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旋转是几何变换中的基本变换,它一般先对给定的图形(或其中一部分图形),通过旋转,使要证明的比较分散的几何元素相对集中在新的图形中,并且在这个新图形中比较容易分析有关几何元素之间的关系,进而揭示条件与结论之间的内在联系,找出证题途径。
旋转变换主要功能有以下两个:
①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系;
②使分散的几何元素相对集中,使缺乏联系的条件关系亲密起来。
例1.已知如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°,连结MC,NC,MN.试猜想线段BM,DN和MN之间的数量关系并证明你的结论。
【解析】将△ADN绕点A顺时针转90°得△ABF,连接MF,证明△AND≌△ABF,利用边角关系得出△BMF是直角三角形,由勾股定理得出结论BM2+DN2=MN2
证明: 如图,将△ADN绕点A顺时针转90°得△ABF,连接MF,则△AND≌△ABF
∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°,∴∠MAF=∠MAN
又∵AM=AM,∴△AMF≌△AMN,∴MF=MN,
∴∠MBF=∠AFB+∠1+45°=∠AND+∠3+45°=90°
∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2,∴BM2+DN2=MN2
本题巧妙的利用旋转不变性,把分散的边BM,DN,MN利用旋转△ADN≌△ABF,从而DN=BF,MF=MN。这样BM,DN,MN就转化成BM,BF,FM,而这三条线段则集中在△BMF,△BMF易证是直角三角形,从而为证明提供了有利的帮助。
例2(2013牡丹江)已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,(1)如图(1)易得:BD+AB=■CB
(2)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时,BM、AB、CB满足什么关系,请写出你的猜想,并就图(2)给予证明。
【解析】本题主要研究的是三条分散的线段的数量关系,我们利用图形旋转的不变性,把比较分散的线段相对集中到一个容易定性的图形中。
如图(2):AB-BD=■CB
证明:将△DCB绕点C逆时针旋转90°,直线CB与MN交于点E
∵∠ACD=90°∴∠ACE=90°-∠DCE,∠BCD=90°-∠ECD
∴∠BCD=∠ACE
∵DB⊥MN∴∠CAE=90°-∠AFC ∠D=90°-∠BFD
∵∠AFC=∠BFD∴∠CAE=∠D
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB
∴△ECB为等腰直角三角形∴BE=■CB
又∵BE=AB-AE ∴BE=AB-BD
∴AB-BD=■CB
如图(3):BD-AB=■CB
通过以上问题的归类探究,使学生学会了用旋转变换证明此类线段关系的平面几何问题,享受到的旋转变换在把分散的几何元素移到相对集中的图形中,轻松的添加了辅助线,化难为易,提高分析问题解决问题的能力,提高学生学习数学兴趣,逐步形成用所学数学知识解决实际问题的良好学习习惯。
旋转变换主要功能有以下两个:
①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系;
②使分散的几何元素相对集中,使缺乏联系的条件关系亲密起来。
例1.已知如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°,连结MC,NC,MN.试猜想线段BM,DN和MN之间的数量关系并证明你的结论。
【解析】将△ADN绕点A顺时针转90°得△ABF,连接MF,证明△AND≌△ABF,利用边角关系得出△BMF是直角三角形,由勾股定理得出结论BM2+DN2=MN2
证明: 如图,将△ADN绕点A顺时针转90°得△ABF,连接MF,则△AND≌△ABF
∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°,∴∠MAF=∠MAN
又∵AM=AM,∴△AMF≌△AMN,∴MF=MN,
∴∠MBF=∠AFB+∠1+45°=∠AND+∠3+45°=90°
∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2,∴BM2+DN2=MN2
本题巧妙的利用旋转不变性,把分散的边BM,DN,MN利用旋转△ADN≌△ABF,从而DN=BF,MF=MN。这样BM,DN,MN就转化成BM,BF,FM,而这三条线段则集中在△BMF,△BMF易证是直角三角形,从而为证明提供了有利的帮助。
例2(2013牡丹江)已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,(1)如图(1)易得:BD+AB=■CB
(2)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时,BM、AB、CB满足什么关系,请写出你的猜想,并就图(2)给予证明。
【解析】本题主要研究的是三条分散的线段的数量关系,我们利用图形旋转的不变性,把比较分散的线段相对集中到一个容易定性的图形中。
如图(2):AB-BD=■CB
证明:将△DCB绕点C逆时针旋转90°,直线CB与MN交于点E
∵∠ACD=90°∴∠ACE=90°-∠DCE,∠BCD=90°-∠ECD
∴∠BCD=∠ACE
∵DB⊥MN∴∠CAE=90°-∠AFC ∠D=90°-∠BFD
∵∠AFC=∠BFD∴∠CAE=∠D
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB
∴△ECB为等腰直角三角形∴BE=■CB
又∵BE=AB-AE ∴BE=AB-BD
∴AB-BD=■CB
如图(3):BD-AB=■CB
通过以上问题的归类探究,使学生学会了用旋转变换证明此类线段关系的平面几何问题,享受到的旋转变换在把分散的几何元素移到相对集中的图形中,轻松的添加了辅助线,化难为易,提高分析问题解决问题的能力,提高学生学习数学兴趣,逐步形成用所学数学知识解决实际问题的良好学习习惯。