论文部分内容阅读
摘要：本文将以试题中的一道函数题为例，基于试题的分析，探究命题思想对数学建模素养培养的指导意义，探索后续深化教学改革实践中的导向措施，特别是函数教学过程中坚持立足基础、注重能力，锐意创新，从而提升数学建模的核心素养，落实素质教育。
关键词：试题分析；建模素养；函数教学
一、试题分析
本文分析的试题是2018年广东省初中学业水平考试第23题。题目如下：
23.如图，已知顶点为c（0，﹣3）的抛物线 1与X轴交于A、B两点，直线过顶点C和点B.
（1）求m的值；
（2）求函数的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
该试题主要考察初中阶段二次函数与一次函数的基本性质，命题者巧妙地把二次函数、一次函数与解方程、解方程组、解直角三角形、三角形相似等知识联系在一起，环环紧扣，既考察了学生对基本概念、基本技能的掌握程度，又不落俗套，较好地考查了学生的阅读理解能力、构建模型能力和联想迁移、综合应用解决实际问题的能力，测试的效度高。试题考察的关键点是建立模型，讨论点的存在性。因此，试题设置符合《义务教育课程标准》要求，落实考试大纲扎实基础、重视建模素养培养、创新地解决实际问题的精神，为一线教学提供清晰的导向。
二、教学建议
数学建模，是数学核心素养中的关键能力，是其他各类数学核心素养的综合体现，也是培养应用实践能力强、富有创新性人才必备素养。该试题明确指向数学建模素养，其命题、学生答题情况，有效导向了后续函数的教学，强调教学中仍需立足基础、注重能力和锐意创新。下面，将以二次函数的教学为例，谈谈建模素养的培养中，如何寻求突破，稳定中寻求创新。
（一）基础建模，总结规律
引导学生从数学的角度提出有效度问题，必须符合其思维发展需要。以抛物线上点的坐标切入本专题复习，以读图为抓手，从简单到复杂，逐步靠近实际问题。如问题1，学生经历了“点—线—面”的知识构建过程，由浅入深，层层推进，每一个前置问题都能为下一个问题的思考做好铺垫，从而读懂图象所反映的信息，弄清概念与定义，实现知识和能力同步生长。
问题1：如图1，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，與y轴的交点C.
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求AB、AC、BC的长；
（3）求△ABC的周长和面积.
评析：通过求特殊点的坐标，把问题聚焦在图象上，既能实现知识向运用过渡，又能引导学生掌握函数的本质方法，把问题解决转化为构建模型。活动中，学生经历梳理知识要点、归纳解题方法、形成解题策略的思维过程，学会基本的建模方法，总结规律，为解决二次函数的应用问题提供了清晰的思路。
（二）综合建模，提升思维
（1）变式探究，剖析模型
运用二次函数的图象解决实际问题，要联系方程、不等式等其他数学模型，这些知识既综合又抽象。基于初中学生信息处理能力不足，思维欠发散的学情需要，在初步掌握解读模型方法后，不妨变换题目的题设与结论，学生在熟悉的模型上，通过转化变换的过程，自主剖析模型反映的信息，强化信息整合的思维品质。
问题2：如图2，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，求P点坐标.
评析：二次函数的应用，并非都惯性地由图形要素求出结果，例如知道底和高，求三角形的面积，而是围绕求解三角形面积的几何模型，结合抛物线的特点，把握二次函数的图象性质与应用图形的本质，开放思维，全面思考。问题2学生深刻感悟到：在二次函数的实际应用中，问题的解决不仅只有一种情况，应根据具体需要，从整体把握，剖析模型要素，分类讨论，综合考虑。
（2）质疑生成，构建模型
把命题情景中的文字信息，转化为数学思考，构建模型，解决问题是本专题的重点和难点。因此，在复习实施过程中，应适当设疑、有预设与生成，才能让学生产生认知冲突与认知需要，激发学生的思维与探究兴趣。通过创设情景，鼓励学生大胆质疑，学生的理性思维、批判思考、勇于探究的品格得到有效的提升，数学地提出问题、解决问题，数学建模素养得到有效的培养，为后续学习以及科学研究奠定了良好的基础。
问题3：如图3，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.（1）求顶点D的坐标；（2）在x轴上是否存在一点M，使得CM+DM最小？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
评析：问题3，结合“在x轴上”这个特定环境，求解“线段和最小值”问题，需综合考虑轴对称与“两点之间，线段最短”线段公理两个模型的性质，连接CD（如图4），构建模型，解决问题。学生遇到认知冲突时，教师不必急于点破，而是引导他们质疑讨论，主动提出问题，相互完善。动手操作，把文字信息表达到图形当中，通过图形直观转化为数学语言，进而构建模型，发现问题解决思路。
（三）感悟建模，触类旁通
问题4：如图5，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.若点Q是线段BC下方抛物线的动点，求△BCQ面积的最大值.
评析：命题中△BCQ是一个动态图形，但学生经历了综合建模的过程，能借助以上构建模型的方法，寻找运动过程的关键要素，理解图形各类元素（点、线、面等）的运动规律，动中求静，以静制动，把动态模型转化为静态模型。故从整体把握，作MN//y轴，把△BCQ分割成同底异高的两个三角形△MCQ和△BMQ，围绕求解三角形面积的几何要素，不难把三角形两条高的和转化为线段OB，达成目标的要素简化为讨论线段MQ的最值，顺利解决问题。
发展学生建模素养是一个循序渐进的过程，只要尊重学生的认知规律，立足基础，创造机会学生积极参与模型的构建，由浅入深地经历建模的过程，激发学生发现、思考、运用知识的意识和能力，其建模能力和锐意创新的精神便逐渐提升。
参考文献：
[1]教育部考试中心.素养导向新举措能力考查新突破—2018年高考数学试题评析[J].中国考试，2018（7）.
[2]“中国学生发展核心素养”课题组.中国学生发展核心素养[Z].中国学生发展核心素养研究成果发布会，2016.
[3]沈岳夫.知识与能力并重思考与经验齐驱—处置那个数学专题复习“组块式”教学模式初探[J].中学数学（初中版），2013（11）.
关键词：试题分析；建模素养；函数教学
一、试题分析
本文分析的试题是2018年广东省初中学业水平考试第23题。题目如下：
23.如图，已知顶点为c（0，﹣3）的抛物线 1与X轴交于A、B两点，直线过顶点C和点B.
（1）求m的值；
（2）求函数的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
该试题主要考察初中阶段二次函数与一次函数的基本性质，命题者巧妙地把二次函数、一次函数与解方程、解方程组、解直角三角形、三角形相似等知识联系在一起，环环紧扣，既考察了学生对基本概念、基本技能的掌握程度，又不落俗套，较好地考查了学生的阅读理解能力、构建模型能力和联想迁移、综合应用解决实际问题的能力，测试的效度高。试题考察的关键点是建立模型，讨论点的存在性。因此，试题设置符合《义务教育课程标准》要求，落实考试大纲扎实基础、重视建模素养培养、创新地解决实际问题的精神，为一线教学提供清晰的导向。
二、教学建议
数学建模，是数学核心素养中的关键能力，是其他各类数学核心素养的综合体现，也是培养应用实践能力强、富有创新性人才必备素养。该试题明确指向数学建模素养，其命题、学生答题情况，有效导向了后续函数的教学，强调教学中仍需立足基础、注重能力和锐意创新。下面，将以二次函数的教学为例，谈谈建模素养的培养中，如何寻求突破，稳定中寻求创新。
（一）基础建模，总结规律
引导学生从数学的角度提出有效度问题，必须符合其思维发展需要。以抛物线上点的坐标切入本专题复习，以读图为抓手，从简单到复杂，逐步靠近实际问题。如问题1，学生经历了“点—线—面”的知识构建过程，由浅入深，层层推进，每一个前置问题都能为下一个问题的思考做好铺垫，从而读懂图象所反映的信息，弄清概念与定义，实现知识和能力同步生长。
问题1：如图1，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，與y轴的交点C.
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求AB、AC、BC的长；
（3）求△ABC的周长和面积.
评析：通过求特殊点的坐标，把问题聚焦在图象上，既能实现知识向运用过渡，又能引导学生掌握函数的本质方法，把问题解决转化为构建模型。活动中，学生经历梳理知识要点、归纳解题方法、形成解题策略的思维过程，学会基本的建模方法，总结规律，为解决二次函数的应用问题提供了清晰的思路。
（二）综合建模，提升思维
（1）变式探究，剖析模型
运用二次函数的图象解决实际问题，要联系方程、不等式等其他数学模型，这些知识既综合又抽象。基于初中学生信息处理能力不足，思维欠发散的学情需要，在初步掌握解读模型方法后，不妨变换题目的题设与结论，学生在熟悉的模型上，通过转化变换的过程，自主剖析模型反映的信息，强化信息整合的思维品质。
问题2：如图2，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，求P点坐标.
评析：二次函数的应用，并非都惯性地由图形要素求出结果，例如知道底和高，求三角形的面积，而是围绕求解三角形面积的几何模型，结合抛物线的特点，把握二次函数的图象性质与应用图形的本质，开放思维，全面思考。问题2学生深刻感悟到：在二次函数的实际应用中，问题的解决不仅只有一种情况，应根据具体需要，从整体把握，剖析模型要素，分类讨论，综合考虑。
（2）质疑生成，构建模型
把命题情景中的文字信息，转化为数学思考，构建模型，解决问题是本专题的重点和难点。因此，在复习实施过程中，应适当设疑、有预设与生成，才能让学生产生认知冲突与认知需要，激发学生的思维与探究兴趣。通过创设情景，鼓励学生大胆质疑，学生的理性思维、批判思考、勇于探究的品格得到有效的提升，数学地提出问题、解决问题，数学建模素养得到有效的培养，为后续学习以及科学研究奠定了良好的基础。
问题3：如图3，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.（1）求顶点D的坐标；（2）在x轴上是否存在一点M，使得CM+DM最小？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
评析：问题3，结合“在x轴上”这个特定环境，求解“线段和最小值”问题，需综合考虑轴对称与“两点之间，线段最短”线段公理两个模型的性质，连接CD（如图4），构建模型，解决问题。学生遇到认知冲突时，教师不必急于点破，而是引导他们质疑讨论，主动提出问题，相互完善。动手操作，把文字信息表达到图形当中，通过图形直观转化为数学语言，进而构建模型，发现问题解决思路。
（三）感悟建模，触类旁通
问题4：如图5，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C.若点Q是线段BC下方抛物线的动点，求△BCQ面积的最大值.
评析：命题中△BCQ是一个动态图形，但学生经历了综合建模的过程，能借助以上构建模型的方法，寻找运动过程的关键要素，理解图形各类元素（点、线、面等）的运动规律，动中求静，以静制动，把动态模型转化为静态模型。故从整体把握，作MN//y轴，把△BCQ分割成同底异高的两个三角形△MCQ和△BMQ，围绕求解三角形面积的几何要素，不难把三角形两条高的和转化为线段OB，达成目标的要素简化为讨论线段MQ的最值，顺利解决问题。
发展学生建模素养是一个循序渐进的过程，只要尊重学生的认知规律，立足基础，创造机会学生积极参与模型的构建，由浅入深地经历建模的过程，激发学生发现、思考、运用知识的意识和能力，其建模能力和锐意创新的精神便逐渐提升。
参考文献：
[1]教育部考试中心.素养导向新举措能力考查新突破—2018年高考数学试题评析[J].中国考试，2018（7）.
[2]“中国学生发展核心素养”课题组.中国学生发展核心素养[Z].中国学生发展核心素养研究成果发布会，2016.
[3]沈岳夫.知识与能力并重思考与经验齐驱—处置那个数学专题复习“组块式”教学模式初探[J].中学数学（初中版），2013（11）.