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随着课程改革的不断深入,高考的命题也在发生巨大的变化,填空题被予以格外重视,创新型、信息迁移型填空题也应运而生. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求,下面例析创新型、信息迁移型填空题的解法,以抛砖引玉.
一、新定义
新定义型填空题通常采用直接法. 解题时紧扣基础知识,灵活、简捷解题,使用时要善于“透过现象抓本质”. 具体来说,就是直接从题设的条件出发,利用定义、性质、定理、公理等,经过变形、推理、计算、判断得到结论.
例1(2008•湖南卷)设 表示不超x的最大整数,(如 ). 对于给定
的 ,定义 则 ________;当 时,函数 的值域是_________________________.
【解题分析】这是一道新定义的填空题,解题时应认真审题,搞清定义的含义.
【解】 ;当 时, 当 时,
所以 故函数 的值域是 .
【点评】定义或公式是我们解题的依据,解题的关键是正确理解定义,合理地运用好公式.
用分析法或直接推理解填空题.
例2 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”:运算符号紧跟在运算
对象的后面,按照从左到右的顺序运算,如表达式 ,其运算为: ,若计算机进行运算: ,那么使此表达式有意义的 的范围为_____________.
【解题分析】解答问题的关键是:仔细地阅读问题,深刻的理解题意,在此基础上,准
确的写出所叙运算的表示式.
【解】计算机进行运算: 时,它表示的表达式是 ,当其有意义
时,得 ,解得 .
【点评】数学需要解题,但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略. 本题要求正确理解
新概念“后缀表达式”的意义,从而将问题转化为求对数函数的定义域问题.
二、归纳推理型
归纳推理是指从个别事实中推演出一般的结论,它是具有创造性的推理方法,它为演
绎推理确定了目标和方向,通过归纳推理,体会与理解数学发现过程.
例3(2008•江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 910
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为____________.
【解题分析】先分析出第n行的第一个数,再求出从左向右的第3个数.
【解】第n行的第一个数为1+2+3+…+(n-1)+1= ,
则第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 .
【点评】归纳猜想,必须以分析规律为依据,分析观察所给式子的特点,从特殊中猜想
一般性的结论.
例4在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测
如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众____________获特别奖的是____________号选手.
【解题分析】逻辑推理问题是很有趣的,它以能力立意,着力考查思维的灵活性、方向性、选择性和目的性.
【解】推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对. 假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).
【点评】推理是新课标的新增内容,它可以综合地考查学生的逻辑思维,创新精神.
三、信息迁移型
这类问题的特点是题目给出了一个新的信息,通过对信息的分析与理解,运用已经掌握
的知识点,猜想、证明一般结论. 解题的关键是对信息的理解与处理.
例5已知n次多项式 ,如果在一种算法中,计
算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算 的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算 的值共需要 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法: (k=0, 1,2,…,n-1).利用该算法,计算 的值共需要6次运算,计算 的值共需要
次运算.
【解题分析】由普通的算法,到改进的算法,必须对所给信息加以分析,挖掘其本质.
【解】由题意知道 的值需要 次运算,即进行 次 的乘法运算可得到 的结果.
对于 这里进行了3次运算,
进行了2次运算,进行1次运算,最后 之间的加法运算进行了3次这样 总共进行了 次运算.
对于总共进行了 次
乘法运算及 次加法运算所总共进行了 次
由改进算法可知: ,
,
运算次数从后往前算和为: 次
【点评】这类问题的基本特征是:未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论. 解决这类问题的基本策略是:通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题过程中创新成分比较高.
例6 设f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,则
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)= .
【解题分析】本题由课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,得出信息—倒序相加法,从而设法找出f(x)与f(1-x)的关系.
【解】因为 ,
所以f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)= .
【点评】得出信息—倒序相加法是解题的关键. 本题是命题的“源于课本,高于课本”指导思想的生动体现,既考查了课本知识,又富有联想,题目新颖,活而不难,紧贴课本,注重数学方法,富于思考.
四、类比迁移型
数学上的类比迁移思想是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去. 类比不仅仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结构、推理过程等进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联.
例7若数列{an}(n )是等比数列,则有数列bn= (n )也是等比数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}(n )是等差数列,且cn>0,则有dn=(n )是等差数列.
【解】由于等差数列与等比数列的定义只有一字之差,因此,在它们的性质中,也就有
了许多相似之处,即“和”类比“积”. 故易知dn= . 解答此题必须对信息类
比迁移,注意相关知识点的类比迁移,又要注意解题方法的类比迁移.
【点评】本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索,提取相关信息,获得规律,从
而解决问题.
例8若点 满足 ,则点 的轨迹方程是____.
【解题分析】由方程的特点,反映出的信息,可以从几何意义入手,体现了数形结合的思想,简洁直观.
【解】原式化为 ,表示了点 到点 和点 距离的差为 ,又 ,根据双曲线的定义,点 的轨迹应为焦点在 轴上的双曲线的右支.
所以 , , .
因此,所求双曲线的方程是 .
【点评】分析挖掘题干中隐含的规律是解题的关键. 此解法运用方程与图象的关系转化到了双曲线的定义法解题,从而简化了运算,达到了事半功倍的效果.此题的解法也属于定义法解题.
五、组合型填空题
组合型填空题是指:给出若干个论断要求考生将其重新组合,使其构成符合题意的命题. 解题时,要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握,准确地阐述自己的观点,理清思路,进而完成组合顺序.
例9 是两个不同的平面,m、n是平面 之外的两条不同直线,给出四个论断:(1) ,(2) ,(3) ,(4) . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确的一个命题________ _;
【解题分析】写出命题,一一论证.
【解】通过线面关系,不难得出正确的命题有:
【点评】解题分为两个步骤,一是写出命题,二是真命题必须有严格的推理,假命题列举反例即可.
六、开放探索型
解答由多个条件分别和结论组成多个命题的真假判断问题,基本方法是“一一验证”. 这类创新题常常涉及到条件开放、结论开放,也可涉及到一类探究存在性问题. 对能力的要求比较高. 结论开放的探索性问题,往往结论不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广,或结论需通过特例归纳.解决这一类问题,要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法.
例10 以下说法是否正确?
① 是 的充分条件;
② 是 的充要条件;
③ 是 的充要条件;
④ 是 的必要不充分条件.
请把正确的序号填在横线上________.
【解题分析】多重选择题只能采用逐一判断法.
【解】① 或 ,而 ,因此是必要不充分条件;
② 或 ,而 ,因此是必要不充分条件;
③因为 ,所以是充要条件;
④当 时, 不能推出 ,充分性不成立,反之, ,因此必要性成立.
【点评】多重选择题,一般是从不同的角度考察基础知识,难度更大,要求也更高,因
为错选以及漏选都不得分.这类问题具有综合性,必须逐一认真判断,对各种方法达到灵活应用,从而准确解题.
例11 把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.
若函数 的图象与 的图象关于 对称,则函数 =.
(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)
【解题分析】在给定的情境中自己去假设,去求解,去调整方法,去确定结果.
【答案】①x轴, ;②y轴, );③原点, ;
④直线 .
【点评】对于这一类只给出了一个特定的情境,而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题,应该灵活运用数学知识,回顾相近的题型、结论、方法,进行类比猜想.
总之,填空题的特点是短小精悍,考查的知识点集中,答案简短、明确、具体、完整,填空题不需过程,不设中间分,更易失分. 要做到:快——运算要快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.
一、新定义
新定义型填空题通常采用直接法. 解题时紧扣基础知识,灵活、简捷解题,使用时要善于“透过现象抓本质”. 具体来说,就是直接从题设的条件出发,利用定义、性质、定理、公理等,经过变形、推理、计算、判断得到结论.
例1(2008•湖南卷)设 表示不超x的最大整数,(如 ). 对于给定
的 ,定义 则 ________;当 时,函数 的值域是_________________________.
【解题分析】这是一道新定义的填空题,解题时应认真审题,搞清定义的含义.
【解】 ;当 时, 当 时,
所以 故函数 的值域是 .
【点评】定义或公式是我们解题的依据,解题的关键是正确理解定义,合理地运用好公式.
用分析法或直接推理解填空题.
例2 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”:运算符号紧跟在运算
对象的后面,按照从左到右的顺序运算,如表达式 ,其运算为: ,若计算机进行运算: ,那么使此表达式有意义的 的范围为_____________.
【解题分析】解答问题的关键是:仔细地阅读问题,深刻的理解题意,在此基础上,准
确的写出所叙运算的表示式.
【解】计算机进行运算: 时,它表示的表达式是 ,当其有意义
时,得 ,解得 .
【点评】数学需要解题,但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略. 本题要求正确理解
新概念“后缀表达式”的意义,从而将问题转化为求对数函数的定义域问题.
二、归纳推理型
归纳推理是指从个别事实中推演出一般的结论,它是具有创造性的推理方法,它为演
绎推理确定了目标和方向,通过归纳推理,体会与理解数学发现过程.
例3(2008•江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 910
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为____________.
【解题分析】先分析出第n行的第一个数,再求出从左向右的第3个数.
【解】第n行的第一个数为1+2+3+…+(n-1)+1= ,
则第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 .
【点评】归纳猜想,必须以分析规律为依据,分析观察所给式子的特点,从特殊中猜想
一般性的结论.
例4在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测
如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众____________获特别奖的是____________号选手.
【解题分析】逻辑推理问题是很有趣的,它以能力立意,着力考查思维的灵活性、方向性、选择性和目的性.
【解】推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对. 假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).
【点评】推理是新课标的新增内容,它可以综合地考查学生的逻辑思维,创新精神.
三、信息迁移型
这类问题的特点是题目给出了一个新的信息,通过对信息的分析与理解,运用已经掌握
的知识点,猜想、证明一般结论. 解题的关键是对信息的理解与处理.
例5已知n次多项式 ,如果在一种算法中,计
算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算 的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算 的值共需要 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法: (k=0, 1,2,…,n-1).利用该算法,计算 的值共需要6次运算,计算 的值共需要
次运算.
【解题分析】由普通的算法,到改进的算法,必须对所给信息加以分析,挖掘其本质.
【解】由题意知道 的值需要 次运算,即进行 次 的乘法运算可得到 的结果.
对于 这里进行了3次运算,
进行了2次运算,进行1次运算,最后 之间的加法运算进行了3次这样 总共进行了 次运算.
对于总共进行了 次
乘法运算及 次加法运算所总共进行了 次
由改进算法可知: ,
,
运算次数从后往前算和为: 次
【点评】这类问题的基本特征是:未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论. 解决这类问题的基本策略是:通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题过程中创新成分比较高.
例6 设f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,则
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)= .
【解题分析】本题由课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,得出信息—倒序相加法,从而设法找出f(x)与f(1-x)的关系.
【解】因为 ,
所以f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)= .
【点评】得出信息—倒序相加法是解题的关键. 本题是命题的“源于课本,高于课本”指导思想的生动体现,既考查了课本知识,又富有联想,题目新颖,活而不难,紧贴课本,注重数学方法,富于思考.
四、类比迁移型
数学上的类比迁移思想是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去. 类比不仅仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结构、推理过程等进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联.
例7若数列{an}(n )是等比数列,则有数列bn= (n )也是等比数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}(n )是等差数列,且cn>0,则有dn=(n )是等差数列.
【解】由于等差数列与等比数列的定义只有一字之差,因此,在它们的性质中,也就有
了许多相似之处,即“和”类比“积”. 故易知dn= . 解答此题必须对信息类
比迁移,注意相关知识点的类比迁移,又要注意解题方法的类比迁移.
【点评】本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索,提取相关信息,获得规律,从
而解决问题.
例8若点 满足 ,则点 的轨迹方程是____.
【解题分析】由方程的特点,反映出的信息,可以从几何意义入手,体现了数形结合的思想,简洁直观.
【解】原式化为 ,表示了点 到点 和点 距离的差为 ,又 ,根据双曲线的定义,点 的轨迹应为焦点在 轴上的双曲线的右支.
所以 , , .
因此,所求双曲线的方程是 .
【点评】分析挖掘题干中隐含的规律是解题的关键. 此解法运用方程与图象的关系转化到了双曲线的定义法解题,从而简化了运算,达到了事半功倍的效果.此题的解法也属于定义法解题.
五、组合型填空题
组合型填空题是指:给出若干个论断要求考生将其重新组合,使其构成符合题意的命题. 解题时,要求考生对知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握,准确地阐述自己的观点,理清思路,进而完成组合顺序.
例9 是两个不同的平面,m、n是平面 之外的两条不同直线,给出四个论断:(1) ,(2) ,(3) ,(4) . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确的一个命题________ _;
【解题分析】写出命题,一一论证.
【解】通过线面关系,不难得出正确的命题有:
【点评】解题分为两个步骤,一是写出命题,二是真命题必须有严格的推理,假命题列举反例即可.
六、开放探索型
解答由多个条件分别和结论组成多个命题的真假判断问题,基本方法是“一一验证”. 这类创新题常常涉及到条件开放、结论开放,也可涉及到一类探究存在性问题. 对能力的要求比较高. 结论开放的探索性问题,往往结论不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广,或结论需通过特例归纳.解决这一类问题,要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法.
例10 以下说法是否正确?
① 是 的充分条件;
② 是 的充要条件;
③ 是 的充要条件;
④ 是 的必要不充分条件.
请把正确的序号填在横线上________.
【解题分析】多重选择题只能采用逐一判断法.
【解】① 或 ,而 ,因此是必要不充分条件;
② 或 ,而 ,因此是必要不充分条件;
③因为 ,所以是充要条件;
④当 时, 不能推出 ,充分性不成立,反之, ,因此必要性成立.
【点评】多重选择题,一般是从不同的角度考察基础知识,难度更大,要求也更高,因
为错选以及漏选都不得分.这类问题具有综合性,必须逐一认真判断,对各种方法达到灵活应用,从而准确解题.
例11 把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.
若函数 的图象与 的图象关于 对称,则函数 =.
(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)
【解题分析】在给定的情境中自己去假设,去求解,去调整方法,去确定结果.
【答案】①x轴, ;②y轴, );③原点, ;
④直线 .
【点评】对于这一类只给出了一个特定的情境,而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题,应该灵活运用数学知识,回顾相近的题型、结论、方法,进行类比猜想.
总之,填空题的特点是短小精悍,考查的知识点集中,答案简短、明确、具体、完整,填空题不需过程,不设中间分,更易失分. 要做到:快——运算要快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.