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【摘要】本文主要探讨在有收益约束情况下的证券投资组合的最优比例系数及最小组合风险。在证券投资中，应考虑在不同的行业、不同的板块中进行分散投资，在同一行业和同一板块中，应选取未来可能收益率较高并且风险较低的股票进行投资组合。
【关键词】证券投资组合 期望收益率 标准差 风险
证券投资组合就是对一个包含若干個以上品种的标的券种，同时或相继进行投资，期望利用其中若干个（约三、四个）成功券种投资后所取得的高回报，来抵偿失败券种的损失并取得收益的风险投资策略。
证券投资组合的目的，在于将一系列证券进行有效组合，在不影响投资期望收益的前提下，减少投资风险。在特定的风险水平上，投资者期望有较高的收益。与此相似，在一定预期收益率水平上，投资者期望较小的风险。
一、证券投资风险分析
在证券投资活动中，投资风险主要来自于投资收益的不确定性。在证券投资活动中，存在一系列不可控的因素，如宏观经济政策的变化、证券市场行情波动、市场利率变动、通货膨胀等，这些因素投资者在进行投资决策时无法充分把握。决策变量的不确定性，导致证券投资的预期收益存在相当的不确定性。证券投资风险可分为系统性风险与非系统性风险两种。系统性风险是指由于全局性事件引起的投资收益变动的不确定性。系统性风险是由社会、政治、经济等因素引起的，能影响整个证券市场价格变动，使证券市场收益率发生变化。非系统性风险是指对某个行业或个别证券产生影响的风险，它通常由某一特殊的因素引起，与整个证券市场的价格不存在系统的全面联系，而只对个别或少数证券的收益产生影响。证券投资风险，无论是系统性风险还是非系统性风险，最终都会通过对投资者收益稳定性的影响得到体现。投资者可以通过分析证券投资收益率的波动情况，来衡量证券投资的风险程度，即对某种证券或证券组合的风险加以量化。
系统性风险是不可分散风险，非系统性风险则是可以通过证券投资组合技术来降低和分散的风险。非系统性风险，是指发生于个别行业或者个别公司的特有事件造成的风险，如公司重组失败、融资未获通过、新产品未能成功开发、发生生产安全突发事故、诉讼失败、重要管理人员流失、合同中断等，这些事件是随机发生的，难以预测的，会影响一个或相关几个公司，但不会对整个市场产生很大的影响。这种风险可以通过多样化的组合投资来分散化解，投资组合中的某个公司发生的不利事件可以被其他公司的有利事件所抵消。
二、国内外研究现状
证券投资组合的目的是为了获取最大化的收益。“证券投资组合决策的任务是在寻求风险和收益平衡的基础上，获取最高的投资报酬率。”[1]很多学者对证券投资组合进行了深入研究。李保坤等[2]尝试采用反比例因子偏正态分布构造一种新的类似王氏变换的扭曲函数进行风险测度。周忠宝等[3]构建了考虑交易成本的多阶段投资组合优化模型，基于真实前沿面定义了投资组合的效率并构建了相应的非线性模型进行计算。吴开策[4]提出了基于非正态分布的投资风险测度方法。张昇平等[5]在一致性风险测度研究的基础上，构建了基于多因子模型的空间。在风险因子服从正态分布假设下，揭示了资产之间风险相互作用的一般机理，同时论证了M-V模型最优解也是任何均值一致性风险测度模型的最优解。Victor Canto[6]提出了证券投资组合的三个策略：长期资产配置策略、战术性资产配置策略、周期性资产配置策略。Elton，E.J[7]提出了现代投资组合理论。Hangen[8]在强调有价证券理论的前提下提出了正确和指导性的投资概念，对资本资产价格、套利交易价格、证券交易价格、投资组合、汇率以及证券的管理等进行了广泛的研究。周山等[9]利用概率统计的原理对一类证券投资组合所能减轻的风险作了研究，并得到了风险最小的投资组合。王仁明等[10]提出了兼顾收益与风险的组合证券资产选择的模糊最优化模型。张锡藩等[11]利用投资组合理论，提出了在一定的期望收益率条件下，使投资风险达到最小值的数学模型。姜理等[12]从高斯分布和稳定分布角度，以均值和方差的形式，比较资本投资组合收益及风险的计算方法，从中指出了稳定分布的表象更切近于资本资产价格运动的现实表现。张显忠[13]通过对投资风险与收益组成的分析，给出了收益与风险的计算方法。尚宇萍等[14]运用统计分析方法，论述了证券组合投资的积极意义，并用实例对风险和收益率进行了测度。高培旺[15]提出了一个证券投资组合的期望效用最大化模型及其分析方法，把客观的市场环境和投资者的主观态度结合起来构建证券组合策略。
确定一个有效的投资组合的前提是使投资的选定符合阶段组合均匀分布的原则，以及所投资的券种要代表不同的行业板块、不同的地区板块，也就是说，使投资收益不要过分依赖某个券种的影响。当某一行业或板块发生波动时，不致所有券种均遭受冲击。确定券种组合的方法是：第一，确定影响投资的风险与收益的因素。第二，衡量各因素并确定各因素的影响力权数。对各因素的衡量，主要分析各因素独立优化的可能。第三，计算投资组合的综合收益，最终确定投资组合。
三、理论模型基础
证券投资的收益率是个随机变量，它具有一定的概率分布，且不容易把握其分布情况，因而用其统计特征即期望收益率和标准差（或方差）来表示。期望收益率，又称为持有期收益率（HPR），指投资者持有一券品种或投资组合期望在下一个时期所能获得的收益率。这是一种期望值，实际收益很可能偏离期望收益。
HPR=（期末价格-期初价格+现金股息）/期初价格
收益率的标准差计算，是先求收益率离差平方和的平均数，再开平方，计算过程是将实际收益率减去预期收益率，得到收益率的离差，再将各个离差平方，并乘上该实际收益率对应的概率后进行加总，得到收益率的方差，将方差开平方就得到标准差。收益率的标准差，是衡量实际收益率围绕预期收益率（即平均收益率）分布的离散度，反映的是投资的风险。风险的衡量，一般将投资风险定义为实际收益比率对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。公式为 ■
方差的平方根为标准差。
■，
预期风险■就是组合的方差，xi、xj表示组合中证券i，j所占的比例，σij表示i和j收益的协方差，例如N=2，σ2p=σi2Pi2+σj2Pj2+2* Pi*Pj*σi*σj*ρij，简单的说就是先列出各个标准差的平方乘以对应概率的平方累加求和，再列出不同的概率兩两相乘然后与前面对应的标准差相乘再乘以对应的相关系数然后累加求和，还要解释的就是公式里的是协方差，协方差等于标准差i乘以标准差j再乘以相关系数。当i=j=1，i=j=2，...时，相关系数等于1。
设股票A的收益率为15%的概率为40%，收益率为10%的概率为60%，则：
期望值=15%*40%+10%*60%=12%
标准差=■
=■
=0.0245
统计学上，特征值被定义为：
其一，总体期望：
E（x）=∑■■X■P■（离散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（连续型）；
样本期望：
E（x）=∑■■XiPi（离散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（连续型）；
其二，总体标准差：
e=E（X-E（X））2（X为总体中随机变量）；
样本标准差：
■=■（■为变量xi的平均值）。
可以用样本去估计总体，有：
E（X）=E（X）
e=■.
期望的意义在于度量一个数量系列的平均大小程度，而方差在于度量一个数量系列变动性偏离期望值的平均大小程度。故可以用期望收益率表示投资收益的多少，用标准差 （或方差）表示投资风险的大小。
E（R）=E（R）=∑■■RiPi
这里：
Ri为第i种证券的未来可能收益率
E（R）、E（R）分别为总体期望收益率和样本期望收益率。
e（R）=e（R）=■
这里：
R为可能收益率Ri的平均值，即■=■
e（R）、e（R）分别为未来可能收益率R的总体标准差和样本标准差。
因此，可以利用证券不同年份收益率的资料来计算其标准差，从而估计出证券投资的风险程度，并对不同证券的风险程度加以比较，以供投资决策参考。同时也可以利用证券市场的有关资料，计算全部上市风险证券的年平均收益率及其标准差，以代表整个风险证券市场的年收益率水平和风险程度。
一般来说，投资者都是风险的厌恶者，他们总希望在同一期望收益率水平下，风险（方差）越小越好，或在同一风险水平下，获得尽可能大的期望收益率。当投资者只持有一种证券时，该证券未来收益变动的可能性及变动幅度，都是投资者应当承担的风险。当投资者持有几种风险不同的证券时，所承担的风险就会发生变化。当投资者持有几种风险不同的证券时，所承担的风险有可能被有效分散，也就是说，他承担的总风险小于分别投资于这些证券所应承担的风险。这种因分散投资而使风险下降的效果，就是资产组合效应。证券组合理论认为，投资的多元化能够降低非系统风险，稳定收益，使投资者达到预期的目标。
四、实证分析
设投资者按x1，x2，…，xn的比例（x1+x2+…+xn=1，xi≥0，i=1，2，…，n），把资金投资于n种风险证券中去组成证券组合P，风险用方差表示为：
e2P=∑■■∑■■xixjdijeiej=∑■■∑■■xixjeij=XTAX
eij为证券i与证券j的可能收益率的协方差。
其可能收益率分别为R1，R2，…，Rn，则组合P的可能收益率为：
RP=x1R1+x2R2+…+xnRn
组合P的期望收益率为：
rP=E（RP）=x1E（R1）+x2E（R2）+…+xnE（Rn）=x1r1+x2r2+…+xnrn。
于是建立组合风险极小化模式为：
minep2=XTAX；
s.t.Q■X=rpF■X=1
其中Q=r■r■…r■，X=x■x■…x■n×1，F=11…1，A=（eij）nxn，且A=AT
对该模型求解：
令y=XTAX-2λ1（QTX-rP）-2λ2（FTX-1），式中λ1、λ2为Lagrange乘数。
把约束条件QTX=rP，FTX=1的形式变为：
Q■F■X=rp1
令M=Q■F■，N=rp1
则有：
M·X=N
引入目标函数：y=XTAX-2λ（MX-N）
这里：λ=λ1λ2为拉格朗日乘数向量。
运用矩阵微分对y求关于X、λ的偏导，并令偏导等于零，得到：
？鄣■/？鄣■=2AX-2M■λ=0？鄣■/？鄣■=2（MX-N）=0
解得：
λ=2（MA-1MT）-1N
X=A-1MT（MA-1MT）-1N
故：mine2P=NT（MA-1MT）-1N
设投资者以x1，x2，x3的资金比例购买三种证券：
■
其收益率的协方差矩阵：
0.0148 0.0105 0.01040.0105 0.0162 0.00950.0104 0.0095 0.0181
代入上述公式得到：
X=x■x■x■=52.395rp-1.00446.946rp-0.913-98.295rp+2.913
若在不卖空情况下，则需要X≥0，即1.94%≤rP≤2.96%， 取rP=2%，有X=（0.04，0.02，0.94）T，min ep=0.13
在不卖空条件下，rp=1.92%不是下限
因为若rP∈[1.92%，1.94%）时，就有x2<0。
五、总结
通过上述分析可以看出，组合规模与非系统风险呈反比例关系。投资者选取证券组合的种数并非越多越好，规模过大，会增加成本；规模过小，组合风险会较大。当前，由于国内证券市场不成熟、投资者的技术和管理水平不够好等综合因素，个体投资者的投资券种规模不宜过多。
相对风险而言，投资者对收益的偏好，有喜好风险型、厌恶风险型、风险中性型三种类型。不同类型的投资者对投资对象的选择是不同的。尽管投资者的偏好各不相同，但在证券投资中，减少盲目，科学决策，规避风险，都是必需的。投资者应正确认识每一种证券在流动性、时间性、收益性和风险性方面的特点，借此选择流动性、时间性、收益性、风险性与自己要求相匹配的投资对象，并制定相应的投资组合策略。
证券市场的风险因素是客观存在的，因此证券投资风险也是客观存在的。在证券投资活动中，投资者要提高风险意识，做好风险防范，在投资中设法规避和降低投资风险。证券投资风险具有不确定性，投资者要将不同证券的风险和收益加以比较，根据自己的投资偏好和收益预期，采用最佳的证券投资组合，做出正确的投资决策，以有效地规避风险。
（本文指导老师：陈芳）
参考文献
[1]段巧玲.证券投资组合收益与风险的理论研究[J].沿海企业与科技，2005（10）：98-99.
[2]李保坤，左宇晓，邱玲.基于偏正态分布的一致风险测度及其在投资组合中的应用研究[J].投资研究，2012（12）：33-44.
[3]周忠宝，刘佩，喻怀宁，马超群，刘文斌.考虑交易成本的多阶段投资组合评价方法研究[J].中国管理科学，2015，23（5）：1-6.
[4]吴开策.基于非正态分布的投资风险测度方法[J].中国管理科学，2001，9（2）：27-30.
[5]张昇平，周春陽，吴冲锋.组合风险与单个资产风险间的定量关系——基于一致性风险测度的视角[J].系统管理学报，2008，17（1）：15-20.
[6]Victor Canto.Portfolio investment strategy of[M].Machinery Industry Press，2007.
[7]Elton，E.J.Modern portfolio theory and investment analysis[M].Mechanical Industry Press，2008.
[8]Hangen.Modern investment theory[M].Peking University press，2002.
[9]周山，王志伟.一类证券投资组合问题的风险与收益分析[J].长春师范大学学报，2005，24（12）：84-86.
[10]王仁明，万新敏.模糊最优化方法在一类组合证券投资问题中的应用[J].空军预警学院学报，1999（4）：55-57.
[11]张锡藩，李宴喜，单锋，陈筠青.投资组合优化选择——收益与风险分析[J].沈阳航空航天大学学报，2001，18（2）：81-83.
[12]姜理，刘永清.投资组合收益及风险分析的优化方法[J].华南理工大学学报（自然科学版），1999，27（8）：68-71.
[13]张显忠.投资组合收益与风险分析[J].兰州工业学院学报，2008，15（2）：55-56.
[14]尚宇萍，瞿艳玲.对证券组合投资收益率与风险的统计分析[J].统计与信息论坛，2000（4）：30-32.
[15]高培旺.风险与收益权衡的证券投资组合决策方法[J].财会月刊，2011（18）：71-73.
作者简介：刘景东（1997-），男，汉族，湖南益阳人，湖南人文科技学院数学与金融学院2015级金融工程学生，研究方向：金融工程。
【关键词】证券投资组合 期望收益率 标准差 风险
证券投资组合就是对一个包含若干個以上品种的标的券种，同时或相继进行投资，期望利用其中若干个（约三、四个）成功券种投资后所取得的高回报，来抵偿失败券种的损失并取得收益的风险投资策略。
证券投资组合的目的，在于将一系列证券进行有效组合，在不影响投资期望收益的前提下，减少投资风险。在特定的风险水平上，投资者期望有较高的收益。与此相似，在一定预期收益率水平上，投资者期望较小的风险。
一、证券投资风险分析
在证券投资活动中，投资风险主要来自于投资收益的不确定性。在证券投资活动中，存在一系列不可控的因素，如宏观经济政策的变化、证券市场行情波动、市场利率变动、通货膨胀等，这些因素投资者在进行投资决策时无法充分把握。决策变量的不确定性，导致证券投资的预期收益存在相当的不确定性。证券投资风险可分为系统性风险与非系统性风险两种。系统性风险是指由于全局性事件引起的投资收益变动的不确定性。系统性风险是由社会、政治、经济等因素引起的，能影响整个证券市场价格变动，使证券市场收益率发生变化。非系统性风险是指对某个行业或个别证券产生影响的风险，它通常由某一特殊的因素引起，与整个证券市场的价格不存在系统的全面联系，而只对个别或少数证券的收益产生影响。证券投资风险，无论是系统性风险还是非系统性风险，最终都会通过对投资者收益稳定性的影响得到体现。投资者可以通过分析证券投资收益率的波动情况，来衡量证券投资的风险程度，即对某种证券或证券组合的风险加以量化。
系统性风险是不可分散风险，非系统性风险则是可以通过证券投资组合技术来降低和分散的风险。非系统性风险，是指发生于个别行业或者个别公司的特有事件造成的风险，如公司重组失败、融资未获通过、新产品未能成功开发、发生生产安全突发事故、诉讼失败、重要管理人员流失、合同中断等，这些事件是随机发生的，难以预测的，会影响一个或相关几个公司，但不会对整个市场产生很大的影响。这种风险可以通过多样化的组合投资来分散化解，投资组合中的某个公司发生的不利事件可以被其他公司的有利事件所抵消。
二、国内外研究现状
证券投资组合的目的是为了获取最大化的收益。“证券投资组合决策的任务是在寻求风险和收益平衡的基础上，获取最高的投资报酬率。”[1]很多学者对证券投资组合进行了深入研究。李保坤等[2]尝试采用反比例因子偏正态分布构造一种新的类似王氏变换的扭曲函数进行风险测度。周忠宝等[3]构建了考虑交易成本的多阶段投资组合优化模型，基于真实前沿面定义了投资组合的效率并构建了相应的非线性模型进行计算。吴开策[4]提出了基于非正态分布的投资风险测度方法。张昇平等[5]在一致性风险测度研究的基础上，构建了基于多因子模型的空间。在风险因子服从正态分布假设下，揭示了资产之间风险相互作用的一般机理，同时论证了M-V模型最优解也是任何均值一致性风险测度模型的最优解。Victor Canto[6]提出了证券投资组合的三个策略：长期资产配置策略、战术性资产配置策略、周期性资产配置策略。Elton，E.J[7]提出了现代投资组合理论。Hangen[8]在强调有价证券理论的前提下提出了正确和指导性的投资概念，对资本资产价格、套利交易价格、证券交易价格、投资组合、汇率以及证券的管理等进行了广泛的研究。周山等[9]利用概率统计的原理对一类证券投资组合所能减轻的风险作了研究，并得到了风险最小的投资组合。王仁明等[10]提出了兼顾收益与风险的组合证券资产选择的模糊最优化模型。张锡藩等[11]利用投资组合理论，提出了在一定的期望收益率条件下，使投资风险达到最小值的数学模型。姜理等[12]从高斯分布和稳定分布角度，以均值和方差的形式，比较资本投资组合收益及风险的计算方法，从中指出了稳定分布的表象更切近于资本资产价格运动的现实表现。张显忠[13]通过对投资风险与收益组成的分析，给出了收益与风险的计算方法。尚宇萍等[14]运用统计分析方法，论述了证券组合投资的积极意义，并用实例对风险和收益率进行了测度。高培旺[15]提出了一个证券投资组合的期望效用最大化模型及其分析方法，把客观的市场环境和投资者的主观态度结合起来构建证券组合策略。
确定一个有效的投资组合的前提是使投资的选定符合阶段组合均匀分布的原则，以及所投资的券种要代表不同的行业板块、不同的地区板块，也就是说，使投资收益不要过分依赖某个券种的影响。当某一行业或板块发生波动时，不致所有券种均遭受冲击。确定券种组合的方法是：第一，确定影响投资的风险与收益的因素。第二，衡量各因素并确定各因素的影响力权数。对各因素的衡量，主要分析各因素独立优化的可能。第三，计算投资组合的综合收益，最终确定投资组合。
三、理论模型基础
证券投资的收益率是个随机变量，它具有一定的概率分布，且不容易把握其分布情况，因而用其统计特征即期望收益率和标准差（或方差）来表示。期望收益率，又称为持有期收益率（HPR），指投资者持有一券品种或投资组合期望在下一个时期所能获得的收益率。这是一种期望值，实际收益很可能偏离期望收益。
HPR=（期末价格-期初价格+现金股息）/期初价格
收益率的标准差计算，是先求收益率离差平方和的平均数，再开平方，计算过程是将实际收益率减去预期收益率，得到收益率的离差，再将各个离差平方，并乘上该实际收益率对应的概率后进行加总，得到收益率的方差，将方差开平方就得到标准差。收益率的标准差，是衡量实际收益率围绕预期收益率（即平均收益率）分布的离散度，反映的是投资的风险。风险的衡量，一般将投资风险定义为实际收益比率对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。公式为 ■
方差的平方根为标准差。
■，
预期风险■就是组合的方差，xi、xj表示组合中证券i，j所占的比例，σij表示i和j收益的协方差，例如N=2，σ2p=σi2Pi2+σj2Pj2+2* Pi*Pj*σi*σj*ρij，简单的说就是先列出各个标准差的平方乘以对应概率的平方累加求和，再列出不同的概率兩两相乘然后与前面对应的标准差相乘再乘以对应的相关系数然后累加求和，还要解释的就是公式里的是协方差，协方差等于标准差i乘以标准差j再乘以相关系数。当i=j=1，i=j=2，...时，相关系数等于1。
设股票A的收益率为15%的概率为40%，收益率为10%的概率为60%，则：
期望值=15%*40%+10%*60%=12%
标准差=■
=■
=0.0245
统计学上，特征值被定义为：
其一，总体期望：
E（x）=∑■■X■P■（离散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（连续型）；
样本期望：
E（x）=∑■■XiPi（离散型），或E（x）=∫■■xf（x）dx（连续型）；
其二，总体标准差：
e=E（X-E（X））2（X为总体中随机变量）；
样本标准差：
■=■（■为变量xi的平均值）。
可以用样本去估计总体，有：
E（X）=E（X）
e=■.
期望的意义在于度量一个数量系列的平均大小程度，而方差在于度量一个数量系列变动性偏离期望值的平均大小程度。故可以用期望收益率表示投资收益的多少，用标准差 （或方差）表示投资风险的大小。
E（R）=E（R）=∑■■RiPi
这里：
Ri为第i种证券的未来可能收益率
E（R）、E（R）分别为总体期望收益率和样本期望收益率。
e（R）=e（R）=■
这里：
R为可能收益率Ri的平均值，即■=■
e（R）、e（R）分别为未来可能收益率R的总体标准差和样本标准差。
因此，可以利用证券不同年份收益率的资料来计算其标准差，从而估计出证券投资的风险程度，并对不同证券的风险程度加以比较，以供投资决策参考。同时也可以利用证券市场的有关资料，计算全部上市风险证券的年平均收益率及其标准差，以代表整个风险证券市场的年收益率水平和风险程度。
一般来说，投资者都是风险的厌恶者，他们总希望在同一期望收益率水平下，风险（方差）越小越好，或在同一风险水平下，获得尽可能大的期望收益率。当投资者只持有一种证券时，该证券未来收益变动的可能性及变动幅度，都是投资者应当承担的风险。当投资者持有几种风险不同的证券时，所承担的风险就会发生变化。当投资者持有几种风险不同的证券时，所承担的风险有可能被有效分散，也就是说，他承担的总风险小于分别投资于这些证券所应承担的风险。这种因分散投资而使风险下降的效果，就是资产组合效应。证券组合理论认为，投资的多元化能够降低非系统风险，稳定收益，使投资者达到预期的目标。
四、实证分析
设投资者按x1，x2，…，xn的比例（x1+x2+…+xn=1，xi≥0，i=1，2，…，n），把资金投资于n种风险证券中去组成证券组合P，风险用方差表示为：
e2P=∑■■∑■■xixjdijeiej=∑■■∑■■xixjeij=XTAX
eij为证券i与证券j的可能收益率的协方差。
其可能收益率分别为R1，R2，…，Rn，则组合P的可能收益率为：
RP=x1R1+x2R2+…+xnRn
组合P的期望收益率为：
rP=E（RP）=x1E（R1）+x2E（R2）+…+xnE（Rn）=x1r1+x2r2+…+xnrn。
于是建立组合风险极小化模式为：
minep2=XTAX；
s.t.Q■X=rpF■X=1
其中Q=r■r■…r■，X=x■x■…x■n×1，F=11…1，A=（eij）nxn，且A=AT
对该模型求解：
令y=XTAX-2λ1（QTX-rP）-2λ2（FTX-1），式中λ1、λ2为Lagrange乘数。
把约束条件QTX=rP，FTX=1的形式变为：
Q■F■X=rp1
令M=Q■F■，N=rp1
则有：
M·X=N
引入目标函数：y=XTAX-2λ（MX-N）
这里：λ=λ1λ2为拉格朗日乘数向量。
运用矩阵微分对y求关于X、λ的偏导，并令偏导等于零，得到：
？鄣■/？鄣■=2AX-2M■λ=0？鄣■/？鄣■=2（MX-N）=0
解得：
λ=2（MA-1MT）-1N
X=A-1MT（MA-1MT）-1N
故：mine2P=NT（MA-1MT）-1N
设投资者以x1，x2，x3的资金比例购买三种证券：
■
其收益率的协方差矩阵：
0.0148 0.0105 0.01040.0105 0.0162 0.00950.0104 0.0095 0.0181
代入上述公式得到：
X=x■x■x■=52.395rp-1.00446.946rp-0.913-98.295rp+2.913
若在不卖空情况下，则需要X≥0，即1.94%≤rP≤2.96%， 取rP=2%，有X=（0.04，0.02，0.94）T，min ep=0.13
在不卖空条件下，rp=1.92%不是下限
因为若rP∈[1.92%，1.94%）时，就有x2<0。
五、总结
通过上述分析可以看出，组合规模与非系统风险呈反比例关系。投资者选取证券组合的种数并非越多越好，规模过大，会增加成本；规模过小，组合风险会较大。当前，由于国内证券市场不成熟、投资者的技术和管理水平不够好等综合因素，个体投资者的投资券种规模不宜过多。
相对风险而言，投资者对收益的偏好，有喜好风险型、厌恶风险型、风险中性型三种类型。不同类型的投资者对投资对象的选择是不同的。尽管投资者的偏好各不相同，但在证券投资中，减少盲目，科学决策，规避风险，都是必需的。投资者应正确认识每一种证券在流动性、时间性、收益性和风险性方面的特点，借此选择流动性、时间性、收益性、风险性与自己要求相匹配的投资对象，并制定相应的投资组合策略。
证券市场的风险因素是客观存在的，因此证券投资风险也是客观存在的。在证券投资活动中，投资者要提高风险意识，做好风险防范，在投资中设法规避和降低投资风险。证券投资风险具有不确定性，投资者要将不同证券的风险和收益加以比较，根据自己的投资偏好和收益预期，采用最佳的证券投资组合，做出正确的投资决策，以有效地规避风险。
（本文指导老师：陈芳）
参考文献
[1]段巧玲.证券投资组合收益与风险的理论研究[J].沿海企业与科技，2005（10）：98-99.
[2]李保坤，左宇晓，邱玲.基于偏正态分布的一致风险测度及其在投资组合中的应用研究[J].投资研究，2012（12）：33-44.
[3]周忠宝，刘佩，喻怀宁，马超群，刘文斌.考虑交易成本的多阶段投资组合评价方法研究[J].中国管理科学，2015，23（5）：1-6.
[4]吴开策.基于非正态分布的投资风险测度方法[J].中国管理科学，2001，9（2）：27-30.
[5]张昇平，周春陽，吴冲锋.组合风险与单个资产风险间的定量关系——基于一致性风险测度的视角[J].系统管理学报，2008，17（1）：15-20.
[6]Victor Canto.Portfolio investment strategy of[M].Machinery Industry Press，2007.
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作者简介：刘景东（1997-），男，汉族，湖南益阳人，湖南人文科技学院数学与金融学院2015级金融工程学生，研究方向：金融工程。