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摘 要：针对接触正压力较大时干摩擦力主要表现出刚度特性的情况，结合已有文献的实验研究结论，对双线性迟滞模型进行完善。通过龙格库塔方法计算干摩擦阻尼系统的动力响应，结合傅里叶变换、庞加莱图及相图分析系统的非线性动力学特性。仿真结果表明，在干摩擦接触不脱离的情况下，系统没有出现分叉与混沌现象，稳态响应与摩擦力没有出现次谐波响应且高次谐波分量很小，证明了基于一次谐波平衡的等效线性化方法求解接触不脱离的干摩擦阻尼系统是较为精确的；得到了接触刚度、外激励幅值、正压力对干摩擦阻尼系统减振效果影响的规律，与相关实验结果基本相符。相关结论可为工程中干摩擦阻尼器的设计提供参考。
关键词：机械动力学与振动；干摩擦阻尼系统；完善的双线性迟滞模型；非线性分析；减振
中图分类号：V232.4 文献标志码：A
文章编号：1008-1542（2018）03-0214-07
振动故障是旋转机械叶片设计的一个重要问题。实践证明，给叶片附加干摩擦阻尼结构可以有效抑制叶片的动力响应，从而减少由振动引起的叶片高周疲劳问题，而且，干摩擦阻尼结构在涡轮叶片减振中已经得到广泛应用[1-6]。目前，叶片振动故障仍时有发生，故继续对涡轮叶片干摩擦减振问题进行研究具有一定的理论意义和重要的工程价值。
在摩擦接触模型中，双线性迟滞模型考虑了接触刚度，修正了库伦摩擦无法考虑黏、滑转换的局限性，从而被研究者广泛采用，文献[7—9]在研究干摩擦系统时均采用了这种模型。BARAA等[10]研究了能量消耗和摩擦接触状态的黏、滑转换分别对单自由度干摩擦阻尼系统峰值响应影响的效果，揭示了系统的减振机理；郝燕平等[11]将迟滞弹簧模型推广应用于二维接触运动下的摩擦分析，发展了一种将有限元法和动柔度法相结合的干摩擦阻尼结构响应分析方法；单颖春等[12]将轨迹跟踪法和一种二维运动下的双线性迟滞滑动模型相结合求解了二维摩擦接触时摩擦力的数值解，并考虑了高次谐波的影响；曾亮等[13]将叶片模化为单质量块，对二维摩擦接触运动时系统的减振特性进行了分析；李全通等[14]在实验研究中发现接触面间正压力过大附加干摩擦阻尼器相当于附加支撑刚度的现象。何尚文等[15]考虑了双线性迟滞由不稳到稳态的过程，在此基础上发展了一种干摩擦系统求解方法；王本利等[16]通过谐波平衡法研究了由Iwan模型和1个质量块构成的干摩擦振子系统的自由振动和受迫振动问题；李琳等[17]在双线性迟滞模型基础上对典型航空发动机叶片缘板阻尼器宽频多阶次激励的减振效果进行了计算与分析；余慧杰等[18]对双线性滞迟振子的无谐振机理进行了理论和试验研究；徐超等[19]考虑法向荷载变化并结合并联的弹簧迟滞模型发展了一种微滑移模型。基于双线性迟滞模型对系统稳态响应的求解中，特别是利用等效线性化求解时多忽略了正压力较大时阻尼器只有刚度特性的情况。基于文献[14]中的实验现象，此时双线性迟滞模型已不能准确表述摩擦力与位移间的关系，应进行完善。另外，摩擦接触的复杂性以及接触面间干摩擦力的非线性，给干摩擦系统动力响应的高效、科学求解带来了困难。
本文结合相关实验结论对双线性迟滞摩擦接触模型进行了完善，在此基础上应用龙格库塔方法对非线性振动方程进行求解，应用傅里叶变换、庞加莱图及相图分析了系统的非线性，得到了干摩擦阻尼器减振特性随相关参数变化的规律，所得结果可为工程中干摩擦阻尼器设计、计算提供参考。
1 理论基础及计算模型
图1 干摩擦系统力学模型
Fig.1 Mechanical model of dry friction system
考虑叶片的一弯振型，干摩擦阻尼系统的力学模型可模化为如图1所示。则系统的动力学方程为[20]
m[AKy¨]+c[AKy·]+ky+f1=F0 sin（ωt），
式中：m为叶片质量；y为叶片一弯振动位移；k为一弯振型的振动刚度；c为一弯振型下黏性阻尼系数；f1为系统的干摩擦接触力；F0 sin（ωt）为给干摩擦阻尼系统施加的外简谐激励。
图2 [WB]完善的干摩擦力f1与振动位移[DW]y的迟滞关系
[WT5”BZ]Fig.2 [WB]Improved hysteretic constructive relation of
[DW]dry friction f1 and displacement y
圖2为完善的双线性迟滞模型下接触摩擦力与相对位移的关系。
图2双线性迟滞模型的完善：考虑响应稳态前实际运动，迟滞关系是动态变化的平行四边形，即每个循环响应幅值不断变化；考虑正压力较大时，摩擦力-位移迟滞曲线经历oa段后可能不能进入ab段开始迟滞循环，需判断系统从ab还是cd段进入迟滞循环，使模型更加符合工程实际；结合文献[15]的实验，考虑正压力过大时，摩擦力-位移不能进入平行四边形循环（迟滞曲线一直在oa段或oa1段），摩擦力-位移恒为正比例关系：f1=k1y。
运用龙格库塔法求解系统的动力响应，计算流程图如图3所示。
2 动力学特性分析
参考工程中涡轮叶片阻尼器参数[5]及有限元软件进行模态分析的结果，相关参数可取为m=0.05 kg，c=16 N·s/m，k=1×105 N/m，ω=200 rad/s，μ=0.5，y和[AKy·]分别为振动响应的位移和速度，t为时间，频域图中的f为激振频率。
2.1 刚度比变化时系统的动力学特性分析
取F0=50 N，N=50 N，定义接触刚度与系统一弯刚度之比γ=k1/k，刚度比γ（无量纲）的取值范围为[6，20]，仿真结果如图4—图7所示。
分析图4—图7可知，不同的刚度比下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；减振效果随接触刚度变化出现波动。 2.2 接触正压力变化时系统的动力学特性分析
取F0=50 N，k1=1×106 N·m，正压力N（单位为N）的取值范围为[10，120]，仿真结果如图8—图11所示。
分析图8—图11可知，不同接触正压力作用下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；减振效果随正压力变化而变化，正压力增大至一定值后系统减幅率不再改变，与文献[14]实验结果相符。
2.3 外激励幅值[WTHX]F0变化时系统的动力学特性分析
取N=50 N，k1=1×106 N·m，外激励幅值F0（单位为N）的取值范围为[5，100]，仿真结果如图12—图15所示。
分析图12—图15可知，不同的外激励幅值作用下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；不改变正压力，减振效果随外激励幅值增加有所下降。
3 结 论
在对双线性迟滞模型进行完善的基础上分析了系统的非线性与减振特性，研究表明：
1）各种工况下系统响应未出现分叉与混沌现象；响应中没有次谐波分量，高次谐波分量很小，证明了在干摩擦接触不脱离的情况下基于一次谐波平衡的等效线性化方法求解干摩擦阻尼系统，其结果是足够精确的。
2）接触刚度、接触正压力、外激励幅值的改变影响干摩擦阻尼器的减振效果；正压力足够大时附加干摩擦阻尼器等效于附加一个刚度，干摩擦力阻尼特性基本消失，与文献[14]的实验结论相符。
目前求解葉片响应时多假设叶盘静止，下一步要考虑叶盘旋转并研究叶片相对叶盘的运动；另外要结合有限元方法用接触单元对对接触面部分滑动、部分黏滞进行研究，进一步完善摩擦接触模型。
参考文献/References：
[1] GRIFFIN J H. Friction damping of resonant stresses in gas turbine engineering airfoils[J]. ASME Journal of Engineering for Power， 1980， 102：329-333.
[2] 单颖春，郝燕平，朱梓根，等.干摩擦阻尼块在叶片减振方面的应用与发展[J].航空动力学报，2001，16（3）：218-223.
SHAN Yingchun， HAO Yanping， ZHU Zigen， et al. Application and development of platform friction damper for depressing resonant vibration of blades[J]. Journal of Aerospace Power， 2001，16（3）：218-223.
[3] 何尚文.小型涡轮叶片缘板干摩擦阻尼器减振特性研究[D].西安：西北工业大学，2011.
HE Shangwen. Research on Vibration Reduction Characteristics of Small Turbine Blades with Dry Friction Platform Damper[D]. Xi’an： Northwestern Ploytechnical University， 2011.
[4] 李琳，刘久周，李超.航空发动机中的干摩擦阻尼器及其设计技术研究进展[J]. 航空动力学报，2016，31（10）：2305-2317.
LI Lin， LIU Jiuzhou， LI Chao. Review of the dry friction dampers in aero-engine and their design technologies[J]. Journal of Aerospace Power， 2016， 31（10）：2305-2317.
[5] 张亮，刘铁箭，李欣，等. 失谐叶盘结构减振问题研究综述[J].河北科技大学学报，2016，37（2）：109-117.
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[10]BARAA A S， EEIC C，SEBASTIEN B. Georges Jacquet-Richardet， Dissipated energy and boundary condition effects associated to dry friction on the dynamics of vibrating structures[J]. Mechanism and Machine Theory， 2011，46（4）：479-491.
[11]郝燕平， 朱梓根. 帶摩擦阻尼的叶片响应求解方法[J]. 航空动力学报，2001，21（5）：411-414.
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[12]单颖春，朱梓根.复杂接触运动下非线性摩擦力的求解[J].润滑与密封，2006， 175（3）：73-77.
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[13]曾亮，李琳.基于轨迹跟踪法的干摩擦振动系统动力响应分析方法[J].振动工程学报，2004， 17（sup）：777-781.
ZENG Liang， LI Lin. Method of dynamic response analysis of the vibration systems with dry friction damping by Trajectory-Tracing[J]. Journal of Vibration Engineering， 2004， 17（sup）：777-781.
[14]李全通，廖明夫，陈卫，等.缘板干摩擦阻尼器叶片减振实验研究[J].机械科学与技术，2008， 27（11）： 1392-1396.
LI Quantong， LIAO Mingfu， CHEN Wei，et al. An experimental study of decreasing vibration on blade with platform dry friction damper[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2008， 27（11）： 1392-1396.
[15]何尚文， 任兴民，南国防. 一种干摩擦缘板阻尼系统分析的新方法[J]. 机械强度， 2011， 33（1）： 29-33.
HE Shangwen， REN Xingmin， NAN Guofang. One new method for analyzing systems with dry friction damping[J]. Journal of Mechanical Strength， 2011， 33（1）： 29-33.
[16]王本利，张相盟，卫洪涛.基于谐波平衡法的含Iwan模型干摩擦振子非线性振动[J].航空动力学报，2013，28（1）：1-9.
WANG Benli，ZHANG Xiangmeng，WEI Hongtao.Harmonic balance method for nonlinear vibration of dry friction oscillator with Iwan model[J]. Journal of Aerospace Power，2013，28（1）：1-9.
[17]李琳，刘久周，李超.干摩擦阻尼器对宽频多阶次激励减振效果分析[J]. 航空动力学报，2016，31（9）：2171-2180.
LI Lin， LIU Jiuzhou， LI Chao. Analysis on damping effect of dry friction damper under wideband multi-harmonic excitation[J]. Journal of Aerospace Power， 2016， 31（9）：2171-2180.
[18]余慧杰，张乐京.双线性滞迟干摩擦模型的无谐振振动特性分析[J].振动与冲击，2016，35（12）：92-95.
YU Huijie， ZHANG Lejing. Free resonance analysis of bilinear hysteresis dry friction damper[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（12）：92-95.
[19]徐超，李东武，陈学前，等.考虑法向载荷变化的微滑摩擦系统振动分析[J].振动与冲击，2017，36（13）：122-127.
XU Chao， LI Dongwu， CHEN Xueqian， et al. Vibration analysis for a micro-slip frictional system considering variable normal load[J]. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36（13）：122-127.
[20]刘延柱，陈立群，陈文良.振动力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.
关键词：机械动力学与振动；干摩擦阻尼系统；完善的双线性迟滞模型；非线性分析；减振
中图分类号：V232.4 文献标志码：A
文章编号：1008-1542（2018）03-0214-07
振动故障是旋转机械叶片设计的一个重要问题。实践证明，给叶片附加干摩擦阻尼结构可以有效抑制叶片的动力响应，从而减少由振动引起的叶片高周疲劳问题，而且，干摩擦阻尼结构在涡轮叶片减振中已经得到广泛应用[1-6]。目前，叶片振动故障仍时有发生，故继续对涡轮叶片干摩擦减振问题进行研究具有一定的理论意义和重要的工程价值。
在摩擦接触模型中，双线性迟滞模型考虑了接触刚度，修正了库伦摩擦无法考虑黏、滑转换的局限性，从而被研究者广泛采用，文献[7—9]在研究干摩擦系统时均采用了这种模型。BARAA等[10]研究了能量消耗和摩擦接触状态的黏、滑转换分别对单自由度干摩擦阻尼系统峰值响应影响的效果，揭示了系统的减振机理；郝燕平等[11]将迟滞弹簧模型推广应用于二维接触运动下的摩擦分析，发展了一种将有限元法和动柔度法相结合的干摩擦阻尼结构响应分析方法；单颖春等[12]将轨迹跟踪法和一种二维运动下的双线性迟滞滑动模型相结合求解了二维摩擦接触时摩擦力的数值解，并考虑了高次谐波的影响；曾亮等[13]将叶片模化为单质量块，对二维摩擦接触运动时系统的减振特性进行了分析；李全通等[14]在实验研究中发现接触面间正压力过大附加干摩擦阻尼器相当于附加支撑刚度的现象。何尚文等[15]考虑了双线性迟滞由不稳到稳态的过程，在此基础上发展了一种干摩擦系统求解方法；王本利等[16]通过谐波平衡法研究了由Iwan模型和1个质量块构成的干摩擦振子系统的自由振动和受迫振动问题；李琳等[17]在双线性迟滞模型基础上对典型航空发动机叶片缘板阻尼器宽频多阶次激励的减振效果进行了计算与分析；余慧杰等[18]对双线性滞迟振子的无谐振机理进行了理论和试验研究；徐超等[19]考虑法向荷载变化并结合并联的弹簧迟滞模型发展了一种微滑移模型。基于双线性迟滞模型对系统稳态响应的求解中，特别是利用等效线性化求解时多忽略了正压力较大时阻尼器只有刚度特性的情况。基于文献[14]中的实验现象，此时双线性迟滞模型已不能准确表述摩擦力与位移间的关系，应进行完善。另外，摩擦接触的复杂性以及接触面间干摩擦力的非线性，给干摩擦系统动力响应的高效、科学求解带来了困难。
本文结合相关实验结论对双线性迟滞摩擦接触模型进行了完善，在此基础上应用龙格库塔方法对非线性振动方程进行求解，应用傅里叶变换、庞加莱图及相图分析了系统的非线性，得到了干摩擦阻尼器减振特性随相关参数变化的规律，所得结果可为工程中干摩擦阻尼器设计、计算提供参考。
1 理论基础及计算模型
图1 干摩擦系统力学模型
Fig.1 Mechanical model of dry friction system
考虑叶片的一弯振型，干摩擦阻尼系统的力学模型可模化为如图1所示。则系统的动力学方程为[20]
m[AKy¨]+c[AKy·]+ky+f1=F0 sin（ωt），
式中：m为叶片质量；y为叶片一弯振动位移；k为一弯振型的振动刚度；c为一弯振型下黏性阻尼系数；f1为系统的干摩擦接触力；F0 sin（ωt）为给干摩擦阻尼系统施加的外简谐激励。
图2 [WB]完善的干摩擦力f1与振动位移[DW]y的迟滞关系
[WT5”BZ]Fig.2 [WB]Improved hysteretic constructive relation of
[DW]dry friction f1 and displacement y
圖2为完善的双线性迟滞模型下接触摩擦力与相对位移的关系。
图2双线性迟滞模型的完善：考虑响应稳态前实际运动，迟滞关系是动态变化的平行四边形，即每个循环响应幅值不断变化；考虑正压力较大时，摩擦力-位移迟滞曲线经历oa段后可能不能进入ab段开始迟滞循环，需判断系统从ab还是cd段进入迟滞循环，使模型更加符合工程实际；结合文献[15]的实验，考虑正压力过大时，摩擦力-位移不能进入平行四边形循环（迟滞曲线一直在oa段或oa1段），摩擦力-位移恒为正比例关系：f1=k1y。
运用龙格库塔法求解系统的动力响应，计算流程图如图3所示。
2 动力学特性分析
参考工程中涡轮叶片阻尼器参数[5]及有限元软件进行模态分析的结果，相关参数可取为m=0.05 kg，c=16 N·s/m，k=1×105 N/m，ω=200 rad/s，μ=0.5，y和[AKy·]分别为振动响应的位移和速度，t为时间，频域图中的f为激振频率。
2.1 刚度比变化时系统的动力学特性分析
取F0=50 N，N=50 N，定义接触刚度与系统一弯刚度之比γ=k1/k，刚度比γ（无量纲）的取值范围为[6，20]，仿真结果如图4—图7所示。
分析图4—图7可知，不同的刚度比下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；减振效果随接触刚度变化出现波动。 2.2 接触正压力变化时系统的动力学特性分析
取F0=50 N，k1=1×106 N·m，正压力N（单位为N）的取值范围为[10，120]，仿真结果如图8—图11所示。
分析图8—图11可知，不同接触正压力作用下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；减振效果随正压力变化而变化，正压力增大至一定值后系统减幅率不再改变，与文献[14]实验结果相符。
2.3 外激励幅值[WTHX]F0变化时系统的动力学特性分析
取N=50 N，k1=1×106 N·m，外激励幅值F0（单位为N）的取值范围为[5，100]，仿真结果如图12—图15所示。
分析图12—图15可知，不同的外激励幅值作用下系统响应和摩擦力没有出现次谐波，且高次谐波分量非常小，系统未出现分叉及混沌现象；不改变正压力，减振效果随外激励幅值增加有所下降。
3 结 论
在对双线性迟滞模型进行完善的基础上分析了系统的非线性与减振特性，研究表明：
1）各种工况下系统响应未出现分叉与混沌现象；响应中没有次谐波分量，高次谐波分量很小，证明了在干摩擦接触不脱离的情况下基于一次谐波平衡的等效线性化方法求解干摩擦阻尼系统，其结果是足够精确的。
2）接触刚度、接触正压力、外激励幅值的改变影响干摩擦阻尼器的减振效果；正压力足够大时附加干摩擦阻尼器等效于附加一个刚度，干摩擦力阻尼特性基本消失，与文献[14]的实验结论相符。
目前求解葉片响应时多假设叶盘静止，下一步要考虑叶盘旋转并研究叶片相对叶盘的运动；另外要结合有限元方法用接触单元对对接触面部分滑动、部分黏滞进行研究，进一步完善摩擦接触模型。
参考文献/References：
[1] GRIFFIN J H. Friction damping of resonant stresses in gas turbine engineering airfoils[J]. ASME Journal of Engineering for Power， 1980， 102：329-333.
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LI Lin， LIU Jiuzhou， LI Chao. Review of the dry friction dampers in aero-engine and their design technologies[J]. Journal of Aerospace Power， 2016， 31（10）：2305-2317.
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ZHAO Feng. Research on the Nonlinear Mode Characteristics and Vibration Suppression of Beam Structures with Dry Friction[D].Tianjin： Tianjin University， 2016.
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[16]王本利，张相盟，卫洪涛.基于谐波平衡法的含Iwan模型干摩擦振子非线性振动[J].航空动力学报，2013，28（1）：1-9.
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[19]徐超，李东武，陈学前，等.考虑法向载荷变化的微滑摩擦系统振动分析[J].振动与冲击，2017，36（13）：122-127.
XU Chao， LI Dongwu， CHEN Xueqian， et al. Vibration analysis for a micro-slip frictional system considering variable normal load[J]. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36（13）：122-127.
[20]刘延柱，陈立群，陈文良.振动力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.