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【摘要】 数学建模是训练学生理论联系实际的一项智力活动，是一项创造性的思维活动。培养数学建模思想、加强建模活动是初中数学教学培养中学生素质方面重要内容。本文提出了改进初中数学建模教学的一些策略，以促进相关讨论，求教于诸方家。
【关键词】 初中数学 建模 数学应用 探究
随着考试改革的深入，近年来数学建模在中考试题中也越来越得到体现与重视。这些应用题以数学建模为中心，考查学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远低于其他题目，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，加强数学建模的教学，,提高学生数学建模能力已经成为初中数学教学的当务之急。
全日制义务教育《数学课程标准》指出："数学教学就是让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。"毫无疑问，新课程标准已将发展学生的数学应用意识作为数学教学的基本理念，认为开展数学应用的教学符合社会需要，有利于激发学生的学习动机，培养学习兴趣，增强应用意识而拓宽智慧空间。初中数学课应该提供教学内容的足够的实际背景，反映数学的实用价值，开展"数学建模"活动。
什么是数学建模？ 数学建模就是一个人在面对生活实际问题时通过建立数学模型，运用数学原理、数学方法来解决问题的过程。具体地说，我们在遇到一个实际问题，需要我们从定量的角度分析它时，就要做深入的调查去了解所要研究的事物，对内在规律进行必要的分析，在此基础上用规范的数学语言、严谨的数学原理来表述，之后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为"数学建模"。
那么在教学设计中如何渗透数学建模思想,如何开展数学建模的教学呢?本文结合教学实践,就如何加强初中数学建模教学谈几点体会。
一、概念教学：引学生分析模型，培养建模意识
数学模型建立的过程是在数学基本规律与现实问题之间搭一座桥梁，通过新旧知识的转化，归结为较易解决的问题，体会数学的魅力与价值所在，从而增强数学建模的能力和信心。
1．从生活中来。在数学教学中引入探索性材料的实际背景要贴近现实生活，使学生明确学数学是为了解决实际问题。如七年级学习代数式时，学生会感受这块内容抽象难以理解，他们正经历一个从数到式的思维跳跃过程。很多教师是借用"数青蛙"的经典导入而产生代数式的理念，就不失为接近七年级学生心理水平的一次思维过渡。笔者在教学代数式这快内容时，还让学生尝试列出大量生活问题的代数式，让学生感受数学的生活价值与社会功能。比如：老师的年龄是小东的２倍少１岁，如果小东的年龄表示为a，则老师的年龄是多少？学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间……这样学生就觉得代数式是生活的一部分，他并不深奥，促成了抽象思维的培养。
2．到生活中去。数学问题很多都是可以找到生活原型来理解的，比如 可以表示"学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间"，笔者让学生举例说说这个代数式的其它理解方法，通过合作探究，于是学生就有了以下答案：
生1：表示货运公司运来400箱苹果，每箱t千克，如果有m辆货车平均分装，每辆车再外加50千克的大米，那么货车的载重是多少千克？
生2：表示大汽车每分钟跑t米，如果400分种跑的路程用掉汽油m升，而小汽车每升油可以多跑50米，那么小汽车每分钟可以跑多少米？
生3：……
以上训练很好地培育学生数学建模的意识，渗透了初步数学建模的意识，又培养了学生抽象、概括、举一反三的学习能力。
二、规律认识：让学生"做"数学，奠定建模基础
数学知识的形成是有一个过程的，这个过程如何操纵，对知识形成的牢固度有极大的影响。比如说一个定理，教师让学生直接生吞活剥地把他记下来也是一种方式，但学生的应用就会没头没脑，因为他没有真正的理解。我们提倡学生通过在教师引领下的自主探究与合作分享最终理解数学原理，为建模教学打下基础。如勾股定理的形成，过去教材中往往设置几个特殊值的三角形让学生量一量、算一算，笔者觉得这样的做法学生还不至于信服。由于电脑进入发课堂，笔者就结合让学生运用几何画板用，设置了如下问题，引导学生在探究中生成与理解知识。
（1）用作图工具画一个直角三角形。
（2）有度量功能测出三角形每一条边的长度。
（3）用几何画板的计算功能算出每一条边的平方。
（4）寻找三者平方的关系。
（5）拖动三角形的一个或两个顶点，其中三边的几何关系不变，只是形状改变了，这时观察三者平方还有这样的关系吗？
这个环节，如果让学生是通过手工画图来发现三边关系的，由于受工具限制，学生的数据很难说明问题，而且计算量也比较大，而教材提供的一些三角形都是边长为整数的。通过让学生通过自主操作电脑、反复思考、互相讨论，学生终于发现了直角三角形的三边关系，而且通过拖动三角形发现这一关系永远不变，为后边的证明打下了一个良好的基础。这样学生觉得所学知识是他们自己发现的，而不是教师强加的、外在的东西，就为今后在实际问题中运用打下了良好的理解与记忆的基础。
三、解题运用：引学生感受实例，体验建模过程
如果教师将数学模型变成僵化的材料，将与新课程理念背道而驰。鲜活的生活事例与数学知识之间存在着千丝万缕的联系。比如函数揭示了生活中种种数量关系及变化规律。运用函数解决实际问题体现了在数学建模思维过程要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形而简化，最终舍去非数学本质的内容而留下属于数学的本质性东西，解题过程中重要的步骤是据题意列出函数解析式。我们要让学生理解数学建模过程就是据实际问题的特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等大脑加工形式，通过联想想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。
例2（二次函数模型）：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元的价格销售，每月能卖400件。为获得更大的利润，商店准备提高销售价格。经实验发现，在每件销售价格的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件。问价格提高多少时，才能获得最大利润？每月最大利润是多少？
解：设每件商品提价x元（0≤x≤20），则每件商品的价格为（30 x）元，每件商品的利润为（30 x-20）元，此时每月少售出商品20x件，故每月可售出商品（400-2x）件，设每月的利润为y元，则y=（400-2x）（30 x-20）
=-20x2 200x 4000
=-20(x-5)2 4500
∴当x=5时，y有最大值为4500。
故每件价格提高5元时，才能获得最大利润，最大利润是4500元。
分析：这是一个典型的现实买卖问题，问题的关键是找到价格与利润之间的变化关系，从而列出两者的函数关系式，从而建立一个二次函数的模型。最后将问题转化为求函数最值问题的模型来解决最大利润问题。
一般来说，在实际教学中做好常见应用题数学建模的教学，要经历以下四步曲:
1．认真审题，获取所有信息
建立数学模型,首先要认真审题。应用题的题目一般较长，各种信息要全盘吸收，通过耐心细致地读题，全面了解实际问题的背景，明确建模的目的。
2.必要简化，抓住主要信息
根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化。抓住主要矛盾，舍弃无关因素，根据题目所示数量关系，联系数学规律、定理、性质，用精确的语言作出假设。
3.尝试建模，变具体为抽象
将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入未知数或通过建立坐标系，要将文字语言转换成数学语言,将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来,从而建立数学模型。
4．模型求解，得出数据答案
如果不能用数学方法正确求解，也就不能让数学为实际问题服务，前面的工作也就功亏一篑。
5．返回解释，找到最终结论
完成模型求解之后，我们不必须验证所得数据在现实中的合理性，找到真正实际问题的答案。这一步是体现数学应用价值，培养学生数学应用意识的重要环节。
四、广度延伸：带学生巩固模型，适当横向拓展
在初中阶段通常通过列方程或不等式、函数，建立几何基本图等模型来解决生活问题，教师要带领学生全面熟悉这些模型的求解方法，引学生逐步领悟数学建模的思想与方法。 比如几何与人类生活和实际需要密切相关,诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常把实际问题转化为几何问题,通过建立几何模型来加以解决。
人的认识过程是从感性到理性，由浅入深，螺旋上升的过程。"数学建模"是基于数学规律，更是数学的突破、提升与超越。学生经历了建模过程，并提炼建构了相应的数学模型，但这并不是认知的终结，我们还有必要组织学生将数学模型还原，用具体的数学直观或可感的数学现实不断扩充和提升已经构建的数学模型。
比如在中考复习课中，讲用"轴对称解决距离和的最小值问题"时，我设计了如下"问题串"，从一个动点模型到两个动点模型再到轴对称变换与平移变换结合的模型，最后变式成用对称解决距离差的最大值问题，既有层层深入，又有横向迁移极大地调动了学生的求知欲。
（１）在直线 l 的同侧有两点 A、B, 试在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 的值最小。
（２）在☉O 中，AB 为直径，且 AB=６， C是☉ O 上一点，且 OC ⊥ AB，D 是弧 BC 上靠近点 B 的三等分点 ,P 是 AB 上的动点，试求 PC PD 的最小值
（３）在平面直角坐标系中有两点 A(1,5)、B（6,1），M、N分别是 x 轴、y 轴上两点，试求当四边形 MBAN 周长的最小值并求此时点 M、N 的坐标。
以上训练，学生明白了变式只是变换了包装，是对问题原型表象的概括，变化的是问题情境，万变不离其宗的是数量之间的结构关系。巩固模型的过程中，尽管我们不可能一一列举所有同类问题，但我们需要引领学生扩展范围，以此来分析和巩固当情境、数据变化时模型的稳定性，使得模型的内涵被学生所接受而外延不断得以拓展。
六、生活锤炼：教学生做有心人，适时活学活用
数学不是装饰品，更不是用来吓唬人的。数学以它简洁优美的语言，严谨到位的逻辑推理，日益广泛的应用性在现代社会中体现出"科学王后"的实地位。"数学技术"不是空洞的理论，而是和计算机技术、网络科学、宇宙飞船、现代化的信息战争等等紧密相联。我们要让学生能在活学的基础上尝试活用，建立数学与实际问题的关联。
作为学校要结合本校本地实际，成立数学建模的兴趣小组，定期开展活动。建模可以由教师根据学生实际提出一些菜单式的课题，供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；也可以鼓励学生从自己生活中发现问题、提出问题。数学建模可以采取研究性学习的形式。在研究中，教师是学生的合作伙伴与任务参谋，引导学生根据研究完美出一个建模的研究报告，报告中就包括建模的问题背景、问题方案的计划、问题解决的详细过程、合作互动的情况、研究结果的评价、以及参考书目等。对学生建模活动的表现的评价应重在过程和参与，不必苛求结果的百分百准确。数学建模活动对教师对学生都有一个逐步适应的过程。教师在数学建模教学实践中，别应考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式要活，便于学生参与
总之，要真正提高中学生的数学素质与全面能力，仅凭知识传授是远远不够的，我们必须调动学生的主观能动性，引导他们养成学以致用的意识，加强数学建模的训练，加深他们数学建模的意识。通过建模训练，学生才会觉得数学学习的奥妙无穷与大有作为，初中数学教学才能真正走出应试误区而与新课改的理念相吻合。
参考文献
［1］ 教育部：全日制义务教育数学课程标准
［2］ 冯永明：中学数学建模的教学构想与实践，数学通讯，20009（7）
［3］杨俊林.追求有效的数学教学，中学数学研究，2010.
【关键词】 初中数学 建模 数学应用 探究
随着考试改革的深入，近年来数学建模在中考试题中也越来越得到体现与重视。这些应用题以数学建模为中心，考查学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远低于其他题目，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，加强数学建模的教学，,提高学生数学建模能力已经成为初中数学教学的当务之急。
全日制义务教育《数学课程标准》指出："数学教学就是让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。"毫无疑问，新课程标准已将发展学生的数学应用意识作为数学教学的基本理念，认为开展数学应用的教学符合社会需要，有利于激发学生的学习动机，培养学习兴趣，增强应用意识而拓宽智慧空间。初中数学课应该提供教学内容的足够的实际背景，反映数学的实用价值，开展"数学建模"活动。
什么是数学建模？ 数学建模就是一个人在面对生活实际问题时通过建立数学模型，运用数学原理、数学方法来解决问题的过程。具体地说，我们在遇到一个实际问题，需要我们从定量的角度分析它时，就要做深入的调查去了解所要研究的事物，对内在规律进行必要的分析，在此基础上用规范的数学语言、严谨的数学原理来表述，之后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为"数学建模"。
那么在教学设计中如何渗透数学建模思想,如何开展数学建模的教学呢?本文结合教学实践,就如何加强初中数学建模教学谈几点体会。
一、概念教学：引学生分析模型，培养建模意识
数学模型建立的过程是在数学基本规律与现实问题之间搭一座桥梁，通过新旧知识的转化，归结为较易解决的问题，体会数学的魅力与价值所在，从而增强数学建模的能力和信心。
1．从生活中来。在数学教学中引入探索性材料的实际背景要贴近现实生活，使学生明确学数学是为了解决实际问题。如七年级学习代数式时，学生会感受这块内容抽象难以理解，他们正经历一个从数到式的思维跳跃过程。很多教师是借用"数青蛙"的经典导入而产生代数式的理念，就不失为接近七年级学生心理水平的一次思维过渡。笔者在教学代数式这快内容时，还让学生尝试列出大量生活问题的代数式，让学生感受数学的生活价值与社会功能。比如：老师的年龄是小东的２倍少１岁，如果小东的年龄表示为a，则老师的年龄是多少？学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间……这样学生就觉得代数式是生活的一部分，他并不深奥，促成了抽象思维的培养。
2．到生活中去。数学问题很多都是可以找到生活原型来理解的，比如 可以表示"学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间"，笔者让学生举例说说这个代数式的其它理解方法，通过合作探究，于是学生就有了以下答案：
生1：表示货运公司运来400箱苹果，每箱t千克，如果有m辆货车平均分装，每辆车再外加50千克的大米，那么货车的载重是多少千克？
生2：表示大汽车每分钟跑t米，如果400分种跑的路程用掉汽油m升，而小汽车每升油可以多跑50米，那么小汽车每分钟可以跑多少米？
生3：……
以上训练很好地培育学生数学建模的意识，渗透了初步数学建模的意识，又培养了学生抽象、概括、举一反三的学习能力。
二、规律认识：让学生"做"数学，奠定建模基础
数学知识的形成是有一个过程的，这个过程如何操纵，对知识形成的牢固度有极大的影响。比如说一个定理，教师让学生直接生吞活剥地把他记下来也是一种方式，但学生的应用就会没头没脑，因为他没有真正的理解。我们提倡学生通过在教师引领下的自主探究与合作分享最终理解数学原理，为建模教学打下基础。如勾股定理的形成，过去教材中往往设置几个特殊值的三角形让学生量一量、算一算，笔者觉得这样的做法学生还不至于信服。由于电脑进入发课堂，笔者就结合让学生运用几何画板用，设置了如下问题，引导学生在探究中生成与理解知识。
（1）用作图工具画一个直角三角形。
（2）有度量功能测出三角形每一条边的长度。
（3）用几何画板的计算功能算出每一条边的平方。
（4）寻找三者平方的关系。
（5）拖动三角形的一个或两个顶点，其中三边的几何关系不变，只是形状改变了，这时观察三者平方还有这样的关系吗？
这个环节，如果让学生是通过手工画图来发现三边关系的，由于受工具限制，学生的数据很难说明问题，而且计算量也比较大，而教材提供的一些三角形都是边长为整数的。通过让学生通过自主操作电脑、反复思考、互相讨论，学生终于发现了直角三角形的三边关系，而且通过拖动三角形发现这一关系永远不变，为后边的证明打下了一个良好的基础。这样学生觉得所学知识是他们自己发现的，而不是教师强加的、外在的东西，就为今后在实际问题中运用打下了良好的理解与记忆的基础。
三、解题运用：引学生感受实例，体验建模过程
如果教师将数学模型变成僵化的材料，将与新课程理念背道而驰。鲜活的生活事例与数学知识之间存在着千丝万缕的联系。比如函数揭示了生活中种种数量关系及变化规律。运用函数解决实际问题体现了在数学建模思维过程要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形而简化，最终舍去非数学本质的内容而留下属于数学的本质性东西，解题过程中重要的步骤是据题意列出函数解析式。我们要让学生理解数学建模过程就是据实际问题的特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等大脑加工形式，通过联想想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。
例2（二次函数模型）：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元的价格销售，每月能卖400件。为获得更大的利润，商店准备提高销售价格。经实验发现，在每件销售价格的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件。问价格提高多少时，才能获得最大利润？每月最大利润是多少？
解：设每件商品提价x元（0≤x≤20），则每件商品的价格为（30 x）元，每件商品的利润为（30 x-20）元，此时每月少售出商品20x件，故每月可售出商品（400-2x）件，设每月的利润为y元，则y=（400-2x）（30 x-20）
=-20x2 200x 4000
=-20(x-5)2 4500
∴当x=5时，y有最大值为4500。
故每件价格提高5元时，才能获得最大利润，最大利润是4500元。
分析：这是一个典型的现实买卖问题，问题的关键是找到价格与利润之间的变化关系，从而列出两者的函数关系式，从而建立一个二次函数的模型。最后将问题转化为求函数最值问题的模型来解决最大利润问题。
一般来说，在实际教学中做好常见应用题数学建模的教学，要经历以下四步曲:
1．认真审题，获取所有信息
建立数学模型,首先要认真审题。应用题的题目一般较长，各种信息要全盘吸收，通过耐心细致地读题，全面了解实际问题的背景，明确建模的目的。
2.必要简化，抓住主要信息
根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化。抓住主要矛盾，舍弃无关因素，根据题目所示数量关系，联系数学规律、定理、性质，用精确的语言作出假设。
3.尝试建模，变具体为抽象
将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入未知数或通过建立坐标系，要将文字语言转换成数学语言,将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来,从而建立数学模型。
4．模型求解，得出数据答案
如果不能用数学方法正确求解，也就不能让数学为实际问题服务，前面的工作也就功亏一篑。
5．返回解释，找到最终结论
完成模型求解之后，我们不必须验证所得数据在现实中的合理性，找到真正实际问题的答案。这一步是体现数学应用价值，培养学生数学应用意识的重要环节。
四、广度延伸：带学生巩固模型，适当横向拓展
在初中阶段通常通过列方程或不等式、函数，建立几何基本图等模型来解决生活问题，教师要带领学生全面熟悉这些模型的求解方法，引学生逐步领悟数学建模的思想与方法。 比如几何与人类生活和实际需要密切相关,诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常把实际问题转化为几何问题,通过建立几何模型来加以解决。
人的认识过程是从感性到理性，由浅入深，螺旋上升的过程。"数学建模"是基于数学规律，更是数学的突破、提升与超越。学生经历了建模过程，并提炼建构了相应的数学模型，但这并不是认知的终结，我们还有必要组织学生将数学模型还原，用具体的数学直观或可感的数学现实不断扩充和提升已经构建的数学模型。
比如在中考复习课中，讲用"轴对称解决距离和的最小值问题"时，我设计了如下"问题串"，从一个动点模型到两个动点模型再到轴对称变换与平移变换结合的模型，最后变式成用对称解决距离差的最大值问题，既有层层深入，又有横向迁移极大地调动了学生的求知欲。
（１）在直线 l 的同侧有两点 A、B, 试在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 的值最小。
（２）在☉O 中，AB 为直径，且 AB=６， C是☉ O 上一点，且 OC ⊥ AB，D 是弧 BC 上靠近点 B 的三等分点 ,P 是 AB 上的动点，试求 PC PD 的最小值
（３）在平面直角坐标系中有两点 A(1,5)、B（6,1），M、N分别是 x 轴、y 轴上两点，试求当四边形 MBAN 周长的最小值并求此时点 M、N 的坐标。
以上训练，学生明白了变式只是变换了包装，是对问题原型表象的概括，变化的是问题情境，万变不离其宗的是数量之间的结构关系。巩固模型的过程中，尽管我们不可能一一列举所有同类问题，但我们需要引领学生扩展范围，以此来分析和巩固当情境、数据变化时模型的稳定性，使得模型的内涵被学生所接受而外延不断得以拓展。
六、生活锤炼：教学生做有心人，适时活学活用
数学不是装饰品，更不是用来吓唬人的。数学以它简洁优美的语言，严谨到位的逻辑推理，日益广泛的应用性在现代社会中体现出"科学王后"的实地位。"数学技术"不是空洞的理论，而是和计算机技术、网络科学、宇宙飞船、现代化的信息战争等等紧密相联。我们要让学生能在活学的基础上尝试活用，建立数学与实际问题的关联。
作为学校要结合本校本地实际，成立数学建模的兴趣小组，定期开展活动。建模可以由教师根据学生实际提出一些菜单式的课题，供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；也可以鼓励学生从自己生活中发现问题、提出问题。数学建模可以采取研究性学习的形式。在研究中，教师是学生的合作伙伴与任务参谋，引导学生根据研究完美出一个建模的研究报告，报告中就包括建模的问题背景、问题方案的计划、问题解决的详细过程、合作互动的情况、研究结果的评价、以及参考书目等。对学生建模活动的表现的评价应重在过程和参与，不必苛求结果的百分百准确。数学建模活动对教师对学生都有一个逐步适应的过程。教师在数学建模教学实践中，别应考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式要活，便于学生参与
总之，要真正提高中学生的数学素质与全面能力，仅凭知识传授是远远不够的，我们必须调动学生的主观能动性，引导他们养成学以致用的意识，加强数学建模的训练，加深他们数学建模的意识。通过建模训练，学生才会觉得数学学习的奥妙无穷与大有作为，初中数学教学才能真正走出应试误区而与新课改的理念相吻合。
参考文献
［1］ 教育部：全日制义务教育数学课程标准
［2］ 冯永明：中学数学建模的教学构想与实践，数学通讯，20009（7）
［3］杨俊林.追求有效的数学教学，中学数学研究，2010.