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1．根的判别式
一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的根的情况可以由[b2－4ac]来判定，我们把[b2－4ac]叫做一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：[x1，2＝-b±b2-4ac2a]；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：[x1＝x2＝－b2a]；③当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1若关于[x]的一元二次方程[x2-x+a-4＝0]的一根大于零、另一根小于零，求实数[a]的取值范围．
解设[x1，x2]是方程的两根，则[x1x2＝a－4＜0] ①
且Δ＝（－1）2－4（[a－4]）＞0 ②
由①得[a＜4]，由②得[a＜174]．
∴[a]的取值范圍是[a＜4]．
2．根与系数的关系（韦达定理）（这个内容初中没有学习，高中应用非常广泛，应当熟练掌握）
若一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]有两个实数根
[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，
则有[x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a]
[=-2b2a=-ba]；
[x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a]
[=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca]．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的两根分别是[x1、x2]，那么[x1+x2=-ba]，[x1⋅x2=ca]．一元二次方程根与系数的这一关系是由十六世纪的法国数学家韦达发现的，所以通常把此定理称为“韦达定理”．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程[x2＋px＋q＝0]，若[x1、x2]是其两根，由韦达定理可知：[x1＋x2＝－p，x1⋅x2＝q]，即 [p＝－(x1＋x2)，][q＝x1⋅x2]，
所以，方程[x2＋px＋q＝0]可化为[x2－(x1＋x2)x＋][x1⋅x2=0]．因此有以两个数[x1、x2]为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：[x2－(x1＋x2)x＋][x1⋅x2=0.]
例2已知方程[5x2+kx-6=0]的一个根是2，求它的另一个根及[k]的值．
分析由于已知方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出[k]的值，再由方程解出另一个根．我们也可以利用韦达定理来解题，即已知方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出[k]的值．
解法一∵2是方程的一个根，
∴[5×22＋k×2－6＝0]，∴[k＝－7]．
∴方程就为[5x2－7x－6＝0]，
解得[x1＝2]，[x2=-35]．
∴方程的另一个根为[-35]，[k]的值为－7．
解法二设方程的另一个根为[x1]，则[2x1＝-65]，
∴[x1＝-35]．
由（－[35]）＋2＝[-k5]，得 [k＝-7]．
∴方程的另一个根为[-35]，[k]的值为－7．
例3已知关于[x]的方程[x2＋2(m－2)x＋m2＋4]＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求[m]的值．
分析本题可以利用韦达定理，结合实数根的平方和比两个根的积大21得到关于[m]的方程，从而解得[m]的值．在解题中需要注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解设[x1、x2]是方程的两根，由韦达定理，得
[x1＋x2＝－2(m－2)，x1⋅x2＝m2＋4．]
∵[x12＋x22－x1⋅x2＝21，]
∴[(x1＋x2)2－3 x1⋅x2＝21，]
即[[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，]
化简得[m2－16m－17＝0， ]
解得[m＝－1]或[m＝17．]
当[m＝－1]时，方程为[x2＋6x＋5＝0]，
Δ＞0，满足题意；
当[m＝17]时，方程为[x2＋30x＋293＝0]，
Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，[m＝17]．
点评①本题也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的[m]的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出[m]的值，取满足条件的[m]的值即可．②在今后的解题过程中，如果仅仅用韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析我们可以设出这两个数分别为[x、y，]利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一设这两个数分别是[x、y，]
则[x＋y＝4]， ①
[xy＝－12]． ②
将①变形后代入②，得[x(4－x)＝－12]，
即[x2－4x－12＝0]，
∴[x1＝－2，x2＝6．]
∴[x1=-2,y1=6,]或[x2=6,y2=-2.]
因此，这两个数是－2和6．
解法二由韦达定理可知，这两个数是方程[x2－4x－12＝0]的两个根．
解方程得：[x1＝－2，x2＝6]．
所以，这两个数是－2和6．
点评从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5若[x1]和[x2]分别是一元二次方程[2x2＋5x－3＝0]的两根．
（1）求[| x1－x2|]的值；（2）求[1x12+1x22]的值；
（3）[x13＋x23]．
解∵[x1]和[x2]分别是一元二次方程[2x2＋5x－]3＝0的两根，
∴[x1+x2=-52]，[x1x2=-32]．
（1）∵[|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2]
[=(x1＋x2)2－4x1x2]
[=(-52)2-4×(-32)]＝[254]＋6＝[494]，
∴[| x1－x2|＝72]．
（2）[1x12+1x22=x12+x22x12⋅x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2]
[=(-52)2-2×(-32)(-32)2=254+394=379]．
（3）[x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)]
[＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]]
＝（－[52]）×[（－[52]）2－3×（[-32]）]＝－[2158]．
点评一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设[x1]和[x2]分别是一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0][(a≠0)]，则
[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，
∴[| x1－x2|＝-b+b2-4ac2a--b-b2-4ac2a]
[=2b2-4ac2a=b2-4aca=Δa]．
于是有下面的结论：
若[x1]和[x2]分别是一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0][(a≠0)]，则| [x1－x2|＝Δa]（其中Δ[＝b2－4ac]）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的根的情况可以由[b2－4ac]来判定，我们把[b2－4ac]叫做一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：[x1，2＝-b±b2-4ac2a]；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：[x1＝x2＝－b2a]；③当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1若关于[x]的一元二次方程[x2-x+a-4＝0]的一根大于零、另一根小于零，求实数[a]的取值范围．
解设[x1，x2]是方程的两根，则[x1x2＝a－4＜0] ①
且Δ＝（－1）2－4（[a－4]）＞0 ②
由①得[a＜4]，由②得[a＜174]．
∴[a]的取值范圍是[a＜4]．
2．根与系数的关系（韦达定理）（这个内容初中没有学习，高中应用非常广泛，应当熟练掌握）
若一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]有两个实数根
[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，
则有[x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a]
[=-2b2a=-ba]；
[x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a]
[=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca]．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果[ax2＋bx＋c＝0（a≠0）]的两根分别是[x1、x2]，那么[x1+x2=-ba]，[x1⋅x2=ca]．一元二次方程根与系数的这一关系是由十六世纪的法国数学家韦达发现的，所以通常把此定理称为“韦达定理”．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程[x2＋px＋q＝0]，若[x1、x2]是其两根，由韦达定理可知：[x1＋x2＝－p，x1⋅x2＝q]，即 [p＝－(x1＋x2)，][q＝x1⋅x2]，
所以，方程[x2＋px＋q＝0]可化为[x2－(x1＋x2)x＋][x1⋅x2=0]．因此有以两个数[x1、x2]为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：[x2－(x1＋x2)x＋][x1⋅x2=0.]
例2已知方程[5x2+kx-6=0]的一个根是2，求它的另一个根及[k]的值．
分析由于已知方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出[k]的值，再由方程解出另一个根．我们也可以利用韦达定理来解题，即已知方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出[k]的值．
解法一∵2是方程的一个根，
∴[5×22＋k×2－6＝0]，∴[k＝－7]．
∴方程就为[5x2－7x－6＝0]，
解得[x1＝2]，[x2=-35]．
∴方程的另一个根为[-35]，[k]的值为－7．
解法二设方程的另一个根为[x1]，则[2x1＝-65]，
∴[x1＝-35]．
由（－[35]）＋2＝[-k5]，得 [k＝-7]．
∴方程的另一个根为[-35]，[k]的值为－7．
例3已知关于[x]的方程[x2＋2(m－2)x＋m2＋4]＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求[m]的值．
分析本题可以利用韦达定理，结合实数根的平方和比两个根的积大21得到关于[m]的方程，从而解得[m]的值．在解题中需要注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解设[x1、x2]是方程的两根，由韦达定理，得
[x1＋x2＝－2(m－2)，x1⋅x2＝m2＋4．]
∵[x12＋x22－x1⋅x2＝21，]
∴[(x1＋x2)2－3 x1⋅x2＝21，]
即[[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，]
化简得[m2－16m－17＝0， ]
解得[m＝－1]或[m＝17．]
当[m＝－1]时，方程为[x2＋6x＋5＝0]，
Δ＞0，满足题意；
当[m＝17]时，方程为[x2＋30x＋293＝0]，
Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，[m＝17]．
点评①本题也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的[m]的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出[m]的值，取满足条件的[m]的值即可．②在今后的解题过程中，如果仅仅用韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析我们可以设出这两个数分别为[x、y，]利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一设这两个数分别是[x、y，]
则[x＋y＝4]， ①
[xy＝－12]． ②
将①变形后代入②，得[x(4－x)＝－12]，
即[x2－4x－12＝0]，
∴[x1＝－2，x2＝6．]
∴[x1=-2,y1=6,]或[x2=6,y2=-2.]
因此，这两个数是－2和6．
解法二由韦达定理可知，这两个数是方程[x2－4x－12＝0]的两个根．
解方程得：[x1＝－2，x2＝6]．
所以，这两个数是－2和6．
点评从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5若[x1]和[x2]分别是一元二次方程[2x2＋5x－3＝0]的两根．
（1）求[| x1－x2|]的值；（2）求[1x12+1x22]的值；
（3）[x13＋x23]．
解∵[x1]和[x2]分别是一元二次方程[2x2＋5x－]3＝0的两根，
∴[x1+x2=-52]，[x1x2=-32]．
（1）∵[|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2]
[=(x1＋x2)2－4x1x2]
[=(-52)2-4×(-32)]＝[254]＋6＝[494]，
∴[| x1－x2|＝72]．
（2）[1x12+1x22=x12+x22x12⋅x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2]
[=(-52)2-2×(-32)(-32)2=254+394=379]．
（3）[x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)]
[＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]]
＝（－[52]）×[（－[52]）2－3×（[-32]）]＝－[2158]．
点评一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设[x1]和[x2]分别是一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0][(a≠0)]，则
[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，
∴[| x1－x2|＝-b+b2-4ac2a--b-b2-4ac2a]
[=2b2-4ac2a=b2-4aca=Δa]．
于是有下面的结论：
若[x1]和[x2]分别是一元二次方程[ax2＋bx＋c＝0][(a≠0)]，则| [x1－x2|＝Δa]（其中Δ[＝b2－4ac]）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．