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本人所在的学校东江中学，是市重点高级中学，生源参差不齐。由于初高中衔接不够好，学生进入高中之后，不能适应高中阶段的数学学习，尤其表现在思维品质上，与高中学习要求有较大差距，成绩不够理想。究其原因：由于初中数学教材的编排，以及受升学考试指挥棒的影响，在教学过程中只注重知识的传授，而忽视了对学生思维能力的培养。
新教材以建构主义为理论基础，强调学生的学习经历和社会背景，要求在原有的认知结构基础上，建构新的更高一级的认知结构，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。
如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些探索：
一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性
美国心理学家吉尔福特（J·P·Guilford）提出的“发散思维”（divergent thinking）的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。”
在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。
1. 引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
<例>求证：■=tanθ。
证法1：（运用二倍角公式统一角度）左=■=■=右。
证法2： （逆用半角公式统一角度） 左=■=■=右。
证法3：（运用万能公式统一函数种类）设tanθ=t，左=■=■=t=右。
证明4：∵tanθ=■（构法分母sin2θ并促使分子重新组合，在运算形式上得到统一），∴左=■=■=右。
证法5：由正切半角公式tanθ=■=■，利用合分比性质，则命题得证。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：（1）统一函数种类；（2）统一角度；（3）统一运算。
一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2. 引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论。让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
<例>已知：sinα sinβ=■（1），cosα cosβ=■（2），由此可得到哪些结论？
让学生进行探索，然后相互讨论研究，以得到多种不同的答案。
想法一：（1）2 （2）2可得cos（α-β）=-■（两角差的余弦公式）。
想法二：（1）×（2），再和差化积：sin（α β）[cos（α-β） 1]=■，结合想法一可知：sin（α β）=■。
想法三： （1）2-（2）2再和差化积：2cos（α β）[cos（α-β） 1]=-■，结合想法一可知：可得cos（α β）=-■。
想法四：■，再和差化积约去公因式可得：tan■=■，进而用万能公式可求：sin（α β）、cos（α β）、tan（α β）。
想法五：由sin2α cos2α=1消去α得：4sinβ 3cosβ=■，消去β可得4sinα 3cosα=■（消参思想）。
想法六：（1） （2）并逆用两角和的正弦公式：sin（α ■） sin（β ■）=■。
（1）-（2）并逆用两角差的正弦公式：sin（α-■） sin（β-■）=■。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养
由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。
1. 思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。
<例>方程sinx=lgx的解有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y=sinx，y=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
2. 思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。
<例>已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x=-1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。 解法一：截距为3，可选择一般式方程：y=ax2 bx c（a≠0），
显然有c=3，利用其他条件可列方程组求a，b值。
解法二：由对称轴为直线x=-1，可选择顶点式方程：y=a（x-m）2 k（a≠0），显然有m=-1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。
另外，由图象对称性可知x轴上交点为（1，0）和（-3，0）。
解法三：由截距为3，即过三点（0，3）、（1，0）和（-3，0），可选择一般式方程：y=ax2 bx c（a≠0），代入点坐标，列方程组求a，b，c值。
在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。
3. 思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。
<例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va∶Vb=（ ）
A. a∶b B. b∶a C. a2∶b2 D. b2∶a2
用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求：
Va=πab2sin2θ，Vb=πa2bsin2θ，则Va∶Vb=b∶a，由于要引入两边夹角θ来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形——矩形来处理，则相当简便。
此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。
三、灵活新颖的教法探求和切实可行的学法指导
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。
“导入出新”——良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”“叙述故事”“利用矛盾”“设置悬念”“引用名句”“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态。
“错解剖析”——提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况，寻找错误产生的原因，以求更好的加深对知识的掌握。
“例题变式”——从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解……以变来培养学生灵活的思维。
“编制试卷”——列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自己编制一份测验试卷，并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理，更好地掌握知识结构和思维方式。
以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。
近年来，随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我们要在教学实践中继续探索，理论联系实际，在新教改的道路上不断探索前进。
责任编辑徐国坚
新教材以建构主义为理论基础，强调学生的学习经历和社会背景，要求在原有的认知结构基础上，建构新的更高一级的认知结构，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。
如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些探索：
一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性
美国心理学家吉尔福特（J·P·Guilford）提出的“发散思维”（divergent thinking）的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。”
在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。
1. 引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
<例>求证：■=tanθ。
证法1：（运用二倍角公式统一角度）左=■=■=右。
证法2： （逆用半角公式统一角度） 左=■=■=右。
证法3：（运用万能公式统一函数种类）设tanθ=t，左=■=■=t=右。
证明4：∵tanθ=■（构法分母sin2θ并促使分子重新组合，在运算形式上得到统一），∴左=■=■=右。
证法5：由正切半角公式tanθ=■=■，利用合分比性质，则命题得证。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：（1）统一函数种类；（2）统一角度；（3）统一运算。
一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2. 引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论。让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
<例>已知：sinα sinβ=■（1），cosα cosβ=■（2），由此可得到哪些结论？
让学生进行探索，然后相互讨论研究，以得到多种不同的答案。
想法一：（1）2 （2）2可得cos（α-β）=-■（两角差的余弦公式）。
想法二：（1）×（2），再和差化积：sin（α β）[cos（α-β） 1]=■，结合想法一可知：sin（α β）=■。
想法三： （1）2-（2）2再和差化积：2cos（α β）[cos（α-β） 1]=-■，结合想法一可知：可得cos（α β）=-■。
想法四：■，再和差化积约去公因式可得：tan■=■，进而用万能公式可求：sin（α β）、cos（α β）、tan（α β）。
想法五：由sin2α cos2α=1消去α得：4sinβ 3cosβ=■，消去β可得4sinα 3cosα=■（消参思想）。
想法六：（1） （2）并逆用两角和的正弦公式：sin（α ■） sin（β ■）=■。
（1）-（2）并逆用两角差的正弦公式：sin（α-■） sin（β-■）=■。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养
由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。
1. 思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。
<例>方程sinx=lgx的解有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y=sinx，y=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
2. 思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。
<例>已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x=-1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。 解法一：截距为3，可选择一般式方程：y=ax2 bx c（a≠0），
显然有c=3，利用其他条件可列方程组求a，b值。
解法二：由对称轴为直线x=-1，可选择顶点式方程：y=a（x-m）2 k（a≠0），显然有m=-1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。
另外，由图象对称性可知x轴上交点为（1，0）和（-3，0）。
解法三：由截距为3，即过三点（0，3）、（1，0）和（-3，0），可选择一般式方程：y=ax2 bx c（a≠0），代入点坐标，列方程组求a，b，c值。
在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。
3. 思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。
<例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va∶Vb=（ ）
A. a∶b B. b∶a C. a2∶b2 D. b2∶a2
用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求：
Va=πab2sin2θ，Vb=πa2bsin2θ，则Va∶Vb=b∶a，由于要引入两边夹角θ来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形——矩形来处理，则相当简便。
此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。
三、灵活新颖的教法探求和切实可行的学法指导
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。
“导入出新”——良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”“叙述故事”“利用矛盾”“设置悬念”“引用名句”“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态。
“错解剖析”——提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况，寻找错误产生的原因，以求更好的加深对知识的掌握。
“例题变式”——从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解……以变来培养学生灵活的思维。
“编制试卷”——列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自己编制一份测验试卷，并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理，更好地掌握知识结构和思维方式。
以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。
近年来，随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我们要在教学实践中继续探索，理论联系实际，在新教改的道路上不断探索前进。
责任编辑徐国坚