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【摘 要】:非欧几何的诞生标志着人类从两千多年的直接经验的束缚下解放出来,人类的理性战胜了直接经验,人类更自由了,从而得到种种“悟性的自由创造物”.
【关键词】:第五公设 非欧几何 人类悟性
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)-08-0090-01
歐几里德之后的许多知名数学家都研究过第五公设,都怀疑它的独立性,企图证明它.虽未如愿,但却发现第五公设的许多等价命题,其中最简单的就是现在通用的平行公设:“过已知直线外一点至多有一条直线与已知直线不相交”.所以,后来就把第五公设叫做平行公社.
在对第五公设的证明屡遭失败后,有些数学家另辟蹊径尝试否定第五公设,建立一种新几何学,恐怕高斯(1777-1855)是最早进行这种工作的人.他将欧几里德第五公设加以否定,变为:“过已知直线外一点至少有两条直线不与已知直线相交”.在这种假设下,再加上欧几里德的前四个公设,就得到一种新的几何(双曲几何).高斯把这种几何先称为反欧几里德几何,后又称为星空几何,最后才用“非欧几何”这个词.但是高斯并没有发表自己的结果,主要原因是他在学术上对自己极为苛求,不愿意发表自己认为不够完善的东西.
第一个系统发表这种非欧几何理论的是俄罗斯人罗巴契夫斯基(1792-1856).1826年他发表了著名论文《几何原理的简明叙述及平行定理的严格证明》,对于他的这种非欧几何理论,当时许多一流的数学家却完全不能理解,而一致加以否定.然而,随着时间的推移和科学思想的进步,罗巴契夫斯基的这种理论终将得到普遍承认和极高的评价.非欧几何的出现是一个里程碑,后来每当人们在数学中提出什么新的创作性的、有悖传统理论或观念时,总爱用非欧几何作比较.这时,人们已能够依靠理性的思维来突破自己直接经验的束缚,提出完全创新的概念和理论.恩格斯在《反杜林论》一书中,对数学知识特别是虚数的来源这样说:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料,这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实.但是,为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容作为无关重要的东西放在一边;……只是在最后才得到悟性的自由创作物和想象物,即虚数”.恩格斯的这段话用辩证唯物主义观点深刻地揭示了数学知识的来源,睿智精辟地阐述数学是人类悟性的自由创造物的概念。
对于虚数,人们一直是非常艰难缓慢地接受它的.最早使用虚数的是意大利人卡当(1507-1576),他在一本书上讲到三次方程的根时偶然用到它,但他并不承认它是一种数,而仅仅是一个记号.后来,尽管越来越多的人被迫应用它,但总认为它是虚无缥缈无法理解的.直到19世纪有了高斯的几何解释,人们才比较清楚地理解了它,而真正对虚数(复数)作出重大贡献的是英国数学家、物理学家哈密顿(1805-1865),他认为不必追究复数的直观形象,只把它作为一种代数结构来研究,复数就是一个有序的实数对(a,b).于是,复数的运算法则就成了实数对运算的法则.例如:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
循着这个思路,哈密顿又创造了四元数:a+bi+cj+dk,这里,若b=c=d=0,就得到实数;若c=d=0,就得到通常的复数.并规定
i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ij=-ji,……,哈密顿发现必须牺牲通常运算中的乘法交换律.例如ij=k,但ji=-k,这是数学中的一个了不起的时刻.四元数的有革命性的重要意义是,它打破了乘法必须适合交换律这个“定见”.也想罗巴契夫斯基一样,哈密顿同样是“从一无所有之中创造了一个新宇宙”.
矩阵的出现没有那么多的浪漫色彩,也不知道是谁最先使用它,人们接受它到比较容易,但值得指出的是,它不但不适合乘法交换律,而且还有“零因子”,即两个矩阵A,B都不是零矩阵,但也可能有A·B=0。
高维线性空间理论是德国的伟大数学家格拉斯曼(1809-1877)创造的,这是一种n维超复数的代数.格拉斯曼更加自由地发挥自己的创造才能,并相信这种悟性的创造迟早会带来丰硕成果.实际上,重要的是在于这种理论给出了一种代数结构。
现在几乎每一位数学家都能提出某种“悟性的创造物”作为自己的研究对象,设计一套公理系统,推出种种结论.集合论的创始人康托尔(1845-1918)说:“数学的本质就在于它的自由”。这种自由所诠释的就是数学的一种根本的进步,是数学由人类直接经验向“悟性的自由创造物”的转化.
伴随着这种转变的是一次伟大的思想解放,即人类从直接经验束缚下的解放,到这时,人们已深刻地认识到,非欧几何、四元数、n维空间等正是更深刻地揭示了宇宙,但当时都是以“悟性的自由创造物”的形式出现的,因而难以得到人们的理解和认可。应该说,从自己千百年形成的习惯和直接经验的束缚下解放出来,其困难决不亚于从宗教统治下的解放。可以这样说,正是在19世纪数学用“悟性的自由创造物”解放了人类自己,使人类的理性走到了直接经验的前面,这才真正表现了理性的力量.
综上所述,两千年前,自从欧几里德《几何原本》诞生以来,人们就开始了对第五公设的探讨和研究,企图用其它公设来证明它.虽然失败了,但是,这种探讨过程的本身却极大地促进了数学科学的发展;特别是非欧几何的诞生标志着人类从两千多年的直接经验的束缚下解放出来,从而得到种种“悟性的自由创造物”。
参考文献:
[1] 齐民友,数学与文化(M),长沙:湖南教育出版社,1991
[2] 《21 世纪中国数学教育展望》课题组,21世纪中国数学教育展望(M),北京:北京师范 大学出版社,1993
[3] 邓东皋等,数学和文化(M),北京:北京大学出版社,1990
【关键词】:第五公设 非欧几何 人类悟性
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)-08-0090-01
歐几里德之后的许多知名数学家都研究过第五公设,都怀疑它的独立性,企图证明它.虽未如愿,但却发现第五公设的许多等价命题,其中最简单的就是现在通用的平行公设:“过已知直线外一点至多有一条直线与已知直线不相交”.所以,后来就把第五公设叫做平行公社.
在对第五公设的证明屡遭失败后,有些数学家另辟蹊径尝试否定第五公设,建立一种新几何学,恐怕高斯(1777-1855)是最早进行这种工作的人.他将欧几里德第五公设加以否定,变为:“过已知直线外一点至少有两条直线不与已知直线相交”.在这种假设下,再加上欧几里德的前四个公设,就得到一种新的几何(双曲几何).高斯把这种几何先称为反欧几里德几何,后又称为星空几何,最后才用“非欧几何”这个词.但是高斯并没有发表自己的结果,主要原因是他在学术上对自己极为苛求,不愿意发表自己认为不够完善的东西.
第一个系统发表这种非欧几何理论的是俄罗斯人罗巴契夫斯基(1792-1856).1826年他发表了著名论文《几何原理的简明叙述及平行定理的严格证明》,对于他的这种非欧几何理论,当时许多一流的数学家却完全不能理解,而一致加以否定.然而,随着时间的推移和科学思想的进步,罗巴契夫斯基的这种理论终将得到普遍承认和极高的评价.非欧几何的出现是一个里程碑,后来每当人们在数学中提出什么新的创作性的、有悖传统理论或观念时,总爱用非欧几何作比较.这时,人们已能够依靠理性的思维来突破自己直接经验的束缚,提出完全创新的概念和理论.恩格斯在《反杜林论》一书中,对数学知识特别是虚数的来源这样说:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料,这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实.但是,为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容作为无关重要的东西放在一边;……只是在最后才得到悟性的自由创作物和想象物,即虚数”.恩格斯的这段话用辩证唯物主义观点深刻地揭示了数学知识的来源,睿智精辟地阐述数学是人类悟性的自由创造物的概念。
对于虚数,人们一直是非常艰难缓慢地接受它的.最早使用虚数的是意大利人卡当(1507-1576),他在一本书上讲到三次方程的根时偶然用到它,但他并不承认它是一种数,而仅仅是一个记号.后来,尽管越来越多的人被迫应用它,但总认为它是虚无缥缈无法理解的.直到19世纪有了高斯的几何解释,人们才比较清楚地理解了它,而真正对虚数(复数)作出重大贡献的是英国数学家、物理学家哈密顿(1805-1865),他认为不必追究复数的直观形象,只把它作为一种代数结构来研究,复数就是一个有序的实数对(a,b).于是,复数的运算法则就成了实数对运算的法则.例如:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
循着这个思路,哈密顿又创造了四元数:a+bi+cj+dk,这里,若b=c=d=0,就得到实数;若c=d=0,就得到通常的复数.并规定
i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,ij=-ji,……,哈密顿发现必须牺牲通常运算中的乘法交换律.例如ij=k,但ji=-k,这是数学中的一个了不起的时刻.四元数的有革命性的重要意义是,它打破了乘法必须适合交换律这个“定见”.也想罗巴契夫斯基一样,哈密顿同样是“从一无所有之中创造了一个新宇宙”.
矩阵的出现没有那么多的浪漫色彩,也不知道是谁最先使用它,人们接受它到比较容易,但值得指出的是,它不但不适合乘法交换律,而且还有“零因子”,即两个矩阵A,B都不是零矩阵,但也可能有A·B=0。
高维线性空间理论是德国的伟大数学家格拉斯曼(1809-1877)创造的,这是一种n维超复数的代数.格拉斯曼更加自由地发挥自己的创造才能,并相信这种悟性的创造迟早会带来丰硕成果.实际上,重要的是在于这种理论给出了一种代数结构。
现在几乎每一位数学家都能提出某种“悟性的创造物”作为自己的研究对象,设计一套公理系统,推出种种结论.集合论的创始人康托尔(1845-1918)说:“数学的本质就在于它的自由”。这种自由所诠释的就是数学的一种根本的进步,是数学由人类直接经验向“悟性的自由创造物”的转化.
伴随着这种转变的是一次伟大的思想解放,即人类从直接经验束缚下的解放,到这时,人们已深刻地认识到,非欧几何、四元数、n维空间等正是更深刻地揭示了宇宙,但当时都是以“悟性的自由创造物”的形式出现的,因而难以得到人们的理解和认可。应该说,从自己千百年形成的习惯和直接经验的束缚下解放出来,其困难决不亚于从宗教统治下的解放。可以这样说,正是在19世纪数学用“悟性的自由创造物”解放了人类自己,使人类的理性走到了直接经验的前面,这才真正表现了理性的力量.
综上所述,两千年前,自从欧几里德《几何原本》诞生以来,人们就开始了对第五公设的探讨和研究,企图用其它公设来证明它.虽然失败了,但是,这种探讨过程的本身却极大地促进了数学科学的发展;特别是非欧几何的诞生标志着人类从两千多年的直接经验的束缚下解放出来,从而得到种种“悟性的自由创造物”。
参考文献:
[1] 齐民友,数学与文化(M),长沙:湖南教育出版社,1991
[2] 《21 世纪中国数学教育展望》课题组,21世纪中国数学教育展望(M),北京:北京师范 大学出版社,1993
[3] 邓东皋等,数学和文化(M),北京:北京大学出版社,1990