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在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果。
Q1:对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面?
对称性在积分中的应用非常广泛,不仅在定积分,二重积分,还在线、面积分上也有应用。
Q2:什么样的定积分,可以应用对称性求解?有些什么样的结论?如何应用?
定积分是积分学的基本内容, 定积分的计算方法很重要且多种多样, 有的方法不对,计算更繁琐,若能恰当应用对称性,即可简化定积分的计算。
应用对称性,有下面的结论:
定理1 设f(x)在[-a,a]上连续,则
(1) 若f(x)为奇函数, 则 .
(2) 若f(x)为偶函数, 则 .
例1 求积分 .
解:虽然被积函数非奇非偶,但可以把它分成两个部分和,前一部分是偶函数,后一部分是奇函数,因此,可用定理1的结论简化其计算。
这样的例子很多,有的直接应用定理1,有的通过定积分性质拆项后再应用定理1,达到简化积分运算。
Q3:对于无穷限的广义积分,是否也有相应的应用对称性求解的方法?有些什么样的结论?如何应用?
对于无穷限的广义积分,根据被积函数的奇偶性也有一些结论:
由定理1,很容易得到下面的结论:
推论1 设f(x)在(-∞,∞)上连续, F(x)是f(x)的一个原函数,且无穷限非正常积分f(x)dx收敛,则有
(1)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=.
证明:因为f(x)在(-∞,∞)上连续, f(x)在任何区间[a,A](a 再由定积分的性质得:
.
若f(x)为奇函数,则 F(x)是一个偶函数, 所以F(-A)=F(A)
若f(x)为偶函数,则一定有一个奇函数F(x),所以F(-A)=-F(A) .
Q4:如果积分区间不是关于原点对称,是否也有相应的应用对称性求解的方法?有些什么样的结论?如何应用?
我们知道,若函数f(x)在其定义域内满足f(-x)=f(x),那么f(x)的图形关于y轴对称;若函数f(x)满足f(x)=-f(x), 那么 f(x)的图形关于原点对称。一般地,可以得到关于对称性的如下特征性质。
性质1 若f(x)函数 在其定义域内满足f(x)=f(a-x)那么f(x)的图形关于直线x=对称。
性质2 若函数f(x)在其定义域内满足f(x)+f(a-x)=b,那么f(x)的图形关于点(,)对称。
定理2 设k>0,在[-k,+k]上可积,若f(a-x)=f(x),则有
证明:因为 (1)
在中取x=a-t得:
代入(1)式得:
同理可证:
Q5:在二重积分计算中对稱性的应用又是怎么回事?有些什么样的结论?如何应用?
利用对称性计算二重积分,可以使计算简化。在一般情况下,不仅要求积分区域D具有对称性,而且被积分函数对于区域D也要具有对称性。但在特殊情况下,即使积分区域D不对称,或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性,也可以经过一些技巧性的处理,使之化为能用对称性来简化计算的积分。
积分区域D关于坐标轴对称
定理3 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且D关于x轴对称,则
1)当f(x,-y)=-f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数)时,有
2)当f(x,-y)=f(x,y)(即f(x,y)是关于y的偶函数)时,有
其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域。
例5 计算,其中D为由y2=2x与x=2围成的区域。
解:如图所示,积分区域D关于x轴对称,且f(x,-y)=-(xy+y3)=-f(x,y)
即f(x,y)是关于y的奇函数,由定理1有
(作者单位:湖北襄阳职业技术学院公共课部)
Q1:对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面?
对称性在积分中的应用非常广泛,不仅在定积分,二重积分,还在线、面积分上也有应用。
Q2:什么样的定积分,可以应用对称性求解?有些什么样的结论?如何应用?
定积分是积分学的基本内容, 定积分的计算方法很重要且多种多样, 有的方法不对,计算更繁琐,若能恰当应用对称性,即可简化定积分的计算。
应用对称性,有下面的结论:
定理1 设f(x)在[-a,a]上连续,则
(1) 若f(x)为奇函数, 则 .
(2) 若f(x)为偶函数, 则 .
例1 求积分 .
解:虽然被积函数非奇非偶,但可以把它分成两个部分和,前一部分是偶函数,后一部分是奇函数,因此,可用定理1的结论简化其计算。
这样的例子很多,有的直接应用定理1,有的通过定积分性质拆项后再应用定理1,达到简化积分运算。
Q3:对于无穷限的广义积分,是否也有相应的应用对称性求解的方法?有些什么样的结论?如何应用?
对于无穷限的广义积分,根据被积函数的奇偶性也有一些结论:
由定理1,很容易得到下面的结论:
推论1 设f(x)在(-∞,∞)上连续, F(x)是f(x)的一个原函数,且无穷限非正常积分f(x)dx收敛,则有
(1)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=.
证明:因为f(x)在(-∞,∞)上连续, f(x)在任何区间[a,A](a 再由定积分的性质得:
.
若f(x)为奇函数,则 F(x)是一个偶函数, 所以F(-A)=F(A)
若f(x)为偶函数,则一定有一个奇函数F(x),所以F(-A)=-F(A) .
Q4:如果积分区间不是关于原点对称,是否也有相应的应用对称性求解的方法?有些什么样的结论?如何应用?
我们知道,若函数f(x)在其定义域内满足f(-x)=f(x),那么f(x)的图形关于y轴对称;若函数f(x)满足f(x)=-f(x), 那么 f(x)的图形关于原点对称。一般地,可以得到关于对称性的如下特征性质。
性质1 若f(x)函数 在其定义域内满足f(x)=f(a-x)那么f(x)的图形关于直线x=对称。
性质2 若函数f(x)在其定义域内满足f(x)+f(a-x)=b,那么f(x)的图形关于点(,)对称。
定理2 设k>0,在[-k,+k]上可积,若f(a-x)=f(x),则有
证明:因为 (1)
在中取x=a-t得:
代入(1)式得:
同理可证:
Q5:在二重积分计算中对稱性的应用又是怎么回事?有些什么样的结论?如何应用?
利用对称性计算二重积分,可以使计算简化。在一般情况下,不仅要求积分区域D具有对称性,而且被积分函数对于区域D也要具有对称性。但在特殊情况下,即使积分区域D不对称,或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性,也可以经过一些技巧性的处理,使之化为能用对称性来简化计算的积分。
积分区域D关于坐标轴对称
定理3 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且D关于x轴对称,则
1)当f(x,-y)=-f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数)时,有
2)当f(x,-y)=f(x,y)(即f(x,y)是关于y的偶函数)时,有
其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域。
例5 计算,其中D为由y2=2x与x=2围成的区域。
解:如图所示,积分区域D关于x轴对称,且f(x,-y)=-(xy+y3)=-f(x,y)
即f(x,y)是关于y的奇函数,由定理1有
(作者单位:湖北襄阳职业技术学院公共课部)