论文部分内容阅读
一、问题的缘起
“圆的面积”是小学数学几何教学中重要的课程内容，它是平面图形的认识和测量中，由直线图形变为曲线图形的关键点，从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一个很大的跨跃。人教版教材采用实验的方法推导圆的面积计算公式。推导出圆的面积计算公式之后，教材安排了两道例题，应用圆的面积计算公式解决实际问题。例1是已知直径，先求出半径，再求面积；例2是求圆环的面积。在这样的教学后，笔者对“圆的面积”进行了教学后测。
后测试题：
（1）已知正方形的面积为36平方厘米，求圆的面积。（见下图）
（2）已知正方形的面积为20平方厘米，求圆的面积。（见上图）
笔者对两个班级82名学生进行了测试，答题情况见表1。
二、分析与诊断
透过错例现象，经过思辨加工，从中梳理归纳其产生问题的原因。
（一）缺少面积意义的感悟体验
在学习“圆的面积”之前，学生已经学习了正方形、长方形等平面图形的周长与面积，学生能用自己的语言表述出什么是图形的周长，什么是图形的面积。因此，教师在教学“圆的面积”时会觉得学生对圆的面积意义的理解已经没有困难了，无须加以体会。从上述的后测中可以看到，正方形的面积为20平方厘米，学生想到了边长为5厘米。由此可见，在小学图形与几何教学中，往往容易混淆圆的周长和面积的概念。
（二）缺少公式本质的推理分析
从上述的后测中可知，学生会根据“36”这个特殊的数据很快知道正方形的边长是6厘米，正方形的边长也就是圆的半径，然后运用圆面积公式S=πr?顺利地求出圆的面积。但把题中的“36”改成“20”后，学生就显得束手无策了。学生总是试图先求出半径，再利用S=πr?这一公式得出圆的面积。可在我们的教学中却忽视了“圆的面积是r?的π倍”，其实圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。
（三）缺少丰厚多样的探究经历
在教学中，很多教师考虑到小学生的认知发展规律，认为小学阶段学生只要能认同圆的面积公式就可以了，不需要经历过长的探索过程。“圆的面积”一课教材只要求学生把圆分成若干（偶数）等份，剪开后用近似等腰三角形拼成一个近似的平行四边形（长方形），由平行四边形或长方形面积公式推导出圆面积公式。在几何图形面积公式的推导过程中，不能简单地用单一的方法获取计算公式，还应加强推导过程中求异思维训练，让学生经历异中求同的探究计算公式的过程。
（四）缺少过程理解的运用练习
在探究出圆的面积计算公式后，很多教师就把主要精力放在套用公式的计算上。在练习设计中，总是设计一些已知半径或是直径可以直接套用公式求圆面积的题目，或者是设计一些已知圆的周长求圆面积的题目。这样一来，通过观察、操作、推理等手段推导出的计算公式，在练习中缺少了过程理解的运用，只是机械地套用公式进行计算，不利于学生对计算公式的深入理解，这不是我们教学的最终的目的。
三、对策和措施
新课改的数学课堂注重过程性学习，提高学生思维能力，关注学生个性体验，可在几何图形计算公式教学中，还陷入“公式化”教学模式：追求快速推导出公式，拘泥于“套用公式”的练习。怎样才能真正让几何图形计算公式“灵活”起来。现以六年级上册“圆的面积”一课为例，谈谈笔者的一些尝试。
（一）重视情境操作，感悟“面积意义”
研究表明，适当的操作和具体的图像对小学生的数学学习，特别是对图形的周长、面积和体积等概念的理解是非常有帮助的。教学中应重视结合一些具体操作情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义与变化本质加以体会。在“圆的面积”一课的导入环节中，笔者设计这样的活动：描一描下面图形的周长与面积，想一想圆的面积大小与什么有关？（见下图）
1.描绘，感悟周长、面积概念的本质区别
导入活动中利用4个大小不一的圆，让学生用喜欢的方式表示圆的周长与面积。学生能用多种表征方式（用笔来描、用线绕圆形、用手指笔画、语言描述）来感悟圆的周长；再用（用阴影表示、用手摸、语言描述）来理解圆的面积。通过用线绕圆形后将线拉直表示圆周长与用阴影表示圆面积进行比较，让学生再次感受周长与面积的本质区别。
2.比较，感悟面积大小变化的主要因素
导入活动中4个大小不一的圆也为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供了充分的准备。学生通过观察、比较，引发学生进行思考：“圆的面积的大小跟圆的什么有关？”在交流中初步发现引起圆的面积大小变化的主要因素——直径和半径。在教学中充分运用比较的方法，有助于凸显面积变化的主要因素，提高辨别能力，发展逻辑思维能力。
通过描绘、比较活动，帮助学生建立图形认知，丰富学生的表象，以进一步理解图形中周长与面积的概念，更为学生深入地探究圆的面积计算公式奠定基础。
（二）借助几何直观，聚焦“公式本质”
在“圆的面积”探究中设计揭示圆面积与正方形面积的关系的几何直观活动，深入计算公式的知识本质。
1.猜想，初步感知圆与正方形面积的关系
研究圆与正方形之间的面积关系，有助于学生更好地理解圆面积公式的本质，同时拓宽解题的路径。教学时设计了这样一个活动：先后出示三个大小不等的正方形和一个圆，猜测它们之间的面积关系。（见下图）
先让学生比比图2、图3分别与图1的面积关系，学生运用计算、剪拼等方法得出图2面积是图1面积的4倍，图3面积是图1面积的2倍。进而引起学生猜想，“图4面积与图1面积有什么关系？”发现正方形的边长与圆的半径长度相等，引发学生用重叠、比较等方法进行估测。
2. 估测，深入感知圆与正方形面积的关系
“课件出示一个正方形，再以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆，估测：圆的面积大约是正方形面积的几倍？（见下图） 从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想，借助圆内接正方形，圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的（2～4）倍，让学生理解，圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系，同时所得结论与接下来用转化推导出来的公式相互印证，能使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。
（三）凸显多维策略，注重“探索验证”
推导圆面积计算公式这一环节是本节课的重点，也是难点，凸显多维策略，注重动手操作、直观演示、抽象概括等探索验证活动，才能引导学生理解和掌握圆的面积公式。
1.转化，形式多样的探索中体会数学思想
教学中笔者直接提示学生“你能用剪拼的方法把圆转化成我们已经学过的图形吗？以小组为单位先讨论方法，再把4个大小不一的圆进行转化”。由于圆的大小不同和平均分割的份数不同，给学生提供了丰富的研究素材。学生通过观察、比较、分析发现，虽然圆的大小不一，但都可以转化成近似长方形。相等的圆等分的份数加倍与拼成图形的变化趋势，想象等分份数无限加倍时的“极限状态”。学生通过观察圆在转化成近似长方形的过程中，发现了变与不变的关系，从而得出圆面积的计算公式。
2.验证，方法多样的推算中明确计算公式
作为教材，仅呈现了将圆等分拼成近似长方形推导出圆的面积公式，教材提供的仅是一种研究方法。因此，在教学了这种研究方法后，笔者引导学生继续探索：“将圆形16等分后还能转化成我们学过的什么图形？你们能运用转化的图形推算出圆形的面积公式吗？以小组为单位进行探索研究。”（见下图）
学生通过将圆转化成三角形、梯形，呈现多种方法验证圆面积计算公式，既丰富了课程资源，更重要的是，让学生经历了更多探索圆面积的公式推导过程，进行了有效的思考，更好体现转化的数学方法，验证了圆的面积是正方形面积的π倍，即≈π。
（四）运用创意练习，体现“过程理解”
教材练习题的编排层次分明：基本图形求面积（直接应用公式）—文字信息求面积（正、逆间接运用公式）—应用圆面积公式解决实际问题。这样的练习巩固了面积公式，但缺少了过程理解的运用，只是机械地应用公式进行计算，不利于学生对计算公式推导过程的深入理解。在这一课的巩固练习中，笔者在原有教材练习题的基础上进行了创新练习的设计，体现计算公式的“过程理解”。
1.再现，设计注重推导过程的练习
“圆的面积”一课，设计了再现推导过程的创新练习。
练习1：把一个圆沿着半径剪成若干等份，拼成一个近似长方形（见下图），这个近似长方形的长是12.56厘米、宽是8厘米。你能求出圆的面积是多少平方厘米吗？
这个练习的设计让学生再次回顾了圆面积公式的推导过程，加深对转化前后图形一一对应关系的理解，通过长方形长、宽与圆的周长、半径之间的关系计算圆的面积。通过在多种方法的展示比较中，既是对所学圆面积公式的推导过程的有效巩固，又是对新知的拓展与延伸。
2. 追溯，设计凸显知识本源的练习
推导出圆面积计算公式后，教材练习题的编排都是两类练习：一类运用计算公式求图形面积；另一类运用计算公式解决生活中的问题。缺少凸显知识本源的变式练习。为了突破单一思维习惯，达到多维目的，笔者设计了凸显知识本源的练习。
练习2：下面三幅图中正方形的面积都是20平方米（见下图），每个圆的面积各是多少平方米？
这个练习的设计是引导学生克服思维定势，进行多维思考。追问学生“要求出圆的面积，需要先找到什么条件？”给学生解决问题提供了广阔的空间，求圆的面积可以先找半径，也可以先找半径的平方是多少。知道了半径的平方是多少（即图中正方形的面积），再直接乘π的值就可以轻松求出圆的面积。这个练习深化了对圆与正方形面积比的理解，使学生意识到方法灵活运用的重要性，真正关注公式本质，打破了套用公式的思维定势。
四、结束语
几何图形面积计算公式教学是“图形与几何”的重要支撑点，是小学数学教学中一项重要的内容。我们唯有抓住教学的要义，深刻理解教材编写目的，创新练习设计，让学生经历凸显知识本质的探索过程，通过观察、实践、猜测、想象等探究方法，从而让几何图形面积计算公式“活”起来，灵活地运用计算公式解决问题，有效形成解决问题的基本策略。
（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）
“圆的面积”是小学数学几何教学中重要的课程内容，它是平面图形的认识和测量中，由直线图形变为曲线图形的关键点，从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一个很大的跨跃。人教版教材采用实验的方法推导圆的面积计算公式。推导出圆的面积计算公式之后，教材安排了两道例题，应用圆的面积计算公式解决实际问题。例1是已知直径，先求出半径，再求面积；例2是求圆环的面积。在这样的教学后，笔者对“圆的面积”进行了教学后测。
后测试题：
（1）已知正方形的面积为36平方厘米，求圆的面积。（见下图）
（2）已知正方形的面积为20平方厘米，求圆的面积。（见上图）
笔者对两个班级82名学生进行了测试，答题情况见表1。
二、分析与诊断
透过错例现象，经过思辨加工，从中梳理归纳其产生问题的原因。
（一）缺少面积意义的感悟体验
在学习“圆的面积”之前，学生已经学习了正方形、长方形等平面图形的周长与面积，学生能用自己的语言表述出什么是图形的周长，什么是图形的面积。因此，教师在教学“圆的面积”时会觉得学生对圆的面积意义的理解已经没有困难了，无须加以体会。从上述的后测中可以看到，正方形的面积为20平方厘米，学生想到了边长为5厘米。由此可见，在小学图形与几何教学中，往往容易混淆圆的周长和面积的概念。
（二）缺少公式本质的推理分析
从上述的后测中可知，学生会根据“36”这个特殊的数据很快知道正方形的边长是6厘米，正方形的边长也就是圆的半径，然后运用圆面积公式S=πr?顺利地求出圆的面积。但把题中的“36”改成“20”后，学生就显得束手无策了。学生总是试图先求出半径，再利用S=πr?这一公式得出圆的面积。可在我们的教学中却忽视了“圆的面积是r?的π倍”，其实圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。
（三）缺少丰厚多样的探究经历
在教学中，很多教师考虑到小学生的认知发展规律，认为小学阶段学生只要能认同圆的面积公式就可以了，不需要经历过长的探索过程。“圆的面积”一课教材只要求学生把圆分成若干（偶数）等份，剪开后用近似等腰三角形拼成一个近似的平行四边形（长方形），由平行四边形或长方形面积公式推导出圆面积公式。在几何图形面积公式的推导过程中，不能简单地用单一的方法获取计算公式，还应加强推导过程中求异思维训练，让学生经历异中求同的探究计算公式的过程。
（四）缺少过程理解的运用练习
在探究出圆的面积计算公式后，很多教师就把主要精力放在套用公式的计算上。在练习设计中，总是设计一些已知半径或是直径可以直接套用公式求圆面积的题目，或者是设计一些已知圆的周长求圆面积的题目。这样一来，通过观察、操作、推理等手段推导出的计算公式，在练习中缺少了过程理解的运用，只是机械地套用公式进行计算，不利于学生对计算公式的深入理解，这不是我们教学的最终的目的。
三、对策和措施
新课改的数学课堂注重过程性学习，提高学生思维能力，关注学生个性体验，可在几何图形计算公式教学中，还陷入“公式化”教学模式：追求快速推导出公式，拘泥于“套用公式”的练习。怎样才能真正让几何图形计算公式“灵活”起来。现以六年级上册“圆的面积”一课为例，谈谈笔者的一些尝试。
（一）重视情境操作，感悟“面积意义”
研究表明，适当的操作和具体的图像对小学生的数学学习，特别是对图形的周长、面积和体积等概念的理解是非常有帮助的。教学中应重视结合一些具体操作情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义与变化本质加以体会。在“圆的面积”一课的导入环节中，笔者设计这样的活动：描一描下面图形的周长与面积，想一想圆的面积大小与什么有关？（见下图）
1.描绘，感悟周长、面积概念的本质区别
导入活动中利用4个大小不一的圆，让学生用喜欢的方式表示圆的周长与面积。学生能用多种表征方式（用笔来描、用线绕圆形、用手指笔画、语言描述）来感悟圆的周长；再用（用阴影表示、用手摸、语言描述）来理解圆的面积。通过用线绕圆形后将线拉直表示圆周长与用阴影表示圆面积进行比较，让学生再次感受周长与面积的本质区别。
2.比较，感悟面积大小变化的主要因素
导入活动中4个大小不一的圆也为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供了充分的准备。学生通过观察、比较，引发学生进行思考：“圆的面积的大小跟圆的什么有关？”在交流中初步发现引起圆的面积大小变化的主要因素——直径和半径。在教学中充分运用比较的方法，有助于凸显面积变化的主要因素，提高辨别能力，发展逻辑思维能力。
通过描绘、比较活动，帮助学生建立图形认知，丰富学生的表象，以进一步理解图形中周长与面积的概念，更为学生深入地探究圆的面积计算公式奠定基础。
（二）借助几何直观，聚焦“公式本质”
在“圆的面积”探究中设计揭示圆面积与正方形面积的关系的几何直观活动，深入计算公式的知识本质。
1.猜想，初步感知圆与正方形面积的关系
研究圆与正方形之间的面积关系，有助于学生更好地理解圆面积公式的本质，同时拓宽解题的路径。教学时设计了这样一个活动：先后出示三个大小不等的正方形和一个圆，猜测它们之间的面积关系。（见下图）
先让学生比比图2、图3分别与图1的面积关系，学生运用计算、剪拼等方法得出图2面积是图1面积的4倍，图3面积是图1面积的2倍。进而引起学生猜想，“图4面积与图1面积有什么关系？”发现正方形的边长与圆的半径长度相等，引发学生用重叠、比较等方法进行估测。
2. 估测，深入感知圆与正方形面积的关系
“课件出示一个正方形，再以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆，估测：圆的面积大约是正方形面积的几倍？（见下图） 从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想，借助圆内接正方形，圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的（2～4）倍，让学生理解，圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系，同时所得结论与接下来用转化推导出来的公式相互印证，能使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。
（三）凸显多维策略，注重“探索验证”
推导圆面积计算公式这一环节是本节课的重点，也是难点，凸显多维策略，注重动手操作、直观演示、抽象概括等探索验证活动，才能引导学生理解和掌握圆的面积公式。
1.转化，形式多样的探索中体会数学思想
教学中笔者直接提示学生“你能用剪拼的方法把圆转化成我们已经学过的图形吗？以小组为单位先讨论方法，再把4个大小不一的圆进行转化”。由于圆的大小不同和平均分割的份数不同，给学生提供了丰富的研究素材。学生通过观察、比较、分析发现，虽然圆的大小不一，但都可以转化成近似长方形。相等的圆等分的份数加倍与拼成图形的变化趋势，想象等分份数无限加倍时的“极限状态”。学生通过观察圆在转化成近似长方形的过程中，发现了变与不变的关系，从而得出圆面积的计算公式。
2.验证，方法多样的推算中明确计算公式
作为教材，仅呈现了将圆等分拼成近似长方形推导出圆的面积公式，教材提供的仅是一种研究方法。因此，在教学了这种研究方法后，笔者引导学生继续探索：“将圆形16等分后还能转化成我们学过的什么图形？你们能运用转化的图形推算出圆形的面积公式吗？以小组为单位进行探索研究。”（见下图）
学生通过将圆转化成三角形、梯形，呈现多种方法验证圆面积计算公式，既丰富了课程资源，更重要的是，让学生经历了更多探索圆面积的公式推导过程，进行了有效的思考，更好体现转化的数学方法，验证了圆的面积是正方形面积的π倍，即≈π。
（四）运用创意练习，体现“过程理解”
教材练习题的编排层次分明：基本图形求面积（直接应用公式）—文字信息求面积（正、逆间接运用公式）—应用圆面积公式解决实际问题。这样的练习巩固了面积公式，但缺少了过程理解的运用，只是机械地应用公式进行计算，不利于学生对计算公式推导过程的深入理解。在这一课的巩固练习中，笔者在原有教材练习题的基础上进行了创新练习的设计，体现计算公式的“过程理解”。
1.再现，设计注重推导过程的练习
“圆的面积”一课，设计了再现推导过程的创新练习。
练习1：把一个圆沿着半径剪成若干等份，拼成一个近似长方形（见下图），这个近似长方形的长是12.56厘米、宽是8厘米。你能求出圆的面积是多少平方厘米吗？
这个练习的设计让学生再次回顾了圆面积公式的推导过程，加深对转化前后图形一一对应关系的理解，通过长方形长、宽与圆的周长、半径之间的关系计算圆的面积。通过在多种方法的展示比较中，既是对所学圆面积公式的推导过程的有效巩固，又是对新知的拓展与延伸。
2. 追溯，设计凸显知识本源的练习
推导出圆面积计算公式后，教材练习题的编排都是两类练习：一类运用计算公式求图形面积；另一类运用计算公式解决生活中的问题。缺少凸显知识本源的变式练习。为了突破单一思维习惯，达到多维目的，笔者设计了凸显知识本源的练习。
练习2：下面三幅图中正方形的面积都是20平方米（见下图），每个圆的面积各是多少平方米？
这个练习的设计是引导学生克服思维定势，进行多维思考。追问学生“要求出圆的面积，需要先找到什么条件？”给学生解决问题提供了广阔的空间，求圆的面积可以先找半径，也可以先找半径的平方是多少。知道了半径的平方是多少（即图中正方形的面积），再直接乘π的值就可以轻松求出圆的面积。这个练习深化了对圆与正方形面积比的理解，使学生意识到方法灵活运用的重要性，真正关注公式本质，打破了套用公式的思维定势。
四、结束语
几何图形面积计算公式教学是“图形与几何”的重要支撑点，是小学数学教学中一项重要的内容。我们唯有抓住教学的要义，深刻理解教材编写目的，创新练习设计，让学生经历凸显知识本质的探索过程，通过观察、实践、猜测、想象等探究方法，从而让几何图形面积计算公式“活”起来，灵活地运用计算公式解决问题，有效形成解决问题的基本策略。
（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）