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[摘要]教师要充分利用教材中的例题，挖掘例题价值，根据教学目标设计合适的教学过程。在“用字母表示数”的教学改进过程中发现，只有根据学生已有的知识基础，通过教材的例题引导学生迁移规律，才能真正帮助学生发展抽象思维，使学生顺利掌握新知。
[关键词]例题;抽象思维;用字母表示数;教学改进
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）08-0046-03
“用字母表示数”是学生学习代数知识的起点，标志着学生从算术学习开始转向代数学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。学好这一部分知识有利于学生解决稍复杂的数学问题，获得成功体验;有利于加强中小学知识的衔接，使得学生更顺畅地进入中学数学学习;有助于培养学生抽象思维能力，帮助学生巩固已有知识。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段内容标准中提出教学目标：在具体情境中能用字母表示数;结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。学生从用数字表示数到用字母表示数，即由确定的数量到变化的数量，不仅抽象程度明显提高，而且还涉及思维方式的深刻变化，可以说是学生数学思维发展的一次跨越。学生必须克服长期学习数与计算所形成的思维惯性，避免受到以前“结果唯一”的影响，这是有一定难度的。对此，学生只有经历由数抽象成字母的过程，才能真正理解用字母表示变化的数量的含义。
一、实践与思考
【教学片段1】
师（出示PPT）：今天我带来了糖果，准备奖励给上课表现优异的同学。可是只有25颗，以咱们班表现来看，肯定不够发，于是我又准备了一包。你觉得现在够分了吗？你是怎么判断的？
师：既然不能确定，那可以怎么说？你有什么好方法表示未知的数吗？
（引导学生用图形、符号、字母等形式表示）
师（揭示课题）：大家都用字母a，可用字母6吗？有时没法用具体数字表示的数，就可以用字母表示。
师：字母a可能表示哪些数？
生1：5、3、7……
师：字母a可以表示未知的、变化的数。
师：那你会表示现在总共有多少颗糖果吗？
生2：（25 a）颗。
师：这道式子和我们以前学的有什么不一样？
生3：含有字母。
师：是的，像这样的式子叫作含有字母的式子。25表示什么？a表示什么？25 a表示什么呢？
生4：25表示原来有的糖果数，a表示后来又放进去的颗数，25 a表示现在有的颗数。
用奖励糖果的实例引入用字母表示数和数量关系，可激发学生的学习兴趣。学生根据自己的经验说出用a表示糖果的颗数，但这对数量的抽象并不到位，最后，学生根据自身的一些经验得到用含有字母的式子25 a表示，但由于他们没有经历抽象的过程，这样的认识是不完整、不深刻的。同时，本节课内容比较多，按上述方式教学，最后只完成了练一练的第2题及第3题，而练一练的第1题及练习十八的1至3题都未能在课堂上呈现，但是，缺少相应的练习会影响学生当堂学习的效果，并加重学生的课后负担。因此，在下一次教学中删减了这一部分的导入内容。
【教学改进1】
学习例1（题目略）
师：从图中你知道了什么？
生1：摆1个三角形需要3根小棒。
师：摆2个三角形需要用几根小棒？可以怎样列式？
生2：6根，列式是2×3。
师：这里的2和3分别表示什么？
生3：“2”表示摆的三角形个数，“3”表示摆1个三角形需要3根小棒。
师：摆3个三角形、4个三角形呢？能接着写下去吗？
生4：擺3个三角形，列式是3×3;摆4个三角形，列式是4×3。
师：还能再写一个吗？
生5：摆5个三角形，需要5～3根小棒。
师：谁还能再说一说？说得完吗？
师：三角形个数和小棒根数有什么关系？
生6：小棒根数是三角形个数的3倍，三角形个数x3=小棒根数。
师：这些算式都包含相同的数量关系，你能用一个式子表示吗？
（学生独立尝试）
师：你为什么用符号（或图形、字母）来表示三角形的个数？
生7：我用符号（或图形、字母）表示，因为三角形的个数在不断变化。
师：比较这几种表示方法，有什么相同和不同的地方？
生8：相同：都用（）×3表示（“x3”表示什么？），用一个符号、图形或字母表示三角形个数（为什么不用符号、图形或字母来表示3？）。不同：所用的表示方式不同。
生9：因为3是个确定不变的数，而三角形的个数是变化的、不确定的。
师：像这样变化的数就可以用符号、图形、字母表示，今天我们就来研究其中一种。
由于原教学在引入部分揭示“用字母表示数”和“含有字母式子的数量关系”，所以例1就淡化了对这两个问题的深刻探讨，但同时也忽视了对“三角形的个数和小棒的根数有什么关系？”这个问题的讨论，其实“三角形的个数和小棒的根数有什么关系”这个问题是很重要的，只有清楚了数量关系，才能从用日常语言表示数量关系抽象到用符号语言表示数量关系。因此这里必须引导学生展开讨论，搞清楚数量关系，知道每个三角形所用小棒的根数是不变的量，而三角形的个数是个变化的量，但不管三角形的个数怎么变，“三角形个数×3=用小棒的根数”这个数量关系是不变的，正因为有这个不变的数量关系，才能用字母表示所有三角形的个数。教师应该在学生明白这一点后，再让学生尝试用一个式子表示。这里的教学程序应该是让学生先说关系，再用一个式子来表示，这样就比较好地完成从数抽象成字母的过程。学生可能会写出用不同字母表示的式子，但不管写出什么式子，都是在概括算式且理解了数量关系的基础上写出来的，把这些式子都写出来还有助于丰富学生对用字母表示数的方法的认识。最后再出示“如果用n表示三角形的个数，小棒的根数是（）×（）”，让学生体会到aX3既表示摆a个三角形所用小棒的根数，又表示所用小棒的根数与摆出三角形个数之间的数量关系。还可以进一步提问：“这里的。可以表示哪些数？”让学生根据题意体会可以表示任意自然数。还可追问：“a可以是50吗？可以是500吗？可以是0.5吗？可以是1，5吗？”加深学生对用字母表示数的理解。 【教学改进2】
师：如果这里三角形的个数用字母a表示，小棒的根数是多少呢？
生1：aX3。
师：像这样的式子叫作含有字母的式子。
师：a表示什么？
生2：三角形的个数。
师：乘3表示什么？
生3：摆每个三角形需要3根小棒。
师：aX3表示什么？
生4：小棒的根数、3倍关系。
师：这里的a可以是哪些数？
生5：1、2、3、4……
师：a可以是50、500、0吗？a可以表示什么？
生6：可以。a可以表示任意的自然数，代表的是几个三角形。
师：是的，a可以是任意的自然数。什么时候我们会用字母表示？
生7：对于未知的、变化的数，可以用字母表示。
二、讨论与发现
【教学片段2】
呈现例2：上周末，魏老师从南京自驾去了黄山旅游，出发前，在手机导航上发现从南京到黄山有280千米。
师：如果已经行驶了50千米，你会求剩下的千米数吗？谁会填？你是怎么想的？如果已经行驶了74.5千米，剩下的千米数又是多少？
生1：剩下的路程=总路程一已行驶的路程。
师：如果不知道已经行驶了多少千米，要求剩下的路程，可以怎么表示？
生2：280-b。
师：280表示什么？
生3：总路程。
师：6表示什么？
生4：已经行驶的路程。
师：280-6表示什么？
生5：剩下的路程。
生6：也可以用c表示剩下的路程。
师：用c和280-6表示，哪个更好一些？
生7：280-6更好，因为总路程是280千米，已经行驶的路程是b，用总路程减去已经行驶的路程，剩下的路程就是280-b。
师：对，这样不仅能表示剩下的路程，还可以从中看出总路程、已经行驶的路程和剩下的路程之间的关系。那么6到底是多少？（出示PPT动图）和同桌说一说。随着6的变化，剩下的路程怎么表示？
生8：随着b变大，280-b变小，但不管怎么变，剩下的路程都是280-b。
师：这里的b可以是任意數吗？为什么？
生9：不可以。b只能是0到280之间的任意数。
师：你能说出它的取值范围吗？
生10：0≤6≤280。
师：如何才能确定剩下的路程？
生11：确定6的大小。
师：6可能是小数吗？可能是分数吗？
例2是对例1的巩固、完善和补充，有了例1的基础，出示例2后，前面的3个问题可以让学生根据题意独立思考，先独立填写，然后再进行讨论。如果还是一个问题一个问题地提问回答，那么前面的学就没有起到作用。讨论的重点应该放在：（1）280-b表示什么？明确“既表示剩下的千米数，又表示‘总路程一已经行驶的路程=剩下的路程”’这个数量关系;（2）6的取值范围。不要将这个要点分割得很零碎后进行提问。例2的教学要体现出与例1的层次，例1已经抽象出用字母表示数，学生已经知道含有字母的式子所表示的两种含义，例2要在此基础上引导学生利用已有的知识和经验进行思考，从而完善学生的认知，丰富和拓展学生对用字母表示数的认识。
【教学改进】
师：上周末，魏老师从南京自驾去了黄山旅游，从图中（图略）你知道了什么？那这两个问题你会解决吗？
呈现：如果已经行驶了50千米，剩下的千米数是（）。
如果已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是（）。
师：谁会填？你是怎么想的？
生1：都是用“总路程一已经行驶的路程=剩下的路程”。
呈现：如果已经行驶了6千米，剩下的千米数是（）。
师：谁会填？
师：280表示什么？
生2：280表示总路程是280千米。
师：6表示什么？
生3：已经行驶的路程。
师：280-b表示剩下的路程，剩下的路程等于总路程一已经行驶的路程。
师：280-b不仅表示剩下的路程，我们还可以从中看出总路程、已经行驶的路程和剩下的路程之间的关系（数量关系）。
师：这里的6可以是任意数吗？
生4：不可以。
师：为什么？
生5：6可以是0到280之间的任意数。
师：你能说出它的取值范围吗？
生6：0≤b≤280。
师（出示PPT）：一起来感受一下6的取值范围。
师：随着已行驶的路程的不断变化，剩下的路程怎么表示？
生7：随着6变大，280-b变小，但不管怎么变，剩下的路程都是280-b。
师：要想确定剩下的路程，该怎么办？
生8：确定6的大小。
出示：（1）如果b=120，剩下（）千米;
（2）如果b=200，剩下（）千米;
（3）如果b=（），剩下（）千米。
三、教学反思
“用字母表示数”的教学内容一共有3个例题，每个例题都有明确的要求。教师一定要理解教材每个例题的要求，要重视知识展开过程的价值，让学生经历探索和体验的过程。本节课的教学经历了多次的尝试与调整，目的只有一个，即在教学中引导学生克服惯性思维，理解用字母表示数的抽象性，从而发展自身的抽象能力。
反观一开始的教学，虽然流畅，但没有达到让学生真正感受用字母表示数的抽象过程，学生的认识和思考不足，只能凭经验回答，对知识的认识不够深刻。比较而言，最终的授课才真正体现了“重视例题，深刻挖掘了例题的价值”。因此，教师在课堂教学时不能只追求表面的流畅，应该从教学内容本身出发，结合课堂生成，以此引发学生自主建构，真正做到促进学生抽象能力的发展。
[关键词]例题;抽象思维;用字母表示数;教学改进
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）08-0046-03
“用字母表示数”是学生学习代数知识的起点，标志着学生从算术学习开始转向代数学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。学好这一部分知识有利于学生解决稍复杂的数学问题，获得成功体验;有利于加强中小学知识的衔接，使得学生更顺畅地进入中学数学学习;有助于培养学生抽象思维能力，帮助学生巩固已有知识。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段内容标准中提出教学目标：在具体情境中能用字母表示数;结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。学生从用数字表示数到用字母表示数，即由确定的数量到变化的数量，不仅抽象程度明显提高，而且还涉及思维方式的深刻变化，可以说是学生数学思维发展的一次跨越。学生必须克服长期学习数与计算所形成的思维惯性，避免受到以前“结果唯一”的影响，这是有一定难度的。对此，学生只有经历由数抽象成字母的过程，才能真正理解用字母表示变化的数量的含义。
一、实践与思考
【教学片段1】
师（出示PPT）：今天我带来了糖果，准备奖励给上课表现优异的同学。可是只有25颗，以咱们班表现来看，肯定不够发，于是我又准备了一包。你觉得现在够分了吗？你是怎么判断的？
师：既然不能确定，那可以怎么说？你有什么好方法表示未知的数吗？
（引导学生用图形、符号、字母等形式表示）
师（揭示课题）：大家都用字母a，可用字母6吗？有时没法用具体数字表示的数，就可以用字母表示。
师：字母a可能表示哪些数？
生1：5、3、7……
师：字母a可以表示未知的、变化的数。
师：那你会表示现在总共有多少颗糖果吗？
生2：（25 a）颗。
师：这道式子和我们以前学的有什么不一样？
生3：含有字母。
师：是的，像这样的式子叫作含有字母的式子。25表示什么？a表示什么？25 a表示什么呢？
生4：25表示原来有的糖果数，a表示后来又放进去的颗数，25 a表示现在有的颗数。
用奖励糖果的实例引入用字母表示数和数量关系，可激发学生的学习兴趣。学生根据自己的经验说出用a表示糖果的颗数，但这对数量的抽象并不到位，最后，学生根据自身的一些经验得到用含有字母的式子25 a表示，但由于他们没有经历抽象的过程，这样的认识是不完整、不深刻的。同时，本节课内容比较多，按上述方式教学，最后只完成了练一练的第2题及第3题，而练一练的第1题及练习十八的1至3题都未能在课堂上呈现，但是，缺少相应的练习会影响学生当堂学习的效果，并加重学生的课后负担。因此，在下一次教学中删减了这一部分的导入内容。
【教学改进1】
学习例1（题目略）
师：从图中你知道了什么？
生1：摆1个三角形需要3根小棒。
师：摆2个三角形需要用几根小棒？可以怎样列式？
生2：6根，列式是2×3。
师：这里的2和3分别表示什么？
生3：“2”表示摆的三角形个数，“3”表示摆1个三角形需要3根小棒。
师：摆3个三角形、4个三角形呢？能接着写下去吗？
生4：擺3个三角形，列式是3×3;摆4个三角形，列式是4×3。
师：还能再写一个吗？
生5：摆5个三角形，需要5～3根小棒。
师：谁还能再说一说？说得完吗？
师：三角形个数和小棒根数有什么关系？
生6：小棒根数是三角形个数的3倍，三角形个数x3=小棒根数。
师：这些算式都包含相同的数量关系，你能用一个式子表示吗？
（学生独立尝试）
师：你为什么用符号（或图形、字母）来表示三角形的个数？
生7：我用符号（或图形、字母）表示，因为三角形的个数在不断变化。
师：比较这几种表示方法，有什么相同和不同的地方？
生8：相同：都用（）×3表示（“x3”表示什么？），用一个符号、图形或字母表示三角形个数（为什么不用符号、图形或字母来表示3？）。不同：所用的表示方式不同。
生9：因为3是个确定不变的数，而三角形的个数是变化的、不确定的。
师：像这样变化的数就可以用符号、图形、字母表示，今天我们就来研究其中一种。
由于原教学在引入部分揭示“用字母表示数”和“含有字母式子的数量关系”，所以例1就淡化了对这两个问题的深刻探讨，但同时也忽视了对“三角形的个数和小棒的根数有什么关系？”这个问题的讨论，其实“三角形的个数和小棒的根数有什么关系”这个问题是很重要的，只有清楚了数量关系，才能从用日常语言表示数量关系抽象到用符号语言表示数量关系。因此这里必须引导学生展开讨论，搞清楚数量关系，知道每个三角形所用小棒的根数是不变的量，而三角形的个数是个变化的量，但不管三角形的个数怎么变，“三角形个数×3=用小棒的根数”这个数量关系是不变的，正因为有这个不变的数量关系，才能用字母表示所有三角形的个数。教师应该在学生明白这一点后，再让学生尝试用一个式子表示。这里的教学程序应该是让学生先说关系，再用一个式子来表示，这样就比较好地完成从数抽象成字母的过程。学生可能会写出用不同字母表示的式子，但不管写出什么式子，都是在概括算式且理解了数量关系的基础上写出来的，把这些式子都写出来还有助于丰富学生对用字母表示数的方法的认识。最后再出示“如果用n表示三角形的个数，小棒的根数是（）×（）”，让学生体会到aX3既表示摆a个三角形所用小棒的根数，又表示所用小棒的根数与摆出三角形个数之间的数量关系。还可以进一步提问：“这里的。可以表示哪些数？”让学生根据题意体会可以表示任意自然数。还可追问：“a可以是50吗？可以是500吗？可以是0.5吗？可以是1，5吗？”加深学生对用字母表示数的理解。 【教学改进2】
师：如果这里三角形的个数用字母a表示，小棒的根数是多少呢？
生1：aX3。
师：像这样的式子叫作含有字母的式子。
师：a表示什么？
生2：三角形的个数。
师：乘3表示什么？
生3：摆每个三角形需要3根小棒。
师：aX3表示什么？
生4：小棒的根数、3倍关系。
师：这里的a可以是哪些数？
生5：1、2、3、4……
师：a可以是50、500、0吗？a可以表示什么？
生6：可以。a可以表示任意的自然数，代表的是几个三角形。
师：是的，a可以是任意的自然数。什么时候我们会用字母表示？
生7：对于未知的、变化的数，可以用字母表示。
二、讨论与发现
【教学片段2】
呈现例2：上周末，魏老师从南京自驾去了黄山旅游，出发前，在手机导航上发现从南京到黄山有280千米。
师：如果已经行驶了50千米，你会求剩下的千米数吗？谁会填？你是怎么想的？如果已经行驶了74.5千米，剩下的千米数又是多少？
生1：剩下的路程=总路程一已行驶的路程。
师：如果不知道已经行驶了多少千米，要求剩下的路程，可以怎么表示？
生2：280-b。
师：280表示什么？
生3：总路程。
师：6表示什么？
生4：已经行驶的路程。
师：280-6表示什么？
生5：剩下的路程。
生6：也可以用c表示剩下的路程。
师：用c和280-6表示，哪个更好一些？
生7：280-6更好，因为总路程是280千米，已经行驶的路程是b，用总路程减去已经行驶的路程，剩下的路程就是280-b。
师：对，这样不仅能表示剩下的路程，还可以从中看出总路程、已经行驶的路程和剩下的路程之间的关系。那么6到底是多少？（出示PPT动图）和同桌说一说。随着6的变化，剩下的路程怎么表示？
生8：随着b变大，280-b变小，但不管怎么变，剩下的路程都是280-b。
师：这里的b可以是任意數吗？为什么？
生9：不可以。b只能是0到280之间的任意数。
师：你能说出它的取值范围吗？
生10：0≤6≤280。
师：如何才能确定剩下的路程？
生11：确定6的大小。
师：6可能是小数吗？可能是分数吗？
例2是对例1的巩固、完善和补充，有了例1的基础，出示例2后，前面的3个问题可以让学生根据题意独立思考，先独立填写，然后再进行讨论。如果还是一个问题一个问题地提问回答，那么前面的学就没有起到作用。讨论的重点应该放在：（1）280-b表示什么？明确“既表示剩下的千米数，又表示‘总路程一已经行驶的路程=剩下的路程”’这个数量关系;（2）6的取值范围。不要将这个要点分割得很零碎后进行提问。例2的教学要体现出与例1的层次，例1已经抽象出用字母表示数，学生已经知道含有字母的式子所表示的两种含义，例2要在此基础上引导学生利用已有的知识和经验进行思考，从而完善学生的认知，丰富和拓展学生对用字母表示数的认识。
【教学改进】
师：上周末，魏老师从南京自驾去了黄山旅游，从图中（图略）你知道了什么？那这两个问题你会解决吗？
呈现：如果已经行驶了50千米，剩下的千米数是（）。
如果已经行驶了74.5千米，剩下的千米数是（）。
师：谁会填？你是怎么想的？
生1：都是用“总路程一已经行驶的路程=剩下的路程”。
呈现：如果已经行驶了6千米，剩下的千米数是（）。
师：谁会填？
师：280表示什么？
生2：280表示总路程是280千米。
师：6表示什么？
生3：已经行驶的路程。
师：280-b表示剩下的路程，剩下的路程等于总路程一已经行驶的路程。
师：280-b不仅表示剩下的路程，我们还可以从中看出总路程、已经行驶的路程和剩下的路程之间的关系（数量关系）。
师：这里的6可以是任意数吗？
生4：不可以。
师：为什么？
生5：6可以是0到280之间的任意数。
师：你能说出它的取值范围吗？
生6：0≤b≤280。
师（出示PPT）：一起来感受一下6的取值范围。
师：随着已行驶的路程的不断变化，剩下的路程怎么表示？
生7：随着6变大，280-b变小，但不管怎么变，剩下的路程都是280-b。
师：要想确定剩下的路程，该怎么办？
生8：确定6的大小。
出示：（1）如果b=120，剩下（）千米;
（2）如果b=200，剩下（）千米;
（3）如果b=（），剩下（）千米。
三、教学反思
“用字母表示数”的教学内容一共有3个例题，每个例题都有明确的要求。教师一定要理解教材每个例题的要求，要重视知识展开过程的价值，让学生经历探索和体验的过程。本节课的教学经历了多次的尝试与调整，目的只有一个，即在教学中引导学生克服惯性思维，理解用字母表示数的抽象性，从而发展自身的抽象能力。
反观一开始的教学，虽然流畅，但没有达到让学生真正感受用字母表示数的抽象过程，学生的认识和思考不足，只能凭经验回答，对知识的认识不够深刻。比较而言，最终的授课才真正体现了“重视例题，深刻挖掘了例题的价值”。因此，教师在课堂教学时不能只追求表面的流畅，应该从教学内容本身出发，结合课堂生成，以此引发学生自主建构，真正做到促进学生抽象能力的发展。