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苏教版小学数学实验教科书六年级下册(2006年12月第1版)第五单元“正比例和反比例”练习十三(第66页)中有这样一道习题:
下面是在同一时间测得的不同物体的高度和它的影长。
同一时间,物体的高度和影长成正比例吗?为什么?
习题编者预想的答案是“同一时间物体的高度和影长成正比例”,因为物体高度和对应影长的比值()总是一定的,或者说物体影长和对应的物体高度的比值()总是一定的。
细细想来,这道题真的很值得商榷。
首先,比值的意义无法和学生解释。
学生根据表格中的数字完全能做出正确判断,但是如果学生问教师“这里除得的或表示的意义是什么”,我们教师该怎么跟学生解释呢?
我们知道,学过初中数学中的三角函数以后,学生才能知道上面得到的是太阳光线和地面形成的夹角(锐角)的正切值,是这个夹角的余切值。显然,这些是不可能和小学生说的。学生只能发现这里的比值不变,但不可能理解比值的意义。教师只能说表示物体高度是影长的倍,表示影长是物体高度的几分之几。若学生追问这里的或为什么一直不变时,教师就无言以对了。
我查阅了这个单元中正比例和反比例的例题与习题,除了上面这道题以外,其余题目中的比值或乘积都能说出具体的意义,其中大多是学生非常熟悉的常见数量,如速度、时间、路程,单价、数量、总价、工作效率、工作时间、工作总量及方形的长、宽和面积,等等。学生对这些常见数量之间的关系非常熟悉,所以理解正、反比例比较容易,而像上面这道习题学生很难理解。苏教版教材中只是要求判断物体高度和影长的比例关系,而人教版实验教科书中则进一步要求学生利用物体高度和影长的比例关系解答实际应用题。如人教版实验教科书六年级下册(2009年7月第3版)第62页第3题,这样的要求就更高了,学生只能机械地模仿,“知其然,而不知其所以然”。
其次,这个比例的表述不够严密。
第一,“同一时间”后面应该加上“同一地点”这个条件。人教版实验教科书六年级下册(2009年7月第3版)第45页第4题中是这样表述的:地理常识告诉我们,同一时间不同地点太阳光线和地面的夹角是不同的。
第二,这个表述没有考虑到特殊情况。
一次我为六年级学生出一份综合训练试卷,根据这道题给学生出了一道判断题:同一时间、同一地点物体的高度和影长成正比例。我本来认为这句话是对的,学生也应该很容易判断出来。但考试后,任课教师告诉我,绝大多数学生认为这句话正确,只有一个学生认为这句话是错误的(该生其余题目全都对,只有这道判断题打“×”,被扣了1分),理由是当阳光垂直照射时,物体影长为0,影长和物体高度的比值虽然都是0(物体高度和影长的比没有意义),但物体高度变化时影长始终不变,所以这时影长和物体高度不成比例,因此这句话是错误的。教师试图劝说他接受其他学生的观点,但他说判断题就是要考虑到所有情况。听到这里,我真的很惭愧,因为我自己没有考虑到这一点。同时,我为这位学生喝彩,因为他能考虑到这一个重要的特殊情况,说明他想得很全面、深入、独到。这样看来,正确的表述应该是:同一时间、同一地点物体的高度和影长成正比例(阳光垂直照射除外)。显然,这样的表述是小学生很难理解的。
正比例、反比例在生活中有很多例子,少了这样一个小学生一知半解的例子对正、反比例的教学不会有什么影响。因此,我建议教材编者删除这类题目。
(责编杜华)
下面是在同一时间测得的不同物体的高度和它的影长。
同一时间,物体的高度和影长成正比例吗?为什么?
习题编者预想的答案是“同一时间物体的高度和影长成正比例”,因为物体高度和对应影长的比值()总是一定的,或者说物体影长和对应的物体高度的比值()总是一定的。
细细想来,这道题真的很值得商榷。
首先,比值的意义无法和学生解释。
学生根据表格中的数字完全能做出正确判断,但是如果学生问教师“这里除得的或表示的意义是什么”,我们教师该怎么跟学生解释呢?
我们知道,学过初中数学中的三角函数以后,学生才能知道上面得到的是太阳光线和地面形成的夹角(锐角)的正切值,是这个夹角的余切值。显然,这些是不可能和小学生说的。学生只能发现这里的比值不变,但不可能理解比值的意义。教师只能说表示物体高度是影长的倍,表示影长是物体高度的几分之几。若学生追问这里的或为什么一直不变时,教师就无言以对了。
我查阅了这个单元中正比例和反比例的例题与习题,除了上面这道题以外,其余题目中的比值或乘积都能说出具体的意义,其中大多是学生非常熟悉的常见数量,如速度、时间、路程,单价、数量、总价、工作效率、工作时间、工作总量及方形的长、宽和面积,等等。学生对这些常见数量之间的关系非常熟悉,所以理解正、反比例比较容易,而像上面这道习题学生很难理解。苏教版教材中只是要求判断物体高度和影长的比例关系,而人教版实验教科书中则进一步要求学生利用物体高度和影长的比例关系解答实际应用题。如人教版实验教科书六年级下册(2009年7月第3版)第62页第3题,这样的要求就更高了,学生只能机械地模仿,“知其然,而不知其所以然”。
其次,这个比例的表述不够严密。
第一,“同一时间”后面应该加上“同一地点”这个条件。人教版实验教科书六年级下册(2009年7月第3版)第45页第4题中是这样表述的:地理常识告诉我们,同一时间不同地点太阳光线和地面的夹角是不同的。
第二,这个表述没有考虑到特殊情况。
一次我为六年级学生出一份综合训练试卷,根据这道题给学生出了一道判断题:同一时间、同一地点物体的高度和影长成正比例。我本来认为这句话是对的,学生也应该很容易判断出来。但考试后,任课教师告诉我,绝大多数学生认为这句话正确,只有一个学生认为这句话是错误的(该生其余题目全都对,只有这道判断题打“×”,被扣了1分),理由是当阳光垂直照射时,物体影长为0,影长和物体高度的比值虽然都是0(物体高度和影长的比没有意义),但物体高度变化时影长始终不变,所以这时影长和物体高度不成比例,因此这句话是错误的。教师试图劝说他接受其他学生的观点,但他说判断题就是要考虑到所有情况。听到这里,我真的很惭愧,因为我自己没有考虑到这一点。同时,我为这位学生喝彩,因为他能考虑到这一个重要的特殊情况,说明他想得很全面、深入、独到。这样看来,正确的表述应该是:同一时间、同一地点物体的高度和影长成正比例(阳光垂直照射除外)。显然,这样的表述是小学生很难理解的。
正比例、反比例在生活中有很多例子,少了这样一个小学生一知半解的例子对正、反比例的教学不会有什么影响。因此,我建议教材编者删除这类题目。
(责编杜华)