立体几何中判断线、面位置关系的三大利器

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  立体几何中线、面的位置关系包括线与线、线与面、面与面之间的平行或垂直关系,这里面的关系错综复杂,而高考选择、填空题常常会在这里面做文章,令很多考生颇感头疼。掌握好下面三大利器,可以让同学们赢得信心,真正做到考场上得心应手、十拿九稳,这三大利器就是:牢记定义、定理;重视几个常用的结论;合理使用举反例法。下面分三点来逐一加以说明。
  一、牢记定义、定理
  为了使思路更加清晰,可以借助下面的网络图。
  对于线、面的平行关系,有下面的网络图,如图1。
  序号(1)~(5)分别代表以下判断定理或性质定理.
  第一,线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
  第二,线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
  第三,面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。
  第四,两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
  第五,如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它們的交线平行。
  第四和第五,均可视为面面平行的性质定理。
  对于线、面的垂直关系,有下面的网络图,如图2。
  序号(6)~(9)分别代表以下判断定理或性质定理:
  第六,线面垂直的判定定理:如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
  第七,线面垂直的性质定理:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。这条性质实际上是由线面垂直的定义得到的。
  第八,面面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
  第九,面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在——个平面内垂直于交线的直线必垂直于另——个平面。
  通过以上两个网络图,如果再进一步针对每个定理逐一画出图形、写成符号语言,那么有关定理可以说基本上完成了识记这关键的一步。
  二、重视几个常用结论
  光凭判定定理和性质定理显然还不足以对一些命题进行快速的判断,我们还需掌握一些定理以外的常用结论。同样我们可以利用下面的网络图3来帮助记忆:
  序号(10)~(13)分别代表以下有用的结论:
  第十,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
  第十一,垂直于同一个平面的两条直线平行。
  第十二,垂直于同一条直线的两个平面平行。
  第十三,一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
  把上述定理、常用结论(1)~(13)全部汇总到一起,就可以得到下面的网络图。
  在此基础上,再记住三个个关于平行的传递性结论。
  第十四,和第三条直线都平行的两条直线平行。
  第十五,和第三个平面都平行的两个平面平行。
  第十七,平行于同一个平面的两条直线未必平行,平行于同一条直线的两个平面也未必平行。
  三、合理使用举反例法
  对于一个假命题,往往利用举反例的方法来判断,会很凑效。由于举反例法仅适用于对假命题的判断,故要“合理使用”。
  例:(2013广东(理))设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,
  分析:用排除法,由画图可知选项A中m和n也可能平行,排除A,选项B中m和n也可能异面,排除B,对于选项C,宜采用举反例法,如图5,在正方体ABCD——A1B1C1D1中, ,但是 与平面ABCD是平行关系,而不是垂直关系。
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