浅谈中考数学题常用的几种解题思路

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  中考试题涉及众多知识点,覆盖面广,关系复杂,证法灵活,解决这类考题需要考生能够正确地综合运用数学解题思想和方法,以下是中考中几种常用的解题思想,供大家参考.
  一、整体思想
  注意力和着眼力放在问题的整体上,通过研究问题整体形式和整体结构,进而作出整体处理,达到顺利解题的目的.
  图1
  例1如图1所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位.
  解:由已知可知图中每个扇形的面积不能单独求出,因为不知圆心角的度数.仔细分析可得n个扇形的圆心角恰为
  n边形的n个外角,因此,n个扇形的圆心角的度数和为n边形的外角和.所以阴影部分的面积之和为π.
  二、分类讨论思想
  代表性题型主要有动态几何问题,存在性讨论问题.
  图2
  例2已知:如图2,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
  (1)求过点E、D、C的抛物线的解析式.
  (2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为6/5,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
  (3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
  这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题.第(1)问结合“形”的特征,求出点D、E、C的坐标,再设二次函数一般式,用待定系数法可求得二次函数解析式.体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想.
  第(2)由D、M所在直线与y轴相交于F,可求得F点坐标,并求出EF的长度,并由旋转过程中的角度相等关系,设法构造全等求出OG.得证结论.解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量,得到其长度关系.体现出数学解题中的“转化思想”.
  本题的第(3)问讨论存在性问题.要使△PCG是等腰三角形,其中G、C为定点,P为不确定的点,因此应考虑GC为腰、GC为底,并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论.假设存在P点,结合P点的位置,通过设置P点坐标参数,用所设参数表示出相应三角形边长,由等腰三角形的性质,构造相应方程,可求出P点坐标.第⑶问不仅体现了分类讨论思想,还考察了用方程建模的能力.
  三、方程思想
  方程思想是指对所求数学问题通过列方程(组)求解的一种解题思想,这类题目很常见.同时,方程思想也是解几何问题的重要策略.
  例3梅林中学租用两辆小汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛,每辆限坐4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离考场15 km的地方出现故障,此时离截止进考场的时刻还有42分钟,这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,且这辆车的平均速度是60 km/h,人步行的速度是5 km/h(上、下车时间忽略不计).
  (1)若小汽车送4人到达考场,然后再回到出故障处接其他人,请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场;
  (2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案,使他们能在截止进考场的时刻前到达考场,并通过计算说明方案的可行性.
  解:(1)1560×3=
  34h=45(分钟),因为45>42,
  不能在限定时间内到达考场.
  (2)先将4人用车送到考场,另外4人同时步行前往考场,汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场.
  先将4人用车送到考场所需时间为1560=0.25 h=15 (分钟).
  0.25小时另外4人步行了1.25 km,此时他们与考场的距离为
  15-1.25=13.75 (km)
  设汽车返回t(h)后与步行的4人相遇,
  5t+60t=13.75 ,解得t=2.7513.
  汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.7513 h.
  所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×2.75
  13×60≈40.4<42.
  所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到.
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