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摘要：在本文中，笔者意在通过赏析近十年平面向量与解三角形交汇试题，揭示出这类试题的一般特点及命题规律，为广大师生备战高考提供了参考和借鉴。
关键词：高考；试题；赏析
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0094
新课改以后，高考数学在平面向量与解三角形交汇处命题已成常态。本文意在通过赏析近十年平面向量与解三角形交汇试题，揭示出这类试题的一般特点及命题规律，为广大师生备战高考提供参考和借鉴。
一、运用平面向量计算三角形的边长
【例1】（2012湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A. B. C. 2 D.
【解析】由于 = = =
所以， cosB=
又因为cosB= = =
解方程 = 得BC= ，故选择A。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积与余弦定理等知识，着重考查了数学运算能力，同时还考查了等价转化思想。属中等难度题。
二、运用平面向量计算三角形的内角
【例2】（2006辽宁）△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p=（a c，b），q=（b-a，c-a），若p∥q，则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由 得，（a c，c-a）=b（b-a）
即b2 a2-c2=ab
从而cosC= =
于是C= ，选择B.
【点评】本题主要考查了平面向量平行的坐标表示、余弦定理和已知三角函数值求角等知识，着重考查数学运算能力。属中等难度题。
三、运用平面向量计算三角形的面积
【例3】（2010辽宁）平面上O、A、B三点不共线，设 ， ，则△OAB的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
=
=
故选择C。
【点评】本题主要考查了三角形面积公式、平面向量的数量积及其几何意义、同角三角函数基本关系等知识，着重考查了数学运算能力。属中等难度题。
四、运用平面向量判断三角形的形状
【例4】（2006陕西）已知非零向量 与 满足
且 ，则△ABC为（ ）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
【解析】非零向量 与 满足 即角A的平分线垂直于BC，所以AB=AC，
又 cosA= ，A= 故△ABC为等边三角形，选择D。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积及其几何意义、已知三角函数值求角等知识，着重考查了数学运算能力，同时考查了数形结合思想。属中等难度题。
五、运用平面向量判定三角形的五心
【例5】（2009宁夏海南）已知O、N、P在△ABC所在平面内，且分别满足条件， = = ， =0， · = · =
· ，则点O、N、P依次是△ABC的（ ）
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心
C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
【解析】由 = = 可知，点O到△ABC各顶点的距离相等，为其外心。又由 易知，点N为其重心。再由
· = · = · 知，
· - · =0
即 ·（ - ）= · =0
于是， ⊥
同理可得 ⊥ ， ⊥
所以点P是△ABC三条高线的交点，为其垂心。故选择C。
【点评】（1）本题主要考查了平面向量的模、平面向量的数量积、两向量垂直的充要条件、三角形的外心、重心、垂心概念等知识，着重考查了数学逻辑推理能力和运算能力，同时还考查了数形结合思想、等价转换思想。属中等难度题。
（2）对于三角形的各种心，教师可在复习平面向量时，做适当补充：
①点P是△ABC外心的充要条件是 ；
②点P是△ABC重心的充要条件是 P = ；
③点P是△ABC垂心的充要条件是 · = · = · ；
④点P为△ABC内心的充要条件是a b c = ；
⑤点P为△ABC角A旁心的充要条件是a =b c .
六、运用平面向量解答三角形综合题
【例6】（2014四川）已知F是抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】依题意可得焦点F（ ，0），设A（x1，y1）（y1> 0），B（x2，y2）（y2 <0），故x1=y21，x2=y22，则y21y22 y1y2=2，因为A、B位于x轴两侧，故y1y2=-2，从而S△ABO S△AFO= |x1y2-x2y1| × |y1|= y1≥3故选B。
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积、抛物线、基本不等式、解三角形等知识，着重考查了数学逻辑推理能力和运算能力，属中等难度题。
【例7】（2013浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则（ ）
A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°
C. AB=AC D. AC=BC
【解析】以AB的中点O为原点建系，设A（-c，0），B（c，0），C（a，b），则P0（ ，0），那么 · =（c-x，0）·（a-x，b）=x2-（a c）x ac
于是当x= 时， · 最小，而已知 · 最小，所以 = 即a=0时，故AC=BC，选择（D）。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积及其坐标表示、二次函数等知识，着重考查了数学推理及运算能力，同时还考查了数形结合思想、化归思想等数学思想。属于难题。
七、结束语
从以上列举的高考平面向量与解三角形交汇考题来看，这类试题要求考生对相关数学概念要非常清楚，要具有较强数学推理及运算能力，同时还要掌握基本的数学思想方法。此类试题多属中等难度题。因此，笔者建议在备战高考的复习中，教师一定要引导学生重视教材，认真落实对基础知识、基本能力和基本数学思想方法的训练。这不仅是高考考纲的明确要求，更是《数学课程标准》的要求。
作者简介：费谏章，陕西省中学数学特级教师，陕西省中小学教学名师工作室主持人。先后主持并完成了三个省级基础教育规划课题，在省级教育期刊上公开发表了十余篇高质量的教研论文。
（作者单位：陕西省安康市石泉中学 725200）
关键词：高考；试题；赏析
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0094
新课改以后，高考数学在平面向量与解三角形交汇处命题已成常态。本文意在通过赏析近十年平面向量与解三角形交汇试题，揭示出这类试题的一般特点及命题规律，为广大师生备战高考提供参考和借鉴。
一、运用平面向量计算三角形的边长
【例1】（2012湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=（ ）
A. B. C. 2 D.
【解析】由于 = = =
所以， cosB=
又因为cosB= = =
解方程 = 得BC= ，故选择A。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积与余弦定理等知识，着重考查了数学运算能力，同时还考查了等价转化思想。属中等难度题。
二、运用平面向量计算三角形的内角
【例2】（2006辽宁）△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p=（a c，b），q=（b-a，c-a），若p∥q，则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由 得，（a c，c-a）=b（b-a）
即b2 a2-c2=ab
从而cosC= =
于是C= ，选择B.
【点评】本题主要考查了平面向量平行的坐标表示、余弦定理和已知三角函数值求角等知识，着重考查数学运算能力。属中等难度题。
三、运用平面向量计算三角形的面积
【例3】（2010辽宁）平面上O、A、B三点不共线，设 ， ，则△OAB的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
=
=
故选择C。
【点评】本题主要考查了三角形面积公式、平面向量的数量积及其几何意义、同角三角函数基本关系等知识，着重考查了数学运算能力。属中等难度题。
四、运用平面向量判断三角形的形状
【例4】（2006陕西）已知非零向量 与 满足
且 ，则△ABC为（ ）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
【解析】非零向量 与 满足 即角A的平分线垂直于BC，所以AB=AC，
又 cosA= ，A= 故△ABC为等边三角形，选择D。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积及其几何意义、已知三角函数值求角等知识，着重考查了数学运算能力，同时考查了数形结合思想。属中等难度题。
五、运用平面向量判定三角形的五心
【例5】（2009宁夏海南）已知O、N、P在△ABC所在平面内，且分别满足条件， = = ， =0， · = · =
· ，则点O、N、P依次是△ABC的（ ）
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心
C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
【解析】由 = = 可知，点O到△ABC各顶点的距离相等，为其外心。又由 易知，点N为其重心。再由
· = · = · 知，
· - · =0
即 ·（ - ）= · =0
于是， ⊥
同理可得 ⊥ ， ⊥
所以点P是△ABC三条高线的交点，为其垂心。故选择C。
【点评】（1）本题主要考查了平面向量的模、平面向量的数量积、两向量垂直的充要条件、三角形的外心、重心、垂心概念等知识，着重考查了数学逻辑推理能力和运算能力，同时还考查了数形结合思想、等价转换思想。属中等难度题。
（2）对于三角形的各种心，教师可在复习平面向量时，做适当补充：
①点P是△ABC外心的充要条件是 ；
②点P是△ABC重心的充要条件是 P = ；
③点P是△ABC垂心的充要条件是 · = · = · ；
④点P为△ABC内心的充要条件是a b c = ；
⑤点P为△ABC角A旁心的充要条件是a =b c .
六、运用平面向量解答三角形综合题
【例6】（2014四川）已知F是抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】依题意可得焦点F（ ，0），设A（x1，y1）（y1> 0），B（x2，y2）（y2 <0），故x1=y21，x2=y22，则y21y22 y1y2=2，因为A、B位于x轴两侧，故y1y2=-2，从而S△ABO S△AFO= |x1y2-x2y1| × |y1|= y1≥3故选B。
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积、抛物线、基本不等式、解三角形等知识，着重考查了数学逻辑推理能力和运算能力，属中等难度题。
【例7】（2013浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则（ ）
A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°
C. AB=AC D. AC=BC
【解析】以AB的中点O为原点建系，设A（-c，0），B（c，0），C（a，b），则P0（ ，0），那么 · =（c-x，0）·（a-x，b）=x2-（a c）x ac
于是当x= 时， · 最小，而已知 · 最小，所以 = 即a=0时，故AC=BC，选择（D）。
【点评】本题主要考查了平面向量数量积及其坐标表示、二次函数等知识，着重考查了数学推理及运算能力，同时还考查了数形结合思想、化归思想等数学思想。属于难题。
七、结束语
从以上列举的高考平面向量与解三角形交汇考题来看，这类试题要求考生对相关数学概念要非常清楚，要具有较强数学推理及运算能力，同时还要掌握基本的数学思想方法。此类试题多属中等难度题。因此，笔者建议在备战高考的复习中，教师一定要引导学生重视教材，认真落实对基础知识、基本能力和基本数学思想方法的训练。这不仅是高考考纲的明确要求，更是《数学课程标准》的要求。
作者简介：费谏章，陕西省中学数学特级教师，陕西省中小学教学名师工作室主持人。先后主持并完成了三个省级基础教育规划课题，在省级教育期刊上公开发表了十余篇高质量的教研论文。
（作者单位：陕西省安康市石泉中学 725200）