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运算能力的层次运算能力是一项基本的数学能力,无论是《教学大纲》,还是《考试说明》都把它列在诸项数学能力的首位。中学数学中大多数问题的解决,也都离不开运算。但是当前中学生运算能力的状况是很不如人意的。不明理算,机械地搬用运算公式;不顾运算目标,盲目推演;缺乏合理选择简捷运算途径的意识,这些都是经常可见的。不少中学生对提高运算能力缺乏足够的重视,只把“粗心”、“马虎”作为算而不对的原因。相当多的高中数学教师,尤其是一些重点中学的数学教师,只重视方法和思路的引导,对运算过程的合理性、简捷性缺乏必要的指导。这样,不仅影响了学生思维能力的发展,也必然影响教学质量的提高。因此,怎样提高运算能力的问题,已成了中学数学教学和高考复习中一个比较突出的问题。
一、运算、运算能力及其特点
在中学数学中,运算包括数值运算式的恒等变形、方程或不等式的求解、极限运算、集合的运算等。各种运算都有其各自的意义、法则和有关的运算律,都要求其结果具有存在性、唯一性和最简性。无论哪一种运算,其实质都可以理解为一种特殊的映射。
对运算能力的基本要求,传统的说法是“正确而迅速的运算能力”。“正确”是对运算结果的要求,这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。“迅速”是对运算过程的要求,要求速度快,因此,运算能力不仅包含对运算的意义、法则、公式的理解,包含对运算程序、步骤的熟练掌握,还包含对简捷的运算途径的合理选择。这就要求能够根据问题的不同条件和不同目标,灵活地运用公式、法则和有关的运算律,要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径,并善于通过观察、分析、比较,作出合理的选择,也就是说,运算能力中包含着对思维能力的要求。因而,在运算过程中,学生的思维能力和思维品质(如思维的广阔性、深刻性、灵活性)都会受到检验,并得到煅炼。运算能力的基本特点是什么呢?我认为有以下两点:
㈠、运算能力的层次性
在数学发展史上,各种运算是由简单到复杂,由具体到抽象,由低级到高级,逐步形成和发展起来的。因此,对运算的认识和掌握也必然是逐步有序,有层次的。不掌握实数的计算,就不可能掌握复数的计算,也不可能掌握式的计算,以及方程、不等式的运算;不掌握代数运算,就不可能掌握超越运算;不掌握有限运算,就不可能掌握无限运算;没有认识具体运算的基础,抽象运算的理解就难以实现。由此可见,运算能力是随着知识逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高而逐步发展的。它不是一次就可以完成的。如果说数学内容的发展是无穷尽的,那么,运算能力的提高也是永远不会终结的。
了解某种运算的知识到形成运算能力的过程也是有层次的。理解运算意义,明确运算的法则、公式,这只是了解了运算的基本知识,在此基础上,必须经过相关的训练,才能熟练掌握运算的程序和步骤,形成运算的技能,但是,要在不同问题、不同情景中,灵活地用好这种运算,还必须把技能上升到能力的层次上,把技能操作同适当的思维活动融合在一起。
㈡、运算能力的综合性
运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在,也不能离开其它能力而独立发展,运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的,它也和逻辑思维能力、空间想象能力等数学能力相互支持着,还和一个人的素质、作风(如细致、严谨、忍耐力)紧密相关。因此,提高运算能力的问题是一个综合提高的问题,要从多方面着手,要在整个中学数学教学及各科的教学过程中,着力培养,不断引导,逐渐积累,才能达到一定的水准。
在中学数学中,运算又常常作为解决某些问题,完成某种推理、判断的工具,这是运算能力综合性的又一种表现。这就要求把运算种类的选择、运算过程的设计、运算结果的取舍,同一切工作系列的推理、演绎有机地组织在一起。
在认识运算能力综合性特点时,我认为还应该考虑计算器、计算机这些先进工具的出现对运算能力要求的影响。既然使用这些计算工具有省时、省力、准确的特点,那么,过大的运算量及过于繁琐的运算操作的训练,其实际意义也就值得重新估计,当然,培养运算能力的方向也就应随之作出调整。
二、发展运算能力的大致阶段
基于以上的认识,我认为培养和发展某一种运算能力,大致经历以下三个阶段:
㈠、从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段
㈡、从运算技能上升到运算能力的阶段
㈢、在各种应用中,进一步提高运算能力的阶段
第一阶段要完成从知识到技能的过程。中心是准确理解有关知识,熟练有关运算的方法、步骤。本着“先慢后快”、“先死后活”的原则,开始时,运算步骤不宜跳跃,每一步运算的依据必须明确、清晰,运算过程的表述必须规范、有条理。组织训练时,不仅要注意适当的数量,还要注意一定的层次。这就要求我们能够根据不同运算的不同特点,不同学生的不同水平,把握好增大训练量,抓住几种基本变化就可以做到触类旁通,分几个层次更符合学生的认识规律,从而使训练取得更好的效益和效率。
随着运算技能的形成,逐渐简化运算步骤,灵活运用运算法则、公式,是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节,是引导学生认识运算的目的性,认识实施运算的途径的多样性,培养学生合理选择、简捷运算途径的意识和习惯,在各项能力全面提高的同时,促使运算能力的形成和提高,这个任务的完成,要从点滴做起,长期坚持,才能取得成效。
技能和能力的形成,还必须在今后的应用中进一步得到巩固、发展和深化。在应用过程中,运算的工具性和运算过程的思维性就更加突出了,运算的目标不一定是追求的一个简化的结果,而要为一定的推理、演绎、,判断服务。
三、合理选择简捷运算途径的基本依据
合理选择简捷运算途径,不仅是迅速运算的需要,也是运算准确性的保证,运算的步骤越多,繁度越大,出错的可能性也会增大。因而,根据问题的条件和要求,合理选择简捷的运算途径是提高运算能力的关键。在中学数学中,这种合理选择的基本依据有以下五个方面:
㈠、灵活把握数学概念,合理选择简捷运算途径
任何一种数学运算都是随着一定的数学概念的产生而出现的,都是在一定的概念系统中进行的。不少数学概念的本身就规定了相应的运算方法和途径,例如数的绝对值的概念,集合的交、并、比的概念等。不少简捷的运算途径,来源于对数学概念的灵活把握。
㈡、适当选择公式,合理选择简捷运算途径
运算公式和法则是运算的基本依据。在采取多种途径,使用不同公式都可以解决的问题中,适当选择公式有助于运算过程的合理、简捷。运用棣莫弗公式可以简捷地完成复数的乘方运算,运用韦达定理可以简化求圆锥曲线弦长的过程,三角变换的过程更离不开对公式的适当选择。
㈢、适当换元、“代块”,合理选择简捷运算途径
换元、“代块”是解决方程或不等式时用的方法,它可以把非常规问题转化成常规问题,使问题简捷地得到解决。
㈣、选适当的解题策略,合理选择简捷运算途径
数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略,自觉运用数学思想不仅有助于提高学生的思维水平,发展数学能力,也有助于合理选择简捷运算途径。
㈤、根据不同题型或题目的不同要求,合理选择简捷运算途径
选择题是当前一种很重要的题型,选择支既对解题有干扰作用,也有提示作用。充分利用这种提示作用,也可以获得简捷的运算途径。
总之,在中学数学中,运算的种类多种多样。运算能力是随着数学内容不断拓宽、加深,诸多能力不断提高而逐渐培养和发展起来的。现代运算能力要求把知识、,技能和思维能力有机地结合起来。尽管我们对计算量应作适当控制,也不必过多地去研究运算的特殊技巧,但是,运算能力必须经过长时间科学地训练,不断地引导,才能逐步形成,只有在今后的各种应用才能得到深化和提高。
(作者单位:425700湖南省新田县第一中学)
一、运算、运算能力及其特点
在中学数学中,运算包括数值运算式的恒等变形、方程或不等式的求解、极限运算、集合的运算等。各种运算都有其各自的意义、法则和有关的运算律,都要求其结果具有存在性、唯一性和最简性。无论哪一种运算,其实质都可以理解为一种特殊的映射。
对运算能力的基本要求,传统的说法是“正确而迅速的运算能力”。“正确”是对运算结果的要求,这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。“迅速”是对运算过程的要求,要求速度快,因此,运算能力不仅包含对运算的意义、法则、公式的理解,包含对运算程序、步骤的熟练掌握,还包含对简捷的运算途径的合理选择。这就要求能够根据问题的不同条件和不同目标,灵活地运用公式、法则和有关的运算律,要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径,并善于通过观察、分析、比较,作出合理的选择,也就是说,运算能力中包含着对思维能力的要求。因而,在运算过程中,学生的思维能力和思维品质(如思维的广阔性、深刻性、灵活性)都会受到检验,并得到煅炼。运算能力的基本特点是什么呢?我认为有以下两点:
㈠、运算能力的层次性
在数学发展史上,各种运算是由简单到复杂,由具体到抽象,由低级到高级,逐步形成和发展起来的。因此,对运算的认识和掌握也必然是逐步有序,有层次的。不掌握实数的计算,就不可能掌握复数的计算,也不可能掌握式的计算,以及方程、不等式的运算;不掌握代数运算,就不可能掌握超越运算;不掌握有限运算,就不可能掌握无限运算;没有认识具体运算的基础,抽象运算的理解就难以实现。由此可见,运算能力是随着知识逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高而逐步发展的。它不是一次就可以完成的。如果说数学内容的发展是无穷尽的,那么,运算能力的提高也是永远不会终结的。
了解某种运算的知识到形成运算能力的过程也是有层次的。理解运算意义,明确运算的法则、公式,这只是了解了运算的基本知识,在此基础上,必须经过相关的训练,才能熟练掌握运算的程序和步骤,形成运算的技能,但是,要在不同问题、不同情景中,灵活地用好这种运算,还必须把技能上升到能力的层次上,把技能操作同适当的思维活动融合在一起。
㈡、运算能力的综合性
运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在,也不能离开其它能力而独立发展,运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的,它也和逻辑思维能力、空间想象能力等数学能力相互支持着,还和一个人的素质、作风(如细致、严谨、忍耐力)紧密相关。因此,提高运算能力的问题是一个综合提高的问题,要从多方面着手,要在整个中学数学教学及各科的教学过程中,着力培养,不断引导,逐渐积累,才能达到一定的水准。
在中学数学中,运算又常常作为解决某些问题,完成某种推理、判断的工具,这是运算能力综合性的又一种表现。这就要求把运算种类的选择、运算过程的设计、运算结果的取舍,同一切工作系列的推理、演绎有机地组织在一起。
在认识运算能力综合性特点时,我认为还应该考虑计算器、计算机这些先进工具的出现对运算能力要求的影响。既然使用这些计算工具有省时、省力、准确的特点,那么,过大的运算量及过于繁琐的运算操作的训练,其实际意义也就值得重新估计,当然,培养运算能力的方向也就应随之作出调整。
二、发展运算能力的大致阶段
基于以上的认识,我认为培养和发展某一种运算能力,大致经历以下三个阶段:
㈠、从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段
㈡、从运算技能上升到运算能力的阶段
㈢、在各种应用中,进一步提高运算能力的阶段
第一阶段要完成从知识到技能的过程。中心是准确理解有关知识,熟练有关运算的方法、步骤。本着“先慢后快”、“先死后活”的原则,开始时,运算步骤不宜跳跃,每一步运算的依据必须明确、清晰,运算过程的表述必须规范、有条理。组织训练时,不仅要注意适当的数量,还要注意一定的层次。这就要求我们能够根据不同运算的不同特点,不同学生的不同水平,把握好增大训练量,抓住几种基本变化就可以做到触类旁通,分几个层次更符合学生的认识规律,从而使训练取得更好的效益和效率。
随着运算技能的形成,逐渐简化运算步骤,灵活运用运算法则、公式,是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节,是引导学生认识运算的目的性,认识实施运算的途径的多样性,培养学生合理选择、简捷运算途径的意识和习惯,在各项能力全面提高的同时,促使运算能力的形成和提高,这个任务的完成,要从点滴做起,长期坚持,才能取得成效。
技能和能力的形成,还必须在今后的应用中进一步得到巩固、发展和深化。在应用过程中,运算的工具性和运算过程的思维性就更加突出了,运算的目标不一定是追求的一个简化的结果,而要为一定的推理、演绎、,判断服务。
三、合理选择简捷运算途径的基本依据
合理选择简捷运算途径,不仅是迅速运算的需要,也是运算准确性的保证,运算的步骤越多,繁度越大,出错的可能性也会增大。因而,根据问题的条件和要求,合理选择简捷的运算途径是提高运算能力的关键。在中学数学中,这种合理选择的基本依据有以下五个方面:
㈠、灵活把握数学概念,合理选择简捷运算途径
任何一种数学运算都是随着一定的数学概念的产生而出现的,都是在一定的概念系统中进行的。不少数学概念的本身就规定了相应的运算方法和途径,例如数的绝对值的概念,集合的交、并、比的概念等。不少简捷的运算途径,来源于对数学概念的灵活把握。
㈡、适当选择公式,合理选择简捷运算途径
运算公式和法则是运算的基本依据。在采取多种途径,使用不同公式都可以解决的问题中,适当选择公式有助于运算过程的合理、简捷。运用棣莫弗公式可以简捷地完成复数的乘方运算,运用韦达定理可以简化求圆锥曲线弦长的过程,三角变换的过程更离不开对公式的适当选择。
㈢、适当换元、“代块”,合理选择简捷运算途径
换元、“代块”是解决方程或不等式时用的方法,它可以把非常规问题转化成常规问题,使问题简捷地得到解决。
㈣、选适当的解题策略,合理选择简捷运算途径
数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略,自觉运用数学思想不仅有助于提高学生的思维水平,发展数学能力,也有助于合理选择简捷运算途径。
㈤、根据不同题型或题目的不同要求,合理选择简捷运算途径
选择题是当前一种很重要的题型,选择支既对解题有干扰作用,也有提示作用。充分利用这种提示作用,也可以获得简捷的运算途径。
总之,在中学数学中,运算的种类多种多样。运算能力是随着数学内容不断拓宽、加深,诸多能力不断提高而逐渐培养和发展起来的。现代运算能力要求把知识、,技能和思维能力有机地结合起来。尽管我们对计算量应作适当控制,也不必过多地去研究运算的特殊技巧,但是,运算能力必须经过长时间科学地训练,不断地引导,才能逐步形成,只有在今后的各种应用才能得到深化和提高。
(作者单位:425700湖南省新田县第一中学)