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摘要:本文将以试题中的一道函数题为例,基于试题的分析,探究命题思想对数学建模素养培养的指导意义,探索后续深化教学改革实践中的导向措施,特别是函数教学过程中坚持立足基础、注重能力,锐意创新,从而提升数学建模的核心素养,落实素质教育。
关键词:试题分析;建模素养;函数教学
一、试题分析
本文分析的试题是2018年广东省初中学业水平考试第23题。题目如下:
23.如图,已知顶点为c(0,﹣3)的抛物线 1与X轴交于A、B两点,直线过顶点C和点B.
(1)求m的值;
(2)求函数的解析式;
(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
该试题主要考察初中阶段二次函数与一次函数的基本性质,命题者巧妙地把二次函数、一次函数与解方程、解方程组、解直角三角形、三角形相似等知识联系在一起,环环紧扣,既考察了学生对基本概念、基本技能的掌握程度,又不落俗套,较好地考查了学生的阅读理解能力、构建模型能力和联想迁移、综合应用解决实际问题的能力,测试的效度高。试题考察的关键点是建立模型,讨论点的存在性。因此,试题设置符合《义务教育课程标准》要求,落实考试大纲扎实基础、重视建模素养培养、创新地解决实际问题的精神,为一线教学提供清晰的导向。
二、教学建议
数学建模,是数学核心素养中的关键能力,是其他各类数学核心素养的综合体现,也是培养应用实践能力强、富有创新性人才必备素养。该试题明确指向数学建模素养,其命题、学生答题情况,有效导向了后续函数的教学,强调教学中仍需立足基础、注重能力和锐意创新。下面,将以二次函数的教学为例,谈谈建模素养的培养中,如何寻求突破,稳定中寻求创新。
(一)基础建模,总结规律
引导学生从数学的角度提出有效度问题,必须符合其思维发展需要。以抛物线上点的坐标切入本专题复习,以读图为抓手,从简单到复杂,逐步靠近实际问题。如问题1,学生经历了“点—线—面”的知识构建过程,由浅入深,层层推进,每一个前置问题都能为下一个问题的思考做好铺垫,从而读懂图象所反映的信息,弄清概念与定义,实现知识和能力同步生长。
问题1:如图1,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,與y轴的交点C.
(1)写出A、B、C三点的坐标;
(2)求AB、AC、BC的长;
(3)求△ABC的周长和面积.
评析:通过求特殊点的坐标,把问题聚焦在图象上,既能实现知识向运用过渡,又能引导学生掌握函数的本质方法,把问题解决转化为构建模型。活动中,学生经历梳理知识要点、归纳解题方法、形成解题策略的思维过程,学会基本的建模方法,总结规律,为解决二次函数的应用问题提供了清晰的思路。
(二)综合建模,提升思维
(1)变式探究,剖析模型
运用二次函数的图象解决实际问题,要联系方程、不等式等其他数学模型,这些知识既综合又抽象。基于初中学生信息处理能力不足,思维欠发散的学情需要,在初步掌握解读模型方法后,不妨变换题目的题设与结论,学生在熟悉的模型上,通过转化变换的过程,自主剖析模型反映的信息,强化信息整合的思维品质。
问题2:如图2,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为8,求P点坐标.
评析:二次函数的应用,并非都惯性地由图形要素求出结果,例如知道底和高,求三角形的面积,而是围绕求解三角形面积的几何模型,结合抛物线的特点,把握二次函数的图象性质与应用图形的本质,开放思维,全面思考。问题2学生深刻感悟到:在二次函数的实际应用中,问题的解决不仅只有一种情况,应根据具体需要,从整体把握,剖析模型要素,分类讨论,综合考虑。
(2)质疑生成,构建模型
把命题情景中的文字信息,转化为数学思考,构建模型,解决问题是本专题的重点和难点。因此,在复习实施过程中,应适当设疑、有预设与生成,才能让学生产生认知冲突与认知需要,激发学生的思维与探究兴趣。通过创设情景,鼓励学生大胆质疑,学生的理性思维、批判思考、勇于探究的品格得到有效的提升,数学地提出问题、解决问题,数学建模素养得到有效的培养,为后续学习以及科学研究奠定了良好的基础。
问题3:如图3,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.(1)求顶点D的坐标;(2)在x轴上是否存在一点M,使得CM+DM最小?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
评析:问题3,结合“在x轴上”这个特定环境,求解“线段和最小值”问题,需综合考虑轴对称与“两点之间,线段最短”线段公理两个模型的性质,连接CD(如图4),构建模型,解决问题。学生遇到认知冲突时,教师不必急于点破,而是引导他们质疑讨论,主动提出问题,相互完善。动手操作,把文字信息表达到图形当中,通过图形直观转化为数学语言,进而构建模型,发现问题解决思路。
(三)感悟建模,触类旁通
问题4:如图5,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.若点Q是线段BC下方抛物线的动点,求△BCQ面积的最大值.
评析:命题中△BCQ是一个动态图形,但学生经历了综合建模的过程,能借助以上构建模型的方法,寻找运动过程的关键要素,理解图形各类元素(点、线、面等)的运动规律,动中求静,以静制动,把动态模型转化为静态模型。故从整体把握,作MN//y轴,把△BCQ分割成同底异高的两个三角形△MCQ和△BMQ,围绕求解三角形面积的几何要素,不难把三角形两条高的和转化为线段OB,达成目标的要素简化为讨论线段MQ的最值,顺利解决问题。
发展学生建模素养是一个循序渐进的过程,只要尊重学生的认知规律,立足基础,创造机会学生积极参与模型的构建,由浅入深地经历建模的过程,激发学生发现、思考、运用知识的意识和能力,其建模能力和锐意创新的精神便逐渐提升。
参考文献:
[1]教育部考试中心.素养导向新举措能力考查新突破—2018年高考数学试题评析[J].中国考试,2018(7).
[2]“中国学生发展核心素养”课题组.中国学生发展核心素养[Z].中国学生发展核心素养研究成果发布会,2016.
[3]沈岳夫.知识与能力并重思考与经验齐驱—处置那个数学专题复习“组块式”教学模式初探[J].中学数学(初中版),2013(11).
关键词:试题分析;建模素养;函数教学
一、试题分析
本文分析的试题是2018年广东省初中学业水平考试第23题。题目如下:
23.如图,已知顶点为c(0,﹣3)的抛物线 1与X轴交于A、B两点,直线过顶点C和点B.
(1)求m的值;
(2)求函数的解析式;
(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
该试题主要考察初中阶段二次函数与一次函数的基本性质,命题者巧妙地把二次函数、一次函数与解方程、解方程组、解直角三角形、三角形相似等知识联系在一起,环环紧扣,既考察了学生对基本概念、基本技能的掌握程度,又不落俗套,较好地考查了学生的阅读理解能力、构建模型能力和联想迁移、综合应用解决实际问题的能力,测试的效度高。试题考察的关键点是建立模型,讨论点的存在性。因此,试题设置符合《义务教育课程标准》要求,落实考试大纲扎实基础、重视建模素养培养、创新地解决实际问题的精神,为一线教学提供清晰的导向。
二、教学建议
数学建模,是数学核心素养中的关键能力,是其他各类数学核心素养的综合体现,也是培养应用实践能力强、富有创新性人才必备素养。该试题明确指向数学建模素养,其命题、学生答题情况,有效导向了后续函数的教学,强调教学中仍需立足基础、注重能力和锐意创新。下面,将以二次函数的教学为例,谈谈建模素养的培养中,如何寻求突破,稳定中寻求创新。
(一)基础建模,总结规律
引导学生从数学的角度提出有效度问题,必须符合其思维发展需要。以抛物线上点的坐标切入本专题复习,以读图为抓手,从简单到复杂,逐步靠近实际问题。如问题1,学生经历了“点—线—面”的知识构建过程,由浅入深,层层推进,每一个前置问题都能为下一个问题的思考做好铺垫,从而读懂图象所反映的信息,弄清概念与定义,实现知识和能力同步生长。
问题1:如图1,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,與y轴的交点C.
(1)写出A、B、C三点的坐标;
(2)求AB、AC、BC的长;
(3)求△ABC的周长和面积.
评析:通过求特殊点的坐标,把问题聚焦在图象上,既能实现知识向运用过渡,又能引导学生掌握函数的本质方法,把问题解决转化为构建模型。活动中,学生经历梳理知识要点、归纳解题方法、形成解题策略的思维过程,学会基本的建模方法,总结规律,为解决二次函数的应用问题提供了清晰的思路。
(二)综合建模,提升思维
(1)变式探究,剖析模型
运用二次函数的图象解决实际问题,要联系方程、不等式等其他数学模型,这些知识既综合又抽象。基于初中学生信息处理能力不足,思维欠发散的学情需要,在初步掌握解读模型方法后,不妨变换题目的题设与结论,学生在熟悉的模型上,通过转化变换的过程,自主剖析模型反映的信息,强化信息整合的思维品质。
问题2:如图2,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为8,求P点坐标.
评析:二次函数的应用,并非都惯性地由图形要素求出结果,例如知道底和高,求三角形的面积,而是围绕求解三角形面积的几何模型,结合抛物线的特点,把握二次函数的图象性质与应用图形的本质,开放思维,全面思考。问题2学生深刻感悟到:在二次函数的实际应用中,问题的解决不仅只有一种情况,应根据具体需要,从整体把握,剖析模型要素,分类讨论,综合考虑。
(2)质疑生成,构建模型
把命题情景中的文字信息,转化为数学思考,构建模型,解决问题是本专题的重点和难点。因此,在复习实施过程中,应适当设疑、有预设与生成,才能让学生产生认知冲突与认知需要,激发学生的思维与探究兴趣。通过创设情景,鼓励学生大胆质疑,学生的理性思维、批判思考、勇于探究的品格得到有效的提升,数学地提出问题、解决问题,数学建模素养得到有效的培养,为后续学习以及科学研究奠定了良好的基础。
问题3:如图3,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.(1)求顶点D的坐标;(2)在x轴上是否存在一点M,使得CM+DM最小?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
评析:问题3,结合“在x轴上”这个特定环境,求解“线段和最小值”问题,需综合考虑轴对称与“两点之间,线段最短”线段公理两个模型的性质,连接CD(如图4),构建模型,解决问题。学生遇到认知冲突时,教师不必急于点破,而是引导他们质疑讨论,主动提出问题,相互完善。动手操作,把文字信息表达到图形当中,通过图形直观转化为数学语言,进而构建模型,发现问题解决思路。
(三)感悟建模,触类旁通
问题4:如图5,已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点A、B,与y轴的交点C.若点Q是线段BC下方抛物线的动点,求△BCQ面积的最大值.
评析:命题中△BCQ是一个动态图形,但学生经历了综合建模的过程,能借助以上构建模型的方法,寻找运动过程的关键要素,理解图形各类元素(点、线、面等)的运动规律,动中求静,以静制动,把动态模型转化为静态模型。故从整体把握,作MN//y轴,把△BCQ分割成同底异高的两个三角形△MCQ和△BMQ,围绕求解三角形面积的几何要素,不难把三角形两条高的和转化为线段OB,达成目标的要素简化为讨论线段MQ的最值,顺利解决问题。
发展学生建模素养是一个循序渐进的过程,只要尊重学生的认知规律,立足基础,创造机会学生积极参与模型的构建,由浅入深地经历建模的过程,激发学生发现、思考、运用知识的意识和能力,其建模能力和锐意创新的精神便逐渐提升。
参考文献:
[1]教育部考试中心.素养导向新举措能力考查新突破—2018年高考数学试题评析[J].中国考试,2018(7).
[2]“中国学生发展核心素养”课题组.中国学生发展核心素养[Z].中国学生发展核心素养研究成果发布会,2016.
[3]沈岳夫.知识与能力并重思考与经验齐驱—处置那个数学专题复习“组块式”教学模式初探[J].中学数学(初中版),2013(11).