论文部分内容阅读
运算能力的层次运算能力是一项基本的数学能力，无论是《教学大纲》，还是《考试说明》都把它列在诸项数学能力的首位。中学数学中大多数问题的解决，也都离不开运算。但是当前中学生运算能力的状况是很不如人意的。不明理算，机械地搬用运算公式；不顾运算目标，盲目推演；缺乏合理选择简捷运算途径的意识，这些都是经常可见的。不少中学生对提高运算能力缺乏足够的重视，只把“粗心”、“马虎”作为算而不对的原因。相当多的高中数学教师，尤其是一些重点中学的数学教师，只重视方法和思路的引导，对运算过程的合理性、简捷性缺乏必要的指导。这样，不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。因此，怎样提高运算能力的问题，已成了中学数学教学和高考复习中一个比较突出的问题。
一、运算、运算能力及其特点
在中学数学中，运算包括数值运算式的恒等变形、方程或不等式的求解、极限运算、集合的运算等。各种运算都有其各自的意义、法则和有关的运算律，都要求其结果具有存在性、唯一性和最简性。无论哪一种运算，其实质都可以理解为一种特殊的映射。
对运算能力的基本要求，传统的说法是“正确而迅速的运算能力”。“正确”是对运算结果的要求，这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。“迅速”是对运算过程的要求，要求速度快，因此，运算能力不仅包含对运算的意义、法则、公式的理解，包含对运算程序、步骤的熟练掌握，还包含对简捷的运算途径的合理选择。这就要求能够根据问题的不同条件和不同目标，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择，也就是说，运算能力中包含着对思维能力的要求。因而，在运算过程中，学生的思维能力和思维品质（如思维的广阔性、深刻性、灵活性）都会受到检验，并得到煅炼。运算能力的基本特点是什么呢？我认为有以下两点：
㈠、运算能力的层次性
在数学发展史上，各种运算是由简单到复杂，由具体到抽象，由低级到高级，逐步形成和发展起来的。因此，对运算的认识和掌握也必然是逐步有序，有层次的。不掌握实数的计算，就不可能掌握复数的计算，也不可能掌握式的计算，以及方程、不等式的运算；不掌握代数运算，就不可能掌握超越运算；不掌握有限运算，就不可能掌握无限运算；没有认识具体运算的基础，抽象运算的理解就难以实现。由此可见，运算能力是随着知识逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高而逐步发展的。它不是一次就可以完成的。如果说数学内容的发展是无穷尽的，那么，运算能力的提高也是永远不会终结的。
了解某种运算的知识到形成运算能力的过程也是有层次的。理解运算意义，明确运算的法则、公式，这只是了解了运算的基本知识，在此基础上，必须经过相关的训练，才能熟练掌握运算的程序和步骤，形成运算的技能，但是，要在不同问题、不同情景中，灵活地用好这种运算，还必须把技能上升到能力的层次上，把技能操作同适当的思维活动融合在一起。
㈡、运算能力的综合性
运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其它能力而独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力、空间想象能力等数学能力相互支持着，还和一个人的素质、作风（如细致、严谨、忍耐力）紧密相关。因此，提高运算能力的问题是一个综合提高的问题，要从多方面着手，要在整个中学数学教学及各科的教学过程中，着力培养，不断引导，逐渐积累，才能达到一定的水准。
在中学数学中，运算又常常作为解决某些问题，完成某种推理、判断的工具，这是运算能力综合性的又一种表现。这就要求把运算种类的选择、运算过程的设计、运算结果的取舍，同一切工作系列的推理、演绎有机地组织在一起。
在认识运算能力综合性特点时，我认为还应该考虑计算器、计算机这些先进工具的出现对运算能力要求的影响。既然使用这些计算工具有省时、省力、准确的特点，那么，过大的运算量及过于繁琐的运算操作的训练，其实际意义也就值得重新估计，当然，培养运算能力的方向也就应随之作出调整。
二、发展运算能力的大致阶段
基于以上的认识，我认为培养和发展某一种运算能力，大致经历以下三个阶段：
㈠、从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段
㈡、从运算技能上升到运算能力的阶段
㈢、在各种应用中，进一步提高运算能力的阶段
第一阶段要完成从知识到技能的过程。中心是准确理解有关知识，熟练有关运算的方法、步骤。本着“先慢后快”、“先死后活”的原则，开始时，运算步骤不宜跳跃，每一步运算的依据必须明确、清晰，运算过程的表述必须规范、有条理。组织训练时，不仅要注意适当的数量，还要注意一定的层次。这就要求我们能够根据不同运算的不同特点，不同学生的不同水平，把握好增大训练量，抓住几种基本变化就可以做到触类旁通，分几个层次更符合学生的认识规律，从而使训练取得更好的效益和效率。
随着运算技能的形成，逐渐简化运算步骤，灵活运用运算法则、公式，是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节，是引导学生认识运算的目的性，认识实施运算的途径的多样性，培养学生合理选择、简捷运算途径的意识和习惯，在各项能力全面提高的同时，促使运算能力的形成和提高，这个任务的完成，要从点滴做起，长期坚持，才能取得成效。
技能和能力的形成，还必须在今后的应用中进一步得到巩固、发展和深化。在应用过程中，运算的工具性和运算过程的思维性就更加突出了，运算的目标不一定是追求的一个简化的结果，而要为一定的推理、演绎、，判断服务。
三、合理选择简捷运算途径的基本依据
合理选择简捷运算途径，不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，繁度越大，出错的可能性也会增大。因而，根据问题的条件和要求，合理选择简捷的运算途径是提高运算能力的关键。在中学数学中，这种合理选择的基本依据有以下五个方面：
㈠、灵活把握数学概念，合理选择简捷运算途径
任何一种数学运算都是随着一定的数学概念的产生而出现的，都是在一定的概念系统中进行的。不少数学概念的本身就规定了相应的运算方法和途径，例如数的绝对值的概念，集合的交、并、比的概念等。不少简捷的运算途径，来源于对数学概念的灵活把握。
㈡、适当选择公式，合理选择简捷运算途径
运算公式和法则是运算的基本依据。在采取多种途径，使用不同公式都可以解决的问题中，适当选择公式有助于运算过程的合理、简捷。运用棣莫弗公式可以简捷地完成复数的乘方运算，运用韦达定理可以简化求圆锥曲线弦长的过程，三角变换的过程更离不开对公式的适当选择。
㈢、适当换元、“代块”，合理选择简捷运算途径
换元、“代块”是解决方程或不等式时用的方法，它可以把非常规问题转化成常规问题，使问题简捷地得到解决。
㈣、选适当的解题策略，合理选择简捷运算途径
数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略，自觉运用数学思想不仅有助于提高学生的思维水平，发展数学能力，也有助于合理选择简捷运算途径。
㈤、根据不同题型或题目的不同要求，合理选择简捷运算途径
选择题是当前一种很重要的题型，选择支既对解题有干扰作用，也有提示作用。充分利用这种提示作用，也可以获得简捷的运算途径。
总之，在中学数学中，运算的种类多种多样。运算能力是随着数学内容不断拓宽、加深，诸多能力不断提高而逐渐培养和发展起来的。现代运算能力要求把知识、，技能和思维能力有机地结合起来。尽管我们对计算量应作适当控制，也不必过多地去研究运算的特殊技巧，但是，运算能力必须经过长时间科学地训练，不断地引导，才能逐步形成，只有在今后的各种应用才能得到深化和提高。
（作者单位：425700湖南省新田县第一中学）
一、运算、运算能力及其特点
在中学数学中，运算包括数值运算式的恒等变形、方程或不等式的求解、极限运算、集合的运算等。各种运算都有其各自的意义、法则和有关的运算律，都要求其结果具有存在性、唯一性和最简性。无论哪一种运算，其实质都可以理解为一种特殊的映射。
对运算能力的基本要求，传统的说法是“正确而迅速的运算能力”。“正确”是对运算结果的要求，这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。“迅速”是对运算过程的要求，要求速度快，因此，运算能力不仅包含对运算的意义、法则、公式的理解，包含对运算程序、步骤的熟练掌握，还包含对简捷的运算途径的合理选择。这就要求能够根据问题的不同条件和不同目标，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择，也就是说，运算能力中包含着对思维能力的要求。因而，在运算过程中，学生的思维能力和思维品质（如思维的广阔性、深刻性、灵活性）都会受到检验，并得到煅炼。运算能力的基本特点是什么呢？我认为有以下两点：
㈠、运算能力的层次性
在数学发展史上，各种运算是由简单到复杂，由具体到抽象，由低级到高级，逐步形成和发展起来的。因此，对运算的认识和掌握也必然是逐步有序，有层次的。不掌握实数的计算，就不可能掌握复数的计算，也不可能掌握式的计算，以及方程、不等式的运算；不掌握代数运算，就不可能掌握超越运算；不掌握有限运算，就不可能掌握无限运算；没有认识具体运算的基础，抽象运算的理解就难以实现。由此可见，运算能力是随着知识逐步加宽、内容的不断深化、抽象程度的不断提高而逐步发展的。它不是一次就可以完成的。如果说数学内容的发展是无穷尽的，那么，运算能力的提高也是永远不会终结的。
了解某种运算的知识到形成运算能力的过程也是有层次的。理解运算意义，明确运算的法则、公式，这只是了解了运算的基本知识，在此基础上，必须经过相关的训练，才能熟练掌握运算的程序和步骤，形成运算的技能，但是，要在不同问题、不同情景中，灵活地用好这种运算，还必须把技能上升到能力的层次上，把技能操作同适当的思维活动融合在一起。
㈡、运算能力的综合性
运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其它能力而独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力、空间想象能力等数学能力相互支持着，还和一个人的素质、作风（如细致、严谨、忍耐力）紧密相关。因此，提高运算能力的问题是一个综合提高的问题，要从多方面着手，要在整个中学数学教学及各科的教学过程中，着力培养，不断引导，逐渐积累，才能达到一定的水准。
在中学数学中，运算又常常作为解决某些问题，完成某种推理、判断的工具，这是运算能力综合性的又一种表现。这就要求把运算种类的选择、运算过程的设计、运算结果的取舍，同一切工作系列的推理、演绎有机地组织在一起。
在认识运算能力综合性特点时，我认为还应该考虑计算器、计算机这些先进工具的出现对运算能力要求的影响。既然使用这些计算工具有省时、省力、准确的特点，那么，过大的运算量及过于繁琐的运算操作的训练，其实际意义也就值得重新估计，当然，培养运算能力的方向也就应随之作出调整。
二、发展运算能力的大致阶段
基于以上的认识，我认为培养和发展某一种运算能力，大致经历以下三个阶段：
㈠、从理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段
㈡、从运算技能上升到运算能力的阶段
㈢、在各种应用中，进一步提高运算能力的阶段
第一阶段要完成从知识到技能的过程。中心是准确理解有关知识，熟练有关运算的方法、步骤。本着“先慢后快”、“先死后活”的原则，开始时，运算步骤不宜跳跃，每一步运算的依据必须明确、清晰，运算过程的表述必须规范、有条理。组织训练时，不仅要注意适当的数量，还要注意一定的层次。这就要求我们能够根据不同运算的不同特点，不同学生的不同水平，把握好增大训练量，抓住几种基本变化就可以做到触类旁通，分几个层次更符合学生的认识规律，从而使训练取得更好的效益和效率。
随着运算技能的形成，逐渐简化运算步骤，灵活运用运算法则、公式，是从技能向能力过渡的开端。培养运算能力的中心环节，是引导学生认识运算的目的性，认识实施运算的途径的多样性，培养学生合理选择、简捷运算途径的意识和习惯，在各项能力全面提高的同时，促使运算能力的形成和提高，这个任务的完成，要从点滴做起，长期坚持，才能取得成效。
技能和能力的形成，还必须在今后的应用中进一步得到巩固、发展和深化。在应用过程中，运算的工具性和运算过程的思维性就更加突出了，运算的目标不一定是追求的一个简化的结果，而要为一定的推理、演绎、，判断服务。
三、合理选择简捷运算途径的基本依据
合理选择简捷运算途径，不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，繁度越大，出错的可能性也会增大。因而，根据问题的条件和要求，合理选择简捷的运算途径是提高运算能力的关键。在中学数学中，这种合理选择的基本依据有以下五个方面：
㈠、灵活把握数学概念，合理选择简捷运算途径
任何一种数学运算都是随着一定的数学概念的产生而出现的，都是在一定的概念系统中进行的。不少数学概念的本身就规定了相应的运算方法和途径，例如数的绝对值的概念，集合的交、并、比的概念等。不少简捷的运算途径，来源于对数学概念的灵活把握。
㈡、适当选择公式，合理选择简捷运算途径
运算公式和法则是运算的基本依据。在采取多种途径，使用不同公式都可以解决的问题中，适当选择公式有助于运算过程的合理、简捷。运用棣莫弗公式可以简捷地完成复数的乘方运算，运用韦达定理可以简化求圆锥曲线弦长的过程，三角变换的过程更离不开对公式的适当选择。
㈢、适当换元、“代块”，合理选择简捷运算途径
换元、“代块”是解决方程或不等式时用的方法，它可以把非常规问题转化成常规问题，使问题简捷地得到解决。
㈣、选适当的解题策略，合理选择简捷运算途径
数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略，自觉运用数学思想不仅有助于提高学生的思维水平，发展数学能力，也有助于合理选择简捷运算途径。
㈤、根据不同题型或题目的不同要求，合理选择简捷运算途径
选择题是当前一种很重要的题型，选择支既对解题有干扰作用，也有提示作用。充分利用这种提示作用，也可以获得简捷的运算途径。
总之，在中学数学中，运算的种类多种多样。运算能力是随着数学内容不断拓宽、加深，诸多能力不断提高而逐渐培养和发展起来的。现代运算能力要求把知识、，技能和思维能力有机地结合起来。尽管我们对计算量应作适当控制，也不必过多地去研究运算的特殊技巧，但是，运算能力必须经过长时间科学地训练，不断地引导，才能逐步形成，只有在今后的各种应用才能得到深化和提高。
（作者单位：425700湖南省新田县第一中学）