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【摘要】利用直观想象与逻辑推理得到奇偶函数所具有的一般化特点。以此过程培养学生大胆猜想，仔细论证的思维品质，树立学生对数学“始于猜想，终于推理论证”的數学发展的科学认识。
【关键词】直观想象;逻辑推理;概念教学;奇偶性;生成性
一、引言
《普通高中数学课程标准（2017年版）》就是在大力倡导建构学生核心素养的背景下进行的修订，明确提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。笔者基于实际发现直观想想素养和逻辑推理素养的培养目标就是让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，并且能够用数学的语言表达世界。
逻辑推理是由已经总结出来的规律推出新的规律，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
二、教学内容背景分析与教学目标
函数的奇偶性是继函数单调性之后函数又一基本性质，学生通过复习函数单调性的相关性质，引导学生思考函数图像的对称性质，并能根据所学知识掌握判定函数的奇偶性一般方法。与此同时发展学生类比，迁移，归纳总结和演绎推理的基本数学思维品质。
三、教学重难点
重点：1.通过具体函数图像的对称性得到一般化的函数对称性质，并形成奇偶性概念;2.能够不画图的基础上判定函数的奇偶性。
难点：将图像语言向符号语言过渡，即从形到数的抽象逻辑推理。
四、具体教学设计过程
1.晴境问题引入，形成直观感知
师：函数是刻画变量间关系的数学模型，而图像则能够直观的反映函数的变化趋势等特征，请大家观察以下四个图形，我们分别把图1和图2分成一组，再把图3和图4分成一组，从单调性的角度你发现了什么？
设计意图：第一，依据奇偶性把四个图形分成两组，更加有利于图像的直观对比与发散猜想。从函数的形人手，而这四个图像中图4的定义域不是R，为后面总结提炼判定函数奇偶性要注意的问题创设伏笔;第二，利用学生刚学过的函数单调性进行知识回顾，让学生产生成功分析之后的强烈的成就感，并会主动形成对新知识的求知欲望，为进入学习新知识做准备。
生1：根据前面我们所学的函数单调性看，图1和图2都是在（-∞，0）单调递减，在（0， ∞）上单调递增;而图3在整个R上是增函数，图4在（-∞，0）和（0， ∞）都是单调递减的。
师：大家能根据前面所学，具体说说为什么图1在（-∞，0）上是单调递减的吗？
生2：从图像直观上看，随着x的增大，y在减小。
师：说的很好！但数学光有直观观察是不够的，大家能用严谨的数学语言进行叙述吗？
设计意图：训练学生从直观想象到理论推导的数学思考问题的方式，能够将直观语言转化成严谨的数学语言进行翻译，培养学生将自己所思所想通过笔头上的数学化的表示出来。
生3：我们可以考虑在区间（-∞，0）上任取两个不等实数x1和x2，不妨假设x12，此时总有f（x1）>f（x2），于是我们说（-∞，0）是f（x）的减区间。
2.引导学生有直观想象向逻辑推理过渡
师：非常不错！大家学得很好。在初中我们就学过轴对称图形和中心对称图形，这两组图像，如果我们从对称性的角度来看，大家能发现什么特征呢？
设计意图：引导学生从函数图像里面的单调性向函数另一性质奇偶性转换，正式进入本堂课的主要知识生成过程。基于最新发展区理论，这样的安排相对而言，提问与思考过程自然合理，容易得出教师所期待的回答。
生4：很明显第一组中的图1和图2图象是关于y轴对称的，第二组中的图3和图4图象是关于原点对称的。
师：你说图1和图2是关于y轴对称的，是根据图像直观观察得到的，但是咱们说数学是一门严谨的科学，不能完全依靠直观感受直接下结论。所以请大家从微观的角度来进行一下思考，能否从点的对称性入手用数学语言进行描述呢？
设计意图：第二次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，并能够从微观与宏观两个角度来理解函数图像，直线可以理解成是点的集合，培养学生思考事物本原的唯物辩证法品质，彻底搞清楚微观与宏观的真正关系，学会从特殊到.般的数学思维品质。
生5：我想到了！我们可以考虑在图1中任取关于x轴对称的两个数f（-x0）和f（x0），很明显它们所对应函数值与是相等的。
3.逻辑推理助力学生主动建构概念生成
师：你还是停留在直观图像的观察上，我要的是具有逻辑推理的严格数学化语言进行证明哦，其实只差一点点啦！
生6：老师，我来进行补充。我们此处应该结合函数解析式来证明，因为f（x）x2，那么f（-x）=（-x）2=x2=f（x），这就很严谨了。
师：你的反应很快哦，你是个优秀的学生！说得好！是不是f（x）=x2图像就一定关于y轴对称？请大家从定义域的角度再来分析一下。
设计意图：引导学生回忆思考函数的三要素，并理解函数的图像是基于定义域的基础之上绘制出来的。假若函数定义域没有关于原点对称，直接就会发现图像不对称性的事实，引导学生掌握判断函数奇偶性的前提条件——定义域必须关于原点对称菜有可能是奇偶函数。
生7：当然不是，老师您在就说过，函数的三要素之中的定义域是函数图像中的重中之重，注意到-x0和x0这两个数是关于原点对称的，所以从微观发展到宏观，我们得出图像要是关于夕轴对称，那么定义域首先就必须要关于原点对称;换言之，假如函数定义域不关于原点对称，图像就不可能关于y轴对称。 师：不错，说的很准确，为了验证这一点，请大家自行画出f（X）= x2，x∈[-3，4]的图像，看看生7说得对不对？
设计意图：第一，强化學生的绘图基本功;第二，从图像直观发现图像确实没有对称，让学生切实体会函数在定义域没有对称时候，图像也不会对称，起到检验的作用，深化理解。
……（一分钟学生画图）
生8：老师，生7说得对，我画出来确实不关于关于y轴对称。
师：再按照之前的分组，大家讨论一下，如何判断图像是否关于y轴对称？等会儿请大家自由发言。
设计意图：学生们在相互讨论中主动建构，在学生们思维交流过程中生成统一的认识，同时也能引发大家对自身考虑不足之处的反思。
……（三分钟学生讨论）
生9：首先应该考虑定义域，看是否关于原点对称，其次计算了丈一与了卜）是否相等。
师：大家说得很好！在我们学习生活中具备这样特征的函数很多，我们把这样的函数称为偶函数。也就是说一个函数师偶函数它的图像就是关于y轴对称的，也可以说一个函数的函数图像是关于y轴对称的，这个函数就是偶函数。大家可否总结归纳出偶函数的数学化定义呢？
设计意图：第三次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，强调学生整合已知信息，归纳总结提炼生成概念的能力。这不仅仅是一种数学能力，也是日后工作生活中的重要素养。
生10：一般地，如果对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么这样的函数f（x）就叫做偶函数。
师：下面我们把图3和图4的对称性研究一下，看看它们与第一组图的对称性的区别是什么？
……（过程略）
师：请大家给出偶函数定义。
设计意图：在类比偶函数概念基础之上，直观生成奇函数概念，让学生获得成就感，这在无形中对学生是一种肯定，对培养学生学习数学的积极性有极大促进作用。
生11：一般地，如果对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么这样的函数f（x）就叫做奇函数。
师：请大家再思考下面两个问题。第一，是不是任何一个函数不是奇函数就是偶函数？第二，是否存在函数既是奇函数又是偶函数？这样的函数有什么具体特点吗？
设计意图：引发学生思考边界问题，某种程度上是基于函数分类的角度而言，此时从一般到特殊训练学生的演绎推理能力，有助于与前面的直观想象到逻辑推理的归纳总结呼应，强化数学思维与品质的培养。
生12：我来回答，显然存在函数既不是奇函数又不是偶函数。试想这两种函数的图像具有高度的对称性，更多的函数是没有对称性的，我们甚至可以说奇函数和偶函数仅仅是函数里面十分特殊的一类。比如大家熟悉的二次函数f（x）=x2-x 3，通过绘图很明显发现图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以它就是非奇非偶函数。至于既是奇函数又是偶函数的我暂时没有想到。
生13：老师，我能找到既是奇函数又是偶函数，实际上这样的函数就是既要关于y轴对称也要关于原点对称，那么f（x）=0这个函数就满足了这两种对称，至于特点我不是太清楚。
师：感谢两位同学的回答！我们再次将目光投到抽象的逻辑推理。若我们不拘泥于具体的函数图像，我们从函数严格证明角度进行探索。
设计意图：第四次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，并结合演绎推理得出特殊的情形，深化理解函数的奇偶性。
生14：一个函数既是奇函数又是偶函数，必须同时满足：f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x），可知f（x）=-f（x）→f（x）=0，结合图4知，并不是定义域关于原点对称，定义域中就一定有0！图4的定义域就是（-∞，0）∪（0， ∞）.但是如果有的话，f（x）=0。于是我们发现这样一个事实：既是奇函数又是偶函数的函数存在，它们是定义域关于原点对称的区间，而且图像只能在x轴上。
师：说的十分准确，看样子各位同学对函数的奇偶性的理解都比较深刻了。
4.典例分析，深化理解眯兄念定义
师：至此，大家从观察图像，通过直观想象，再到逻辑推理得到了奇偶函数的概念，并学会了掌握了判定奇偶性的方法，实现了形与数的结合。
下面我们判断以下几个函数是否具有奇偶性。
设计意图：通过作业考查学生对函数奇偶性的理解程度，并引导归纳出做题的一般步骤和所要注意的问题。
……（大致6分钟）
生15：1是非奇非偶函数;2，3是偶函数;4是奇函数。
师：有没有哪位同学有不同看法？
生16：1，2是非奇非偶函数;3是偶函数;4是奇函数。
师：请你解释一下你为什么认为2是非奇非偶函数？
生16：因为定义域没有关于原点对称，有关于原点对称。反过来想，假设定义域是关于原点对称的，那么x不等于1的话，x就也不能等于-1，这显然和实际情况是矛盾的。
师：说的特别对，实际上同学们在判断函数奇偶性的时候首先应该考虑的是定义域，一定要准确深刻的理解什么叫定义域关于原点对称，其次才是计算f（-x）与少卜）的关系。
5.梳理小结整节课内容
师：请大家说说整节课学到了什么？
生17：我掌握了奇偶函数的图像性质特点，以及如何利用f（-x）与f（x）的关系去判断一个函数的奇偶性。让我感触更深的是很多数学问题都是始于猜想，终于推理验证，数学原来如此之美。
6.发展推广，进一步加强逻辑推理素养培育
师：请大家思考以下两个问题。第一，上面4个例子中的3，4看看自变量x的次数有没有什么明显的特点？你能进一步说么条件是奇函数，满足什么条件师偶函数？什么时候既不是奇函数也不是偶函数？什么时候既是奇函数又是偶函数？第二，大家结合单调性思考一下奇偶函数单调性有什么特点？这都留给大家课后小组讨论，并且尝试写出逻辑推导过程。
五、结束语
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出数学核心素养是现代社会每一个人应该具备的素养，数学教育能够帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识，技能，方法，提升数学核心素养。函数的图像性质是研究函数的根本所在，而函数的奇偶性就是函数重要的性质之一。本节课旨在传授学生函数奇偶性知识的同时渗透直观想象与逻辑推理素养，能够达到知识与素养的同步，获得可持续发展的数学能力。
参考文献：
[1]林运来.基于逻辑推理素养的高三复习教学[J].中学数学，2018（09）：24-26.
[2]戴馨.基于数学核心素养的函数奇偶性教学设计[J].数学之友，2018（20）：38-40.
【关键词】直观想象;逻辑推理;概念教学;奇偶性;生成性
一、引言
《普通高中数学课程标准（2017年版）》就是在大力倡导建构学生核心素养的背景下进行的修订，明确提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。笔者基于实际发现直观想想素养和逻辑推理素养的培养目标就是让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，并且能够用数学的语言表达世界。
逻辑推理是由已经总结出来的规律推出新的规律，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
二、教学内容背景分析与教学目标
函数的奇偶性是继函数单调性之后函数又一基本性质，学生通过复习函数单调性的相关性质，引导学生思考函数图像的对称性质，并能根据所学知识掌握判定函数的奇偶性一般方法。与此同时发展学生类比，迁移，归纳总结和演绎推理的基本数学思维品质。
三、教学重难点
重点：1.通过具体函数图像的对称性得到一般化的函数对称性质，并形成奇偶性概念;2.能够不画图的基础上判定函数的奇偶性。
难点：将图像语言向符号语言过渡，即从形到数的抽象逻辑推理。
四、具体教学设计过程
1.晴境问题引入，形成直观感知
师：函数是刻画变量间关系的数学模型，而图像则能够直观的反映函数的变化趋势等特征，请大家观察以下四个图形，我们分别把图1和图2分成一组，再把图3和图4分成一组，从单调性的角度你发现了什么？
设计意图：第一，依据奇偶性把四个图形分成两组，更加有利于图像的直观对比与发散猜想。从函数的形人手，而这四个图像中图4的定义域不是R，为后面总结提炼判定函数奇偶性要注意的问题创设伏笔;第二，利用学生刚学过的函数单调性进行知识回顾，让学生产生成功分析之后的强烈的成就感，并会主动形成对新知识的求知欲望，为进入学习新知识做准备。
生1：根据前面我们所学的函数单调性看，图1和图2都是在（-∞，0）单调递减，在（0， ∞）上单调递增;而图3在整个R上是增函数，图4在（-∞，0）和（0， ∞）都是单调递减的。
师：大家能根据前面所学，具体说说为什么图1在（-∞，0）上是单调递减的吗？
生2：从图像直观上看，随着x的增大，y在减小。
师：说的很好！但数学光有直观观察是不够的，大家能用严谨的数学语言进行叙述吗？
设计意图：训练学生从直观想象到理论推导的数学思考问题的方式，能够将直观语言转化成严谨的数学语言进行翻译，培养学生将自己所思所想通过笔头上的数学化的表示出来。
生3：我们可以考虑在区间（-∞，0）上任取两个不等实数x1和x2，不妨假设x1
2.引导学生有直观想象向逻辑推理过渡
师：非常不错！大家学得很好。在初中我们就学过轴对称图形和中心对称图形，这两组图像，如果我们从对称性的角度来看，大家能发现什么特征呢？
设计意图：引导学生从函数图像里面的单调性向函数另一性质奇偶性转换，正式进入本堂课的主要知识生成过程。基于最新发展区理论，这样的安排相对而言，提问与思考过程自然合理，容易得出教师所期待的回答。
生4：很明显第一组中的图1和图2图象是关于y轴对称的，第二组中的图3和图4图象是关于原点对称的。
师：你说图1和图2是关于y轴对称的，是根据图像直观观察得到的，但是咱们说数学是一门严谨的科学，不能完全依靠直观感受直接下结论。所以请大家从微观的角度来进行一下思考，能否从点的对称性入手用数学语言进行描述呢？
设计意图：第二次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，并能够从微观与宏观两个角度来理解函数图像，直线可以理解成是点的集合，培养学生思考事物本原的唯物辩证法品质，彻底搞清楚微观与宏观的真正关系，学会从特殊到.般的数学思维品质。
生5：我想到了！我们可以考虑在图1中任取关于x轴对称的两个数f（-x0）和f（x0），很明显它们所对应函数值与是相等的。
3.逻辑推理助力学生主动建构概念生成
师：你还是停留在直观图像的观察上，我要的是具有逻辑推理的严格数学化语言进行证明哦，其实只差一点点啦！
生6：老师，我来进行补充。我们此处应该结合函数解析式来证明，因为f（x）x2，那么f（-x）=（-x）2=x2=f（x），这就很严谨了。
师：你的反应很快哦，你是个优秀的学生！说得好！是不是f（x）=x2图像就一定关于y轴对称？请大家从定义域的角度再来分析一下。
设计意图：引导学生回忆思考函数的三要素，并理解函数的图像是基于定义域的基础之上绘制出来的。假若函数定义域没有关于原点对称，直接就会发现图像不对称性的事实，引导学生掌握判断函数奇偶性的前提条件——定义域必须关于原点对称菜有可能是奇偶函数。
生7：当然不是，老师您在就说过，函数的三要素之中的定义域是函数图像中的重中之重，注意到-x0和x0这两个数是关于原点对称的，所以从微观发展到宏观，我们得出图像要是关于夕轴对称，那么定义域首先就必须要关于原点对称;换言之，假如函数定义域不关于原点对称，图像就不可能关于y轴对称。 师：不错，说的很准确，为了验证这一点，请大家自行画出f（X）= x2，x∈[-3，4]的图像，看看生7说得对不对？
设计意图：第一，强化學生的绘图基本功;第二，从图像直观发现图像确实没有对称，让学生切实体会函数在定义域没有对称时候，图像也不会对称，起到检验的作用，深化理解。
……（一分钟学生画图）
生8：老师，生7说得对，我画出来确实不关于关于y轴对称。
师：再按照之前的分组，大家讨论一下，如何判断图像是否关于y轴对称？等会儿请大家自由发言。
设计意图：学生们在相互讨论中主动建构，在学生们思维交流过程中生成统一的认识，同时也能引发大家对自身考虑不足之处的反思。
……（三分钟学生讨论）
生9：首先应该考虑定义域，看是否关于原点对称，其次计算了丈一与了卜）是否相等。
师：大家说得很好！在我们学习生活中具备这样特征的函数很多，我们把这样的函数称为偶函数。也就是说一个函数师偶函数它的图像就是关于y轴对称的，也可以说一个函数的函数图像是关于y轴对称的，这个函数就是偶函数。大家可否总结归纳出偶函数的数学化定义呢？
设计意图：第三次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，强调学生整合已知信息，归纳总结提炼生成概念的能力。这不仅仅是一种数学能力，也是日后工作生活中的重要素养。
生10：一般地，如果对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么这样的函数f（x）就叫做偶函数。
师：下面我们把图3和图4的对称性研究一下，看看它们与第一组图的对称性的区别是什么？
……（过程略）
师：请大家给出偶函数定义。
设计意图：在类比偶函数概念基础之上，直观生成奇函数概念，让学生获得成就感，这在无形中对学生是一种肯定，对培养学生学习数学的积极性有极大促进作用。
生11：一般地，如果对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么这样的函数f（x）就叫做奇函数。
师：请大家再思考下面两个问题。第一，是不是任何一个函数不是奇函数就是偶函数？第二，是否存在函数既是奇函数又是偶函数？这样的函数有什么具体特点吗？
设计意图：引发学生思考边界问题，某种程度上是基于函数分类的角度而言，此时从一般到特殊训练学生的演绎推理能力，有助于与前面的直观想象到逻辑推理的归纳总结呼应，强化数学思维与品质的培养。
生12：我来回答，显然存在函数既不是奇函数又不是偶函数。试想这两种函数的图像具有高度的对称性，更多的函数是没有对称性的，我们甚至可以说奇函数和偶函数仅仅是函数里面十分特殊的一类。比如大家熟悉的二次函数f（x）=x2-x 3，通过绘图很明显发现图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以它就是非奇非偶函数。至于既是奇函数又是偶函数的我暂时没有想到。
生13：老师，我能找到既是奇函数又是偶函数，实际上这样的函数就是既要关于y轴对称也要关于原点对称，那么f（x）=0这个函数就满足了这两种对称，至于特点我不是太清楚。
师：感谢两位同学的回答！我们再次将目光投到抽象的逻辑推理。若我们不拘泥于具体的函数图像，我们从函数严格证明角度进行探索。
设计意图：第四次强化训练学生从直观想象到理论推理的数学思考问题的方式，并结合演绎推理得出特殊的情形，深化理解函数的奇偶性。
生14：一个函数既是奇函数又是偶函数，必须同时满足：f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x），可知f（x）=-f（x）→f（x）=0，结合图4知，并不是定义域关于原点对称，定义域中就一定有0！图4的定义域就是（-∞，0）∪（0， ∞）.但是如果有的话，f（x）=0。于是我们发现这样一个事实：既是奇函数又是偶函数的函数存在，它们是定义域关于原点对称的区间，而且图像只能在x轴上。
师：说的十分准确，看样子各位同学对函数的奇偶性的理解都比较深刻了。
4.典例分析，深化理解眯兄念定义
师：至此，大家从观察图像，通过直观想象，再到逻辑推理得到了奇偶函数的概念，并学会了掌握了判定奇偶性的方法，实现了形与数的结合。
下面我们判断以下几个函数是否具有奇偶性。
设计意图：通过作业考查学生对函数奇偶性的理解程度，并引导归纳出做题的一般步骤和所要注意的问题。
……（大致6分钟）
生15：1是非奇非偶函数;2，3是偶函数;4是奇函数。
师：有没有哪位同学有不同看法？
生16：1，2是非奇非偶函数;3是偶函数;4是奇函数。
师：请你解释一下你为什么认为2是非奇非偶函数？
生16：因为定义域没有关于原点对称，有关于原点对称。反过来想，假设定义域是关于原点对称的，那么x不等于1的话，x就也不能等于-1，这显然和实际情况是矛盾的。
师：说的特别对，实际上同学们在判断函数奇偶性的时候首先应该考虑的是定义域，一定要准确深刻的理解什么叫定义域关于原点对称，其次才是计算f（-x）与少卜）的关系。
5.梳理小结整节课内容
师：请大家说说整节课学到了什么？
生17：我掌握了奇偶函数的图像性质特点，以及如何利用f（-x）与f（x）的关系去判断一个函数的奇偶性。让我感触更深的是很多数学问题都是始于猜想，终于推理验证，数学原来如此之美。
6.发展推广，进一步加强逻辑推理素养培育
师：请大家思考以下两个问题。第一，上面4个例子中的3，4看看自变量x的次数有没有什么明显的特点？你能进一步说么条件是奇函数，满足什么条件师偶函数？什么时候既不是奇函数也不是偶函数？什么时候既是奇函数又是偶函数？第二，大家结合单调性思考一下奇偶函数单调性有什么特点？这都留给大家课后小组讨论，并且尝试写出逻辑推导过程。
五、结束语
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出数学核心素养是现代社会每一个人应该具备的素养，数学教育能够帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识，技能，方法，提升数学核心素养。函数的图像性质是研究函数的根本所在，而函数的奇偶性就是函数重要的性质之一。本节课旨在传授学生函数奇偶性知识的同时渗透直观想象与逻辑推理素养，能够达到知识与素养的同步，获得可持续发展的数学能力。
参考文献：
[1]林运来.基于逻辑推理素养的高三复习教学[J].中学数学，2018（09）：24-26.
[2]戴馨.基于数学核心素养的函数奇偶性教学设计[J].数学之友，2018（20）：38-40.