一、函数关系式与定义域
　　很多学生在对函数关系式的理解不全面,他们在求函数关系式时往往忽略了所求函数关系式的定义域,以致解题常常出错。
　　例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。
　　解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得:
　　 S=x(50-x)
　　 故函数关系式为:
　　 S=x(50-x).
　　上述函数关系式还不完整,缺少自变量x的取值范围。因为当自变量为负数或大于50时,S的值是负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量x的范围,
　　 即函数关系式为:
　　 S=x(50-x) (0　　这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意函数定义域对实际问题的影响,不能出现与常理相背的结果。
　　二、 函数最值与定义域
　　最值问题是令学生最头疼的问题。其实很多错误是由学生忽视了定义域所造成的。如:
　　例2:求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值。
　　y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2 -4
　　初看表达式,本题似乎没有最大值,只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路,而没有注意到已知条件发生的变化。这是定式思维的一种表现。
　　其实在指定的定义域区间[p,q]上,二次函数的最值应分步讨论:
　　 ⑴ 当 时, 在[p,q]上单调递增, ;
　　 ⑵ 当 时, 在[p,q] 上单调递减, ;
　　 ⑶ 当 时,
　　
　　 ,
　　 .即最大值是
　　 中最大的一个值。
　　故本题还要继续做下去:
　　 ∵
　　 ∴
　　
　　 ∴ y=x2-2x-3函数 在[-2,5]上的最小值是-4,最大值是12.
　　这个例子说明,函数定义域对函数最值有影响,解题过程中应加以注意。
　　三、 函数值域与定义域
　　函数的值域是该函数全体函数值的集合,它由定义域和对应法共同确定,因此在求函数值域时,应注意函数定义域。如:
　　例3:求函数 的值域。
　　错解:令
　　∴
　　故所求的函数值域是 .
　　剖析:经换元后,应有 ,而函数
　　 在[0,+∞)上是增函数,
　　 所以当t=0时,ymin=1.
　　 故所求的函数值域是[1, +∞).
　　以上例子说明,要善于发现变量隐含的取值范围,避免类似错误的产生。
　　四、函数单调性与定义域
　　函数单调性是指函数在给定的定义域上函数自变量与函数值的正反相关性,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域上进行。如:
　　例4:指出函数 的单调区间。
　　 解:先求定义域:
　　 ∵
　　 ∴
　　 ∴ 函数定义域为 .
　　 令 ,易知 时,u为减函数;
　　 时,u为增函数
　　 又∵
　　 ∴函数 在 上是减函数,在 上是增函数
　　即函数 的单调递增区间 ,单调递减区间是 。
　　如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解。
　　五、函数奇偶性与定义域
　　判断函数的奇偶性,首先应考虑该函数的定义域是否关于坐标原点对称,否则函数就无奇偶性可谈。如:
　　例5:判断函数 的奇偶性。
　　 解:∵
　　 ∴ 定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称
　　 ∴ 函数 是非奇非偶函数.
　　综上所述,在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中,若能认真地考虑函数定义域对解题结果有无影响,就能大大降低错误率。
　　(作者单位:427000湖南省桑植县第四中学)