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摘要：根据大众教育形势下高校大学数学教育改革的要求，针对概率论与数理统计抽象难学、学生学习兴趣不高这一问题，结合实际教学实践，通过对概率统计的发展过程、课堂教学的有效设计及现代教育手段的合理使用等方面的阐述，对提高学生的学习兴趣进行探讨，提高了教学效果，增强了教学的实效性。
关键词：概率论与数理统计；学习兴趣；教学
作者简介：周玲（1978-），女，河南驻马店人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，讲师；罗党（1958-），男，河南驻马店人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，教授。（河南 郑州 450011）
基金项目：本文系河南省科技厅2009年软科学研究计划项目（项目编号：092400450015）、2010年华北水利水电学院教改项目的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）07-0100-03
概率论与数理统计是对随机现象统计规律进行演绎和归纳的科学，是现代数学的一个重要分支，是高等院校工、农、经济管理等专业一门重要的数学基础课程。它是学生在本科阶段首次接触和学习研究随机性问题的学科，这就要求学生要学会建立随机性思维方式。而初学时，学生往往会感到比较困难、抽象难懂，需要教师充分利用概率论与数理统计自身的特点，多方位、多角度激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性、培养学生的思维品质。
在教学过程中，兴趣起到非常重要的作用。著名科学家爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师”。兴趣是主动探索求知的内在动力，只有当学生有了兴趣，才能对学习充满热情，才能积极主动地学习。然而，兴趣的形成是一个复杂的过程，它是在充满情趣、富有魅力、生动活泼的教学活动中逐渐培养起来的。这就要求教师在设计教学过程中，从教学内容的处理到教学方法的实施，都要精心考虑。而概率论与数理统计是一门从实践中发展起来的学科，起源于17世纪中叶，来源于赌博游戏，具有别开生面的研究内容，有着自己独特的无穷魅力。这就为激发学生学习兴趣提供了良好的条件基础。下面就实际教学活动中，如何引导学生激发其学习兴趣方面的相关内容，进行了探讨和研究，浅谈几点粗浅的尝试，为从事该课程教学的同行们提供一些参考。
一、介绍概率论与数理统计的发展过程，让学生感受和了解知识的原始背景，激发学习兴趣
任何一门课程要想引起学生的兴趣，教师首先要对其发展的历史过程及对人类社会的影响有着深刻的认识和见解，知道这门学科的基本问题、基本概念的来历、原理及其独特的研究方法。只有这样，在教学中才能以故事的形式讲述其发展史，才可以从直观背景入手，通过有趣的实例去讲述基本概念、去激发学生的兴趣，使学生满怀热情愉快的学习。所以，在该课程的教学中要逐一介绍这一方面的内容。
作为一门年轻的数学分支课程，概率论与数理统计的历史不算久远，15～16世纪意大利数学家帕乔利、塔尔塔利亚和卡尔达塔的著作中曾讨论“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”的问题。17世纪中叶，法国贵族梅勒在赌博中遇到这样一个问题：甲、乙两名赌徒进行一场赌博，约定谁先赢到7局为胜者。现甲赢5局，乙赢4局，赌局因事终止，问赌金如何分配？梅勒就此问题向法国数学家帕斯卡请教，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出问题的正确答案。此时荷兰数学家惠更斯在法国游学，因此他们的通信引起了惠更斯的关注。并于1657年发表了著作《论赌博的计算》，探讨概率问题的原理。这些研究成果标志着概率论作为一门科学诞生了。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此，可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯。主要工作涉及概率加法、乘法定理等，是以代数方法计算各种古典概率，由此，后人称此项工作奠定了古典概率的基础，这一时期被称为组合概率时期。
随着概率论广泛应用于生产、生活各个方面，引起了越来越多学者的关注和研究。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家伯努利，1685年伯努利发表了关于赌博游戏中输赢次数问题的论文。后来，他又写成巨著《猜度术》，这本书在他死后八年才得以出版。这部著作除了总结前人关于赌博的概率问题的成果外，还在此基础上继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，即如今以他的名字命名的“伯努利大数定理”，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果，揭示了频率与概率的关系。在某种程度上可以说是整个概率论最基本的规律之一，也是概率统计的理论基石。随后，隶莫佛在《分析杂论中》提出了乘法原理及正态分布的一些非常重要的概念，并介绍概率中另外一个很重要的极限定理——中心极限定理。随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，将古典概率论向近代概率论进行推进。他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，实现了从组合技巧向分析技巧方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“隶莫弗—拉普拉斯定理”，把隶莫弗的结论推广到一般场合。此后，科学家们做了许多关于概率公理化定义的工作。直到1933年，苏联最伟大的数学家柯尔·莫哥洛夫（1903～1987）把概率论建立在测度论的基础上，提出了概率公理化结构，得到了广大科学家的普遍认可，标志着概率论作为一门科学正式诞生。
对概率统计发展史的了解，不仅丰富了学生学习数学史的知识，更重要的是通过问题再现的形式，让学生感受其真实情境，体验前人的原始创新，激发学习兴趣。另一方面，通过对这些发展过程的了解，使他们对本课程内容之间的内在联系上有更好的理解和整体性的认识。而且在潜移默化中也培养了学生的应用意识，将概率论与数理统计理解为探索解决各种问题的科学方法、工具和手段。
二、课堂教学富有趣味，激发学生学习兴趣
1.利用历史问题启发教学，激发学生学习兴趣
某一事件发生的频率及概率的关系在概率论教学中占有重要的地位，为了使学生理解用频率估计概率的必要性和合理性，必须让学生通过实际例子获得直观的感受进而引入抛硬币的随机试验，并介绍历史实验者德摩根、蒲丰等人的实验结果。最后给出概率的定义：在相同条件下，进行n次试验，其中事件A发生的次数为nA次，则nA/n称为事件A发生的频率fn(A)，在每组试验中nA/n一般会有不同，但当试验次数n逐渐增大时，fn(A)呈现出稳定性，总在某个常数p附近摆动，且逐渐稳定于常数p，称p为事件A发生的概率。还可以让学生分组亲自做实验来观察抛硬币出现的频率稳定性统计结果（如表1所示）。
通过对科学家历史实验数据的直观感受和自身的实践，更能充分理解频率与概率的关系，比较容易接受这个定义。但有些学生会有疑问：定义中的稳定性与高等数学中学过的极限概念是否相似，稳定性如何理解呢？针对以上问题，可以通过表中数据进行直观分析。频率是随机变量，随着试验次数不同而改变，但试验次数n的增加不能保证nA/n越来越接近于p=0.5。在理论上可以让学生思考是错误的，并尝试让学生给出相应证明过程。学生自然会更加好奇，稳定性该如何理解呢？告诉学生这个问题将在后面讲到的伯努利大数定理中得到解决。更能引起学生的兴趣和注意，使学生有了进一步学习、探索的渴望。
2.利用现实问题启发教学，注重引导，激发学生学习兴趣
在讲古典概率时，通常会讲到生日问题，因此，可以给学生设置问题“我班有学生120名，在座的学生至少有两名学生的生日相同，你们相信吗？”学生听后无不产生疑问，激起了听课兴趣，想急切知道原因。进而给出更一般的模型“生日怪论”：某班有n个人（n≤365）问至少有两个人的生日相同的概率为多大？如果把“天”理解为“房”，并把问题更一般化，上述“生日问题”转化为“分房问题”，即设有n个人，每个人都等可能地被分到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求恰好有n个房间各住一人的概率？如果把上述问题的“人”理解为“粒子所处的能级（能量状态）”，那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学家中的马克斯威尔-波尔兹曼统计模型；如果n个人是不可分辨的，那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计模型；“如果粒子是不可分辨的，且每个房间里最多只能放一个粒子”，这就是费米-狄拉克统计模型。如此反复展开，激发学生的求知欲，也开阔了视野，锻炼了学生在纷繁变化的具体问题中总结规律的能力，提高了学生的抽象概括能力。在教学中把现实问题模型化，更易于吸引学生的兴趣，把现实问题与知识相结合融会贯通，使学生能理论联系实际，加深对知识的理解和应用。
三、贴近生活，注重概率在生活中的应用，激发学生学习兴趣
比赛是选拔人才的重要方式，那么制定怎样的赛制更公平?制定怎样的游戏规则才能使比赛更合理？从某种意义上来说，概率可以是民主与平等的体现，因此，在社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。下面用概率的观点和知识加以阐述。
实例：体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是，由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法。既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图，那么它对于双方选手来说真的公平吗？由于一场比赛前比赛双方的水平或胜负是一个不可测的未知数，因此，赛事组织者理应撇开比赛中甲、乙双方的原有水平，而认为在一次比赛中甲、乙双方获胜的概率各为P=1/2，即在一局比赛中每位选手的“胜”和“负”的发生是等可能的。先考察“三局两胜”制是否公平。将一局比赛作一次试验，那么三局比赛便可看成三次独立重复试验，用事件A表示“一局比赛中甲获胜”，显然P（A）=1/2，我们来看三次独立重复试验中事件A发生的次数，以决定甲获胜的概率。按“三局二胜”制，在三次独立重复试验，甲获胜仅当事件A至少发生2次，故
P（甲获胜）==1/2、P（乙获胜）= 1/2
这表明“三局二胜”制是公平的比赛制度。
再看“五局三胜”的情况，此时
P（甲获胜）= =1/2；P（乙获胜）=1/2
这表明“五局三胜”制也是公平的比赛制度。如果甲乙双方的技术能力有差距，不在同一水平上，那么在不同赛制下比赛结果是否也有差异？假设在每一局比赛中甲获胜概率为P，乙获胜的概率为q，则在“三局两胜”赛制中，P（甲获胜）=，而在“五局三胜”赛制中，P（甲获胜）=
可以证明水平较高的选手在“五局三胜”赛制下比“三局两胜”赛制下获胜的把握更大。上面两例看来，有时看似公平的又不公平，看似不公平其实又是公平的，这就是概率。
在生活中，我们会遇到许多由因求果的问题也会遇到许多由果溯因的问题，而解决由果溯因的问题就要用到贝叶斯公式的内容。为了让学生更容易理解和掌握贝叶斯公式，可以讲授伊索寓言中狼来了的故事，让学生们从概率的角度对村民的心理活动进行分析，给出故事的概率论解读。故事讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没，有一次他在山上喊：“狼来了! 狼来了! ”，山下的村民们闻声便去打狼，结果发现狼没有来；第二次仍是如此；第三次，狼真的来了，任凭小孩怎么喊叫，最终也没有人来救他，因为前两次他说了谎话，村民不再相信他了。首先，我们要做一些必要的假设：设事件A为“小孩说谎”、事件B为“小孩可信”且原来村民们对这个小孩的印象为；再不妨设可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.5，即，当第一次村民上山打狼，发现狼没有来小孩说了谎（事件A发生了）。根据这个已知信息，村民们修正了对小孩可信程度的印象，由贝叶斯公式可得：
这表明上过一次当后，村民们对这个小孩可信的概率由 0.8 调整到0.444，即村民们上过一次当之后对小孩的印象已调整为，在此基础上，村民们第二次上山打狼，仍没有看见狼，小孩说了谎（事件A发生了）。根据这个已知信息，村民们再次修正了对小孩可信程度的印象，由贝叶斯公式可得：
这就是说，村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度从最初的0.8下降到现在0.138。当狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，山下的村民们谁还会相信可信度如此低的小孩说的竟会是真话呢？诚信之所以重要，就在于人们会根据与你交往中发生的事件A去修正对你的印象，用后验概率P（B|A）去替代先验概率P（B）。而且，这种修正会一次一次地进行，量化工具就是贝叶斯公式。
比如，我们还可以从概率角度去探讨保险公司新品种新方案的设计问题、彩票问题、医疗诊断问题等，将这些生活中的实际问题纳入到教学中去，不仅使学生感到新鲜，调动了他们学习的兴趣，而且有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
四、积极利用现代教育技术，形象、直观表现教学的动态性，激发学生学习兴趣
在教学中积极运用以计算机为主的现代教育技术，通过对教与学过程的设计、开发、利用、评价与管理，以实现教学优化的管理与实践。首先，在课堂上积极、合理、有效的使用多媒体进行授课，通过计算机图形演示、动画模拟等以图形并茂的形式表现出教学的动态性。使教学内容直观化、形象化；使课堂教学活动活泼化、生动化；富有启发性和真实性。从根本上改变传统单调的教学模式，激发学生的学习兴趣，活跃学习氛围，刺激学生的形象思维能力。比如，在讲授频率与概率的关系定义时，可通过投掷硬币，利用图形动态演示频率的稳定性规律，随着投掷次数的增多，出现正面频率的振幅越来越小，逐渐稳定；在讲授中心极限定理时可以通过课件模拟在一定条件下任何一个分布都近似为正态分布。其次要充分利用统计软件包，如SPSS、SAS、R等著名软件，结合数学实验解决适用性较强的概率统计方面的生活案例，如产品设计与质量管理、敏感性问题调查、新研制的药品能否在临床中应用等问题；还可以让学生探讨和尝试历年涉及概率统计方面的数学建模题，如彩票的问题、DVD在线租赁问题、DNA序列的分类和2008年北京奥运会场馆的人流分布等问题。通过这些方面的实践充分展现了概率统计的应用价值，使学生感受其无穷的魅力及重要性，调动了学习的积极性，激发学习的兴趣，同时也有助于培养学生运用概率统计知识结合现代教育技术分析问题、解决问题及创新的能力。
五、小结
法国数学家拉普拉斯（Laplace）说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。”
因此，概率统计的地位非常重要。进入2l世纪，我国高等教育已由“精英教育”转入了“大众化教育”，如何适应高等教育改革的需要，在教学中如何提高学生学习兴趣、调动学生学习的积极性与主动性、培养学生的学习能力、提高教学效果仍是我们努力的方向，需要我们从不同角度、不同方面去积极地寻求和探索。
参考文献：
[1]茆诗松,等.概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社,2000.
[2]胡作玄.数学是什么[M].北京:高等教育出版社,2008.
[3]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1999.
（责任编辑：苏宇嵬）
关键词：概率论与数理统计；学习兴趣；教学
作者简介：周玲（1978-），女，河南驻马店人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，讲师；罗党（1958-），男，河南驻马店人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，教授。（河南 郑州 450011）
基金项目：本文系河南省科技厅2009年软科学研究计划项目（项目编号：092400450015）、2010年华北水利水电学院教改项目的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）07-0100-03
概率论与数理统计是对随机现象统计规律进行演绎和归纳的科学，是现代数学的一个重要分支，是高等院校工、农、经济管理等专业一门重要的数学基础课程。它是学生在本科阶段首次接触和学习研究随机性问题的学科，这就要求学生要学会建立随机性思维方式。而初学时，学生往往会感到比较困难、抽象难懂，需要教师充分利用概率论与数理统计自身的特点，多方位、多角度激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性、培养学生的思维品质。
在教学过程中，兴趣起到非常重要的作用。著名科学家爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师”。兴趣是主动探索求知的内在动力，只有当学生有了兴趣，才能对学习充满热情，才能积极主动地学习。然而，兴趣的形成是一个复杂的过程，它是在充满情趣、富有魅力、生动活泼的教学活动中逐渐培养起来的。这就要求教师在设计教学过程中，从教学内容的处理到教学方法的实施，都要精心考虑。而概率论与数理统计是一门从实践中发展起来的学科，起源于17世纪中叶，来源于赌博游戏，具有别开生面的研究内容，有着自己独特的无穷魅力。这就为激发学生学习兴趣提供了良好的条件基础。下面就实际教学活动中，如何引导学生激发其学习兴趣方面的相关内容，进行了探讨和研究，浅谈几点粗浅的尝试，为从事该课程教学的同行们提供一些参考。
一、介绍概率论与数理统计的发展过程，让学生感受和了解知识的原始背景，激发学习兴趣
任何一门课程要想引起学生的兴趣，教师首先要对其发展的历史过程及对人类社会的影响有着深刻的认识和见解，知道这门学科的基本问题、基本概念的来历、原理及其独特的研究方法。只有这样，在教学中才能以故事的形式讲述其发展史，才可以从直观背景入手，通过有趣的实例去讲述基本概念、去激发学生的兴趣，使学生满怀热情愉快的学习。所以，在该课程的教学中要逐一介绍这一方面的内容。
作为一门年轻的数学分支课程，概率论与数理统计的历史不算久远，15～16世纪意大利数学家帕乔利、塔尔塔利亚和卡尔达塔的著作中曾讨论“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”的问题。17世纪中叶，法国贵族梅勒在赌博中遇到这样一个问题：甲、乙两名赌徒进行一场赌博，约定谁先赢到7局为胜者。现甲赢5局，乙赢4局，赌局因事终止，问赌金如何分配？梅勒就此问题向法国数学家帕斯卡请教，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出问题的正确答案。此时荷兰数学家惠更斯在法国游学，因此他们的通信引起了惠更斯的关注。并于1657年发表了著作《论赌博的计算》，探讨概率问题的原理。这些研究成果标志着概率论作为一门科学诞生了。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此，可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯。主要工作涉及概率加法、乘法定理等，是以代数方法计算各种古典概率，由此，后人称此项工作奠定了古典概率的基础，这一时期被称为组合概率时期。
随着概率论广泛应用于生产、生活各个方面，引起了越来越多学者的关注和研究。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家伯努利，1685年伯努利发表了关于赌博游戏中输赢次数问题的论文。后来，他又写成巨著《猜度术》，这本书在他死后八年才得以出版。这部著作除了总结前人关于赌博的概率问题的成果外，还在此基础上继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，即如今以他的名字命名的“伯努利大数定理”，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果，揭示了频率与概率的关系。在某种程度上可以说是整个概率论最基本的规律之一，也是概率统计的理论基石。随后，隶莫佛在《分析杂论中》提出了乘法原理及正态分布的一些非常重要的概念，并介绍概率中另外一个很重要的极限定理——中心极限定理。随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，将古典概率论向近代概率论进行推进。他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，实现了从组合技巧向分析技巧方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“隶莫弗—拉普拉斯定理”，把隶莫弗的结论推广到一般场合。此后，科学家们做了许多关于概率公理化定义的工作。直到1933年，苏联最伟大的数学家柯尔·莫哥洛夫（1903～1987）把概率论建立在测度论的基础上，提出了概率公理化结构，得到了广大科学家的普遍认可，标志着概率论作为一门科学正式诞生。
对概率统计发展史的了解，不仅丰富了学生学习数学史的知识，更重要的是通过问题再现的形式，让学生感受其真实情境，体验前人的原始创新，激发学习兴趣。另一方面，通过对这些发展过程的了解，使他们对本课程内容之间的内在联系上有更好的理解和整体性的认识。而且在潜移默化中也培养了学生的应用意识，将概率论与数理统计理解为探索解决各种问题的科学方法、工具和手段。
二、课堂教学富有趣味，激发学生学习兴趣
1.利用历史问题启发教学，激发学生学习兴趣
某一事件发生的频率及概率的关系在概率论教学中占有重要的地位，为了使学生理解用频率估计概率的必要性和合理性，必须让学生通过实际例子获得直观的感受进而引入抛硬币的随机试验，并介绍历史实验者德摩根、蒲丰等人的实验结果。最后给出概率的定义：在相同条件下，进行n次试验，其中事件A发生的次数为nA次，则nA/n称为事件A发生的频率fn(A)，在每组试验中nA/n一般会有不同，但当试验次数n逐渐增大时，fn(A)呈现出稳定性，总在某个常数p附近摆动，且逐渐稳定于常数p，称p为事件A发生的概率。还可以让学生分组亲自做实验来观察抛硬币出现的频率稳定性统计结果（如表1所示）。
通过对科学家历史实验数据的直观感受和自身的实践，更能充分理解频率与概率的关系，比较容易接受这个定义。但有些学生会有疑问：定义中的稳定性与高等数学中学过的极限概念是否相似，稳定性如何理解呢？针对以上问题，可以通过表中数据进行直观分析。频率是随机变量，随着试验次数不同而改变，但试验次数n的增加不能保证nA/n越来越接近于p=0.5。在理论上可以让学生思考是错误的，并尝试让学生给出相应证明过程。学生自然会更加好奇，稳定性该如何理解呢？告诉学生这个问题将在后面讲到的伯努利大数定理中得到解决。更能引起学生的兴趣和注意，使学生有了进一步学习、探索的渴望。
2.利用现实问题启发教学，注重引导，激发学生学习兴趣
在讲古典概率时，通常会讲到生日问题，因此，可以给学生设置问题“我班有学生120名，在座的学生至少有两名学生的生日相同，你们相信吗？”学生听后无不产生疑问，激起了听课兴趣，想急切知道原因。进而给出更一般的模型“生日怪论”：某班有n个人（n≤365）问至少有两个人的生日相同的概率为多大？如果把“天”理解为“房”，并把问题更一般化，上述“生日问题”转化为“分房问题”，即设有n个人，每个人都等可能地被分到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求恰好有n个房间各住一人的概率？如果把上述问题的“人”理解为“粒子所处的能级（能量状态）”，那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学家中的马克斯威尔-波尔兹曼统计模型；如果n个人是不可分辨的，那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计模型；“如果粒子是不可分辨的，且每个房间里最多只能放一个粒子”，这就是费米-狄拉克统计模型。如此反复展开，激发学生的求知欲，也开阔了视野，锻炼了学生在纷繁变化的具体问题中总结规律的能力，提高了学生的抽象概括能力。在教学中把现实问题模型化，更易于吸引学生的兴趣，把现实问题与知识相结合融会贯通，使学生能理论联系实际，加深对知识的理解和应用。
三、贴近生活，注重概率在生活中的应用，激发学生学习兴趣
比赛是选拔人才的重要方式，那么制定怎样的赛制更公平?制定怎样的游戏规则才能使比赛更合理？从某种意义上来说，概率可以是民主与平等的体现，因此，在社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。下面用概率的观点和知识加以阐述。
实例：体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是，由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法。既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图，那么它对于双方选手来说真的公平吗？由于一场比赛前比赛双方的水平或胜负是一个不可测的未知数，因此，赛事组织者理应撇开比赛中甲、乙双方的原有水平，而认为在一次比赛中甲、乙双方获胜的概率各为P=1/2，即在一局比赛中每位选手的“胜”和“负”的发生是等可能的。先考察“三局两胜”制是否公平。将一局比赛作一次试验，那么三局比赛便可看成三次独立重复试验，用事件A表示“一局比赛中甲获胜”，显然P（A）=1/2，我们来看三次独立重复试验中事件A发生的次数，以决定甲获胜的概率。按“三局二胜”制，在三次独立重复试验，甲获胜仅当事件A至少发生2次，故
P（甲获胜）==1/2、P（乙获胜）= 1/2
这表明“三局二胜”制是公平的比赛制度。
再看“五局三胜”的情况，此时
P（甲获胜）= =1/2；P（乙获胜）=1/2
这表明“五局三胜”制也是公平的比赛制度。如果甲乙双方的技术能力有差距，不在同一水平上，那么在不同赛制下比赛结果是否也有差异？假设在每一局比赛中甲获胜概率为P，乙获胜的概率为q，则在“三局两胜”赛制中，P（甲获胜）=，而在“五局三胜”赛制中，P（甲获胜）=
可以证明水平较高的选手在“五局三胜”赛制下比“三局两胜”赛制下获胜的把握更大。上面两例看来，有时看似公平的又不公平，看似不公平其实又是公平的，这就是概率。
在生活中，我们会遇到许多由因求果的问题也会遇到许多由果溯因的问题，而解决由果溯因的问题就要用到贝叶斯公式的内容。为了让学生更容易理解和掌握贝叶斯公式，可以讲授伊索寓言中狼来了的故事，让学生们从概率的角度对村民的心理活动进行分析，给出故事的概率论解读。故事讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没，有一次他在山上喊：“狼来了! 狼来了! ”，山下的村民们闻声便去打狼，结果发现狼没有来；第二次仍是如此；第三次，狼真的来了，任凭小孩怎么喊叫，最终也没有人来救他，因为前两次他说了谎话，村民不再相信他了。首先，我们要做一些必要的假设：设事件A为“小孩说谎”、事件B为“小孩可信”且原来村民们对这个小孩的印象为；再不妨设可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.5，即，当第一次村民上山打狼，发现狼没有来小孩说了谎（事件A发生了）。根据这个已知信息，村民们修正了对小孩可信程度的印象，由贝叶斯公式可得：
这表明上过一次当后，村民们对这个小孩可信的概率由 0.8 调整到0.444，即村民们上过一次当之后对小孩的印象已调整为，在此基础上，村民们第二次上山打狼，仍没有看见狼，小孩说了谎（事件A发生了）。根据这个已知信息，村民们再次修正了对小孩可信程度的印象，由贝叶斯公式可得：
这就是说，村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度从最初的0.8下降到现在0.138。当狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，山下的村民们谁还会相信可信度如此低的小孩说的竟会是真话呢？诚信之所以重要，就在于人们会根据与你交往中发生的事件A去修正对你的印象，用后验概率P（B|A）去替代先验概率P（B）。而且，这种修正会一次一次地进行，量化工具就是贝叶斯公式。
比如，我们还可以从概率角度去探讨保险公司新品种新方案的设计问题、彩票问题、医疗诊断问题等，将这些生活中的实际问题纳入到教学中去，不仅使学生感到新鲜，调动了他们学习的兴趣，而且有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
四、积极利用现代教育技术，形象、直观表现教学的动态性，激发学生学习兴趣
在教学中积极运用以计算机为主的现代教育技术，通过对教与学过程的设计、开发、利用、评价与管理，以实现教学优化的管理与实践。首先，在课堂上积极、合理、有效的使用多媒体进行授课，通过计算机图形演示、动画模拟等以图形并茂的形式表现出教学的动态性。使教学内容直观化、形象化；使课堂教学活动活泼化、生动化；富有启发性和真实性。从根本上改变传统单调的教学模式，激发学生的学习兴趣，活跃学习氛围，刺激学生的形象思维能力。比如，在讲授频率与概率的关系定义时，可通过投掷硬币，利用图形动态演示频率的稳定性规律，随着投掷次数的增多，出现正面频率的振幅越来越小，逐渐稳定；在讲授中心极限定理时可以通过课件模拟在一定条件下任何一个分布都近似为正态分布。其次要充分利用统计软件包，如SPSS、SAS、R等著名软件，结合数学实验解决适用性较强的概率统计方面的生活案例，如产品设计与质量管理、敏感性问题调查、新研制的药品能否在临床中应用等问题；还可以让学生探讨和尝试历年涉及概率统计方面的数学建模题，如彩票的问题、DVD在线租赁问题、DNA序列的分类和2008年北京奥运会场馆的人流分布等问题。通过这些方面的实践充分展现了概率统计的应用价值，使学生感受其无穷的魅力及重要性，调动了学习的积极性，激发学习的兴趣，同时也有助于培养学生运用概率统计知识结合现代教育技术分析问题、解决问题及创新的能力。
五、小结
法国数学家拉普拉斯（Laplace）说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。”
因此，概率统计的地位非常重要。进入2l世纪，我国高等教育已由“精英教育”转入了“大众化教育”，如何适应高等教育改革的需要，在教学中如何提高学生学习兴趣、调动学生学习的积极性与主动性、培养学生的学习能力、提高教学效果仍是我们努力的方向，需要我们从不同角度、不同方面去积极地寻求和探索。
参考文献：
[1]茆诗松,等.概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社,2000.
[2]胡作玄.数学是什么[M].北京:高等教育出版社,2008.
[3]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1999.
（责任编辑：苏宇嵬）