题同样与图像有密切关系。
例3：如果方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５＝０两实根的大小在方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７＝０两实根之间，试求ａ的取值范围。
分析：如果联想到一元二次方程与二次函数之间的关系，有函数ｙ１＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５与ｙ２＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７的图像开口向上，且形状相同，又有公共对称轴的两条抛物线。做草图如下：
这样把问题归结为两条抛物线顶点的纵坐标间关系问题，图像已清楚反映出来。同时要考虑顶点与ｘ轴的位置关系，满足题设条件是抛物线ｙ１的顶点纵坐标不小于等于零且大于抛物线ｙ２的顶点坐标。即-ａ+5≤０－ａ＋５>ａ-7解得５a＜６
３ 数形结合在函数问题中的应用
函数与平面图形的对应，建立一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠0）中ｋ、ｂ的值与图像的相互对应关系，即ｋ＞０、ｂ＞０或ｋ＞０、ｂ＜０或ｋ＜０、ｂ＞０或ｋ＜０、ｂ＜０分别与图像的对应关系，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠0），ａ、ｂ、ｃ与图像的相互对应关系，即ａ、ｂ、ｃ的正负分别与图像的对应关系，都是数形结合的具体化。
例4：已知抛物线ｙ＝１２ｘ２＋pｘ＋q（ｐ≠0）与直线ｙ＝ｘ交于两点Ａ、Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ且ＯＡ＝ＯＢ，ＢＣ//x轴，求p、q的值。
分析：我们可依已知条件作草图，由直线的解析式y=x得出A、B两点的横、纵坐标相等，由此可以先设：点A坐标（t、t），点A与点B是否在一个象限呢？它们之间又有什么关系呢？再看条件“OA=OB”说明是两条线段的长度相等。但我们结合图形转化成几何语言，就是“点A、B关于原点对称”，那么刚才的一个小问题解决了，可以得点B的坐标为（-t、-t），但现在C点坐标还没有用t表示出来，能否找到相互的关系，“BC//x轴”迫使我们去结合图形来观察“B点、C点纵坐标相等”，那么点C坐标为（0、-t），有了A点、B点、C点的坐标，必然可以求出p、q的值。
已知条件尽管较多，却无从下手，这就迫使我们去观察所作的图形，可图形中又只有抛物线、直线一些线段等，令人感到山穷水尽，现在如果我们把已知条件和图形结合起来挖掘了一些隐藏在已知条件背后的图形特征，必然是柳暗花明又一村。
４ 利用“数解形”的数形结合
数形结合中的数，除了指实数外，还泛指代数式、等式、不等式、方程、函数及运算等，借助运算也可把复杂几何问题代数化，轻易解决它。
例5：如过等腰三角形一个顶点做一条直线，将它分成两个小的等腰三角形，求这个等腰三角形的各内角。
分析：在这里没有明确这个等腰三角形是锐角、钝角还是直角，所以我们要把各种情况都考虑进去，这样又用到了分类讨论的数学思想，但每一步总是以图形为依托用代数求解几何问题。
如图（1）分别为90°、45°、45°
如图（2）AB=BD、AD=CD，设∠Ａ＝a、∠B=∠C=β∴∠BDA=2β∴a+2β=180°∴a=180°、β=36°
如图（3）AD=CD=BC、∠Ａ＝a、∠B=∠C=β、a+2β=180°、2a=β∴a=36°、β=72°
例6：如图，过正方形ABCD的顶点C任做一条直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。求证：AE+AF≥4AB
分析：这是“形”的问题，但要直接从形入手较难，引导学生将结论变为：（AE+AF）2-4AB（AE+AF）≥０从形式上看，联想一元二次方程的判别式，从而把“形”转化为“数”的问题来解决就容易了。
证明：设AB=a，AE=m，AF=n，连接AC
则S△AEF=S△AFC+S△AEC即■mn=■am+■an∴mn=a（m＋n），设m+n=p则mn=ap这时又可以联想一元二次方程根与系数关系，可以把m、n看作是方程x2-px+ap=0的两根，而m、n为两线断的长，应为实数，故此一元二次方程有实数根。即△=p2-4ap≥0，又∵p>0（m、n为线段长度）∴p>4a∴m+n>4a即AE+AF≥4AB。这道题完全体现了“数帮形”的作用，给学生有耳目一新的作用。
总之，揭示问题的本质，用“数”准确澄清“形”的模糊，用“形”直观启迪“数”的运算，解题过程使形和数各展其长，相辅相成，达到完美的统一。
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１ 对“数形结合”概念的理解
初中北师大版教材中数形结合的内容，不完全统计达到214处，可以看出数形结合思想在初中数学教学中占据的地位，对于学生来说，到高中将是不自觉的应用过程，数学中大量数的问题后面隐含着形的信息，图形的特征也体现着数的关系，我们将抽象复杂的数量关系通过形的形象直接揭示出来，以达到“形帮数”的目的，同时我们又要运用数的规律，数值的计算来寻找处理性的方法，达到“数促形”的目的。
在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用，浓缩升华的过程。这就要求我们在教学中重视数形结合的数学思想渗透的目的，让学生逻辑思维和形象都得到提高。
２ 利用“形解数”的数形结合
2.1 数形结合在解不等式中的应用。在七年级教材（北师大版）第二章讲有理数及其运算时，引入数轴，这是点和数的一种对应，就是数形结合思想的体现，“数轴上的点”和“点所表示的数”是两个不同的概念，前者是图，后者是数，不等式解集可在数轴上表示出来，用数形结合比较形象直观，尤其是在解不等式组时，可将几个不等式解集表示在同一数轴上，这样就容易求出解集的公共部分，即不等式组的解集，举例如下：
例1：解不等式组２x-x>-x （１）■x<3 （２）
解：由（1）得x>■，解（2）得ｘ＜６，在同一数轴上表示（１）、（２）的解集 ∴原不等式组的解集为：■<ｘ<６
2.2 数形结合在方程中的应用。二元一次方程图像解中也渗透了有关数形结合的思想，利用它可以使我们解题时直观明了。
例2：解方程组x-ｙ＝５ （１）ｙ＝3－x （２）
分析与解：由（１）得ｙ＝ｘ－５在同一坐标系中作直线ｙ１＝ｘ－５及直线ｙ２＝３－ｘ的图像，有图像很直观，可得直线ｙ１与直线ｙ２交点Ｐ（４，-１）的横坐标、纵坐标分别为ｘ、ｙ的值，所以方程的解为x＝4ｙ＝-1，当然这种做法的准确性依赖于作图的准确性，一般情况不太用。一元二次方程中有关根的问题同样与图像有密切关系。
例3：如果方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５＝０两实根的大小在方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７＝０两实根之间，试求ａ的取值范围。
分析：如果联想到一元二次方程与二次函数之间的关系，有函数ｙ１＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５与ｙ２＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７的图像开口向上，且形状相同，又有公共对称轴的两条抛物线。做草图如下：
这样把问题归结为两条抛物线顶点的纵坐标间关系问题，图像已清楚反映出来。同时要考虑顶点与ｘ轴的位置关系，满足题设条件是抛物线ｙ１的顶点纵坐标不小于等于零且大于抛物线ｙ２的顶点坐标。即-ａ+5≤０－ａ＋５>ａ-7解得５a＜６
３ 数形结合在函数问题中的应用
函数与平面图形的对应，建立一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠0）中ｋ、ｂ的值与图像的相互对应关系，即ｋ＞０、ｂ＞０或ｋ＞０、ｂ＜０或ｋ＜０、ｂ＞０或ｋ＜０、ｂ＜０分别与图像的对应关系，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠0），ａ、ｂ、ｃ与图像的相互对应关系，即ａ、ｂ、ｃ的正负分别与图像的对应关系，都是数形结合的具体化。
例4：已知抛物线ｙ＝１２ｘ２＋pｘ＋q（ｐ≠0）与直线ｙ＝ｘ交于两点Ａ、Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ且ＯＡ＝ＯＢ，ＢＣ//x轴，求p、q的值。
分析：我们可依已知条件作草图，由直线的解析式y=x得出A、B两点的横、纵坐标相等，由此可以先设：点A坐标（t、t），点A与点B是否在一个象限呢？它们之间又有什么关系呢？再看条件“OA=OB”说明是两条线段的长度相等。但我们结合图形转化成几何语言，就是“点A、B关于原点对称”，那么刚才的一个小问题解决了，可以得点B的坐标为（-t、-t），但现在C点坐标还没有用t表示出来，能否找到相互的关系，“BC//x轴”迫使我们去结合图形来观察“B点、C点纵坐标相等”，那么点C坐标为（0、-t），有了A点、B点、C点的坐标，必然可以求出p、q的值。
已知条件尽管较多，却无从下手，这就迫使我们去观察所作的图形，可图形中又只有抛物线、直线一些线段等，令人感到山穷水尽，现在如果我们把已知条件和图形结合起来挖掘了一些隐藏在已知条件背后的图形特征，必然是柳暗花明又一村。
４ 利用“数解形”的数形结合
数形结合中的数，除了指实数外，还泛指代数式、等式、不等式、方程、函数及运算等，借助运算也可把复杂几何问题代数化，轻易解决它。
例5：如过等腰三角形一个顶点做一条直线，将它分成两个小的等腰三角形，求这个等腰三角形的各内角。
分析：在这里没有明确这个等腰三角形是锐角、钝角还是直角，所以我们要把各种情况都考虑进去，这样又用到了分类讨论的数学思想，但每一步总是以图形为依托用代数求解几何问题。
如图（1）分别为90°、45°、45°
如图（2）AB=BD、AD=CD，设∠Ａ＝a、∠B=∠C=β∴∠BDA=2β∴a+2β=180°∴a=180°、β=36°
如图（3）AD=CD=BC、∠Ａ＝a、∠B=∠C=β、a+2β=180°、2a=β∴a=36°、β=72°
例6：如图，过正方形ABCD的顶点C任做一条直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。求证：AE+AF≥4AB
分析：这是“形”的问题，但要直接从形入手较难，引导学生将结论变为：（AE+AF）2-4AB（AE+AF）≥０从形式上看，联想一元二次方程的判别式，从而把“形”转化为“数”的问题来解决就容易了。
证明：设AB=a，AE=m，AF=n，连接AC
则S△AEF=S△AFC+S△AEC即■mn=■am+■an∴mn=a（m＋n），设m+n=p则mn=ap这时又可以联想一元二次方程根与系数关系，可以把m、n看作是方程x2-px+ap=0的两根，而m、n为两线断的长，应为实数，故此一元二次方程有实数根。即△=p2-4ap≥0，又∵p>0（m、n为线段长度）∴p>4a∴m+n>4a即AE+AF≥4AB。这道题完全体现了“数帮形”的作用，给学生有耳目一新的作用。
总之，揭示问题的本质，用“数”准确澄清“形”的模糊，用“形”直观启迪“数”的运算，解题过程使形和数各展其长，相辅相成，达到完美的统一。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”