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摘要： 函数的思想就是用运动和变化的观点分析和研究数学问题；方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。函数与方程的相互转化思想就是将数学中的函数问题转化为方程或方程组问题，通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决。
关键词： 函数 方程 转化
函数是代数内容的主干，它主要包括函数的概念、图像和性质。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题。函数思想贯穿于代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的。在研究方程、不等式、复数、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用。
方程是初等代数的主要内容。所谓方程思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想是密切相关的，函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0或看作方程y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函数y=f（x）图像与x轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f（x），当y＞0时，就是不等式f（x）＞0，而求f（x）＞g（x）的解则可比较y=f（x）与y=g（x）函数图像位置而得到。
一、构造函数思想
例1.证明不等式ae ＞be （b＜a＜1）。
分析：由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确定，即使分类后，当a、b都为正数时，其商 e 也无法与1比大小，思路受阻。再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为ae ＞be ，即可联想到函数f（x）=xe ，就只需证f（a）＞f（b）了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。
证明：令f（x）=xe （x＜1），f′（x）=e （1-x）
在x∈（-∞，1）上，f′（x）＞0
则f（x）在（-∞，1）上为增函数
则f（a）＞f（b），即ae ＞be
所以ae ＞be 。
点评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的有关性质。
例2.已知f（t）=log t，t∈［ ，8］对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的范围。
分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数y=x +（m-4）x+4-2m，于是问题转化为：当m∈［ ，3］时，y＞0恒成立，求x范围。但要解决这个问题要用到二次函数及二次方程的区间根原理，相当复杂。而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为（x-2）m+（x-2） ＞0，构造函数g（m）=（x-2）m+（x-2） 为m的一次函数，在x∈［ ，3］上恒大于0，这样就非常简单。
解：因为t∈［ ，8］，所以f（t）∈［ ，3］，即m∈［ ，3］，原不等式可化为m（x-2）+（x-2） ＞0恒成立。又m＞0，所以x≠2。令g（m）=（x-2）m+（x-2） 为m的一次函数，问题转化为g（m）在m∈［ ，3］上恒大于0的问题，则只需g（ ）＞0g（3）＞0。解得x＞2或x＜-1，即x∈（-∞，1）∪（2+∞）。
点评：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数。
二、构造方程思想
例3.已知 =1（a、b、c∈R），则有（ ）。
A.a ＞4bc B.a ＜4bc
C.a ≥4bc D.a ≤4bc
分析：原式变为3c- a+b=0，则 是实系数一元二次方程cx -ax+b=0的一个实根，故△=a -4bc≥0，故选C。
点评：通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。
例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1则a的范围为
。
解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=（1-a）
又b +c =1-a ，则bc=a -a，
由此得到启示，b+c与bc都可用a表示，
故b、c是关于x的一元二次方程x -（1-a）x+a -a=0的两根。
故△=（1-a） -4（a -a）≥0，3a -2a-1≤0。
解得- ≤a≤1。
点评：当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。
三、函数方程统一思想
例5.已知三次方程x -6x+（1-m）=0恰有三个相异实根，求实数m的范围。
分析：方程f（x）=0的根，即函数y=f（x）图像与x轴交点横坐标，由题意函数y=x -6x+（1-m）应与x轴有三个不同交点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。
解：令f（x）=x -6x+（1-m）
则f′（x）=3x -6
令f′（x）=0，得x=±
为使y=f（x）与x轴交于不同的三个点。
只须f（ ）•f（g ）＜0
即1-4 ＜m＜1+4 。
点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图像特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图像穿x轴三次，问题解决。利用函数图像交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图像特点，能直观又准确地看到方程根的情况。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 函数 方程 转化
函数是代数内容的主干，它主要包括函数的概念、图像和性质。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题。函数思想贯穿于代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的。在研究方程、不等式、复数、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用。
方程是初等代数的主要内容。所谓方程思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想是密切相关的，函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0或看作方程y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函数y=f（x）图像与x轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f（x），当y＞0时，就是不等式f（x）＞0，而求f（x）＞g（x）的解则可比较y=f（x）与y=g（x）函数图像位置而得到。
一、构造函数思想
例1.证明不等式ae ＞be （b＜a＜1）。
分析：由所证不等式很容易想到比商法，但a、b的正负无法确定，即使分类后，当a、b都为正数时，其商 e 也无法与1比大小，思路受阻。再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为ae ＞be ，即可联想到函数f（x）=xe ，就只需证f（a）＞f（b）了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。
证明：令f（x）=xe （x＜1），f′（x）=e （1-x）
在x∈（-∞，1）上，f′（x）＞0
则f（x）在（-∞，1）上为增函数
则f（a）＞f（b），即ae ＞be
所以ae ＞be 。
点评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的有关性质。
例2.已知f（t）=log t，t∈［ ，8］对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的范围。
分析：我们习惯上把x当作自变量，构造函数y=x +（m-4）x+4-2m，于是问题转化为：当m∈［ ，3］时，y＞0恒成立，求x范围。但要解决这个问题要用到二次函数及二次方程的区间根原理，相当复杂。而如果把m看作自变量，x视为参数，原不等式化为（x-2）m+（x-2） ＞0，构造函数g（m）=（x-2）m+（x-2） 为m的一次函数，在x∈［ ，3］上恒大于0，这样就非常简单。
解：因为t∈［ ，8］，所以f（t）∈［ ，3］，即m∈［ ，3］，原不等式可化为m（x-2）+（x-2） ＞0恒成立。又m＞0，所以x≠2。令g（m）=（x-2）m+（x-2） 为m的一次函数，问题转化为g（m）在m∈［ ，3］上恒大于0的问题，则只需g（ ）＞0g（3）＞0。解得x＞2或x＜-1，即x∈（-∞，1）∪（2+∞）。
点评：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数。
二、构造方程思想
例3.已知 =1（a、b、c∈R），则有（ ）。
A.a ＞4bc B.a ＜4bc
C.a ≥4bc D.a ≤4bc
分析：原式变为3c- a+b=0，则 是实系数一元二次方程cx -ax+b=0的一个实根，故△=a -4bc≥0，故选C。
点评：通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。
例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1则a的范围为
。
解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=（1-a）
又b +c =1-a ，则bc=a -a，
由此得到启示，b+c与bc都可用a表示，
故b、c是关于x的一元二次方程x -（1-a）x+a -a=0的两根。
故△=（1-a） -4（a -a）≥0，3a -2a-1≤0。
解得- ≤a≤1。
点评：当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。
三、函数方程统一思想
例5.已知三次方程x -6x+（1-m）=0恰有三个相异实根，求实数m的范围。
分析：方程f（x）=0的根，即函数y=f（x）图像与x轴交点横坐标，由题意函数y=x -6x+（1-m）应与x轴有三个不同交点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。
解：令f（x）=x -6x+（1-m）
则f′（x）=3x -6
令f′（x）=0，得x=±
为使y=f（x）与x轴交于不同的三个点。
只须f（ ）•f（g ）＜0
即1-4 ＜m＜1+4 。
点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图像特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图像穿x轴三次，问题解决。利用函数图像交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图像特点，能直观又准确地看到方程根的情况。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”