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大家知道,在线性约束条件下,求线性目标函数的最值问题,称为“简单的线性规划”.纵览近几年高考,有关线性规划的命题在悄然“变脸”,从最初的简单判断可行域、求最值等问题在向求非线性目标函数的最值、比值、距离以及已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题转变.因此,同学们在复习简单线性规划内容时,既要牢牢把握它的“本来面目”,又要认清它的几张“变脸”,只有这样,我们才能在高考中立于不败之地.
一、 线性规划的“本来面目”
线性规划的“本来面目”,主要指线性目标函数下的最值(取值范围)问题,平面区域的面积问题和最优解问题等.这是常考不衰的基本考点.
1. 线性目标函数的最值(取值范围)问题
【例1】 设m>1,在约束条件y≥x,
y≤mx,
x+y≤1.下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 ．
分析 虽然m的值未知,但m>1,故同样可以作出可行域,然后求出可行域的相关顶点的坐标,就是满足意义的最优解,从而求出m的值.
解 先画出约束条件y≥x,
y≤mx,
x+y≤1.表示的可行域如图:
直线x+y=1与y=mx的交点为1m+1,mm+1,得到当x=1m+1,y=mm+1时目标函数z=x+5y有最大值4,则有1m+1+5×mm+1=4,得m=3．
点评 本题属线性目标函数的最值问题的逆向问题,解决问题的关键是先确定含参数的最优解(往往是可行域的顶点坐标),进而再求参数值.
2. 平面区域的面积问题
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ．
分析 欲求平面区域B的面积,必须先作出平面区域B的图形,根据题意写出平面区域B的约束条件.
解 令x+y=u,x-y=v,则x=u+v2,y=u-v2．
由x+y≤1,x≥0,y≥0得约束条件u≤1,
u+v≥0,
u-v≥0.
因此,平面区域B的图形如图.其面积为S=12×2×1=1．
点评 解决这类问题的关键是弄清原约束条件与新约束条件的内在联系.本题借助换元法将原约束条件进行线性变换,把这类平面区域面积问题的难度提高了一个层次.
点评 求平面区域表示的面积是线性规划考题中常考的一类问题,本题在此基础上要求把面积平分,可以进一步考查考生的观察能力和数形结合思想.因此借助数形结合,分析图形特征是解决这类问题的通法.
3. 实际问题中的最优解问题
【例3】 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料箱,乙车间加工原料箱.
分析 找出线性约束条件和目标函数,准确画出可行域,利用几何意义,求出最优解．
解 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱
则x+y≤70,
10x+6y≤480,
x,y∈N.
目标函数z=280x+300y
结合图象(图)可得当x=15,y=55时z最大.故答案：15,55
点评 利用图解法解决线性规划实际问题,约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证．
二、 “变脸”的线性规划问题
高考命题历来讲究知识的交汇,以考查考生的综合能力和创新能力,为此对于线性规划的命题,或对线性约束条件拓展,或对目标函数拓展,同时在解题中凸显线性规划思想的工具性.
1. 比值问题
【例4】 已知实数x、y满足不等式组x2+y2≤4,
x≥0.则函数z=y+3x+1的值域是 ．
分析 容易画出不等式组x2+y2≤4,
x≥0.所表示的平面区域,再将z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族．
解 所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆(含边界), z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族.则问题的几何意义为：求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)上任一点与点P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值.
由图知,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,zmax=2-(-3)0-(-1)=5.过点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4.又B在半圆周上,P在切线上,则有a2+b2=4，
-a-3b=4.
解得a=-2+365,
b=-6-65.
因此zmin=26-33.
综上可知函数的值域为263,5.
点评 z=y-y0x-x0表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率．
2. 距离(平方)问题
【例5】 已知x-y+2≥0,
x+y-4≥0,
2x-y-5≤0.
求z=x2+y2-10y+25的最小值.
分析 目标函数是非线性的.z=x2+(y-5)2=(x2+(y-5)2)2可看做区域内的点到定点M(0,5)距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题．
解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).而z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足Ｎ在线段AC上,故z的最小值是MN2=92．
点评 当目标函数形如z=(x-a)2+(y-b)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值.
牛刀小试
1. 若平面区域D的点(x,y)满足不等式组(x+1)2+y2≤1,
x-y≤0,
x+y≤0.则平面区域D的面积是 .
2. 若实数x,y满足x-y+1≤0,
x>0.
则yx-1的取值范围是.
3. 某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得06万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 万元.
【参考答案】
1. 1+π2 画出平面区域,如图(1),阴影部分面积S=1+π2．
图(1)
图(2)
2. (-∞,-1)∪(1,+∞) 可行域如图(2)阴影,yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx-1>1或yx-1<-1．
图(3)
3. 312 设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元, 可获得利润为z万元,则
x+y≤60,
x≥23y,
x≥5,
y≥5.z=04x+06y. 由图象(如图3)知,目标函数z=04x+06y在A点取得最大值．
∴ymax=04×24+06×36=312(万元)．
一、 线性规划的“本来面目”
线性规划的“本来面目”,主要指线性目标函数下的最值(取值范围)问题,平面区域的面积问题和最优解问题等.这是常考不衰的基本考点.
1. 线性目标函数的最值(取值范围)问题
【例1】 设m>1,在约束条件y≥x,
y≤mx,
x+y≤1.下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 ．
分析 虽然m的值未知,但m>1,故同样可以作出可行域,然后求出可行域的相关顶点的坐标,就是满足意义的最优解,从而求出m的值.
解 先画出约束条件y≥x,
y≤mx,
x+y≤1.表示的可行域如图:
直线x+y=1与y=mx的交点为1m+1,mm+1,得到当x=1m+1,y=mm+1时目标函数z=x+5y有最大值4,则有1m+1+5×mm+1=4,得m=3．
点评 本题属线性目标函数的最值问题的逆向问题,解决问题的关键是先确定含参数的最优解(往往是可行域的顶点坐标),进而再求参数值.
2. 平面区域的面积问题
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ．
分析 欲求平面区域B的面积,必须先作出平面区域B的图形,根据题意写出平面区域B的约束条件.
解 令x+y=u,x-y=v,则x=u+v2,y=u-v2．
由x+y≤1,x≥0,y≥0得约束条件u≤1,
u+v≥0,
u-v≥0.
因此,平面区域B的图形如图.其面积为S=12×2×1=1．
点评 解决这类问题的关键是弄清原约束条件与新约束条件的内在联系.本题借助换元法将原约束条件进行线性变换,把这类平面区域面积问题的难度提高了一个层次.
点评 求平面区域表示的面积是线性规划考题中常考的一类问题,本题在此基础上要求把面积平分,可以进一步考查考生的观察能力和数形结合思想.因此借助数形结合,分析图形特征是解决这类问题的通法.
3. 实际问题中的最优解问题
【例3】 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料箱,乙车间加工原料箱.
分析 找出线性约束条件和目标函数,准确画出可行域,利用几何意义,求出最优解．
解 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱
则x+y≤70,
10x+6y≤480,
x,y∈N.
目标函数z=280x+300y
结合图象(图)可得当x=15,y=55时z最大.故答案：15,55
点评 利用图解法解决线性规划实际问题,约束条件要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐步平移法验证．
二、 “变脸”的线性规划问题
高考命题历来讲究知识的交汇,以考查考生的综合能力和创新能力,为此对于线性规划的命题,或对线性约束条件拓展,或对目标函数拓展,同时在解题中凸显线性规划思想的工具性.
1. 比值问题
【例4】 已知实数x、y满足不等式组x2+y2≤4,
x≥0.则函数z=y+3x+1的值域是 ．
分析 容易画出不等式组x2+y2≤4,
x≥0.所表示的平面区域,再将z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族．
解 所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆(含边界), z=y+3x+1可理解为过定点P(-1,-3),斜率为z的直线族.则问题的几何意义为：求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)上任一点与点P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值.
由图知,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,zmax=2-(-3)0-(-1)=5.过点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4.又B在半圆周上,P在切线上,则有a2+b2=4，
-a-3b=4.
解得a=-2+365,
b=-6-65.
因此zmin=26-33.
综上可知函数的值域为263,5.
点评 z=y-y0x-x0表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率．
2. 距离(平方)问题
【例5】 已知x-y+2≥0,
x+y-4≥0,
2x-y-5≤0.
求z=x2+y2-10y+25的最小值.
分析 目标函数是非线性的.z=x2+(y-5)2=(x2+(y-5)2)2可看做区域内的点到定点M(0,5)距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题．
解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).而z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足Ｎ在线段AC上,故z的最小值是MN2=92．
点评 当目标函数形如z=(x-a)2+(y-b)2时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值.
牛刀小试
1. 若平面区域D的点(x,y)满足不等式组(x+1)2+y2≤1,
x-y≤0,
x+y≤0.则平面区域D的面积是 .
2. 若实数x,y满足x-y+1≤0,
x>0.
则yx-1的取值范围是.
3. 某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得04万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得06万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为 万元.
【参考答案】
1. 1+π2 画出平面区域,如图(1),阴影部分面积S=1+π2．
图(1)
图(2)
2. (-∞,-1)∪(1,+∞) 可行域如图(2)阴影,yx-1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx-1>1或yx-1<-1．
图(3)
3. 312 设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元, 可获得利润为z万元,则
x+y≤60,
x≥23y,
x≥5,
y≥5.z=04x+06y. 由图象(如图3)知,目标函数z=04x+06y在A点取得最大值．
∴ymax=04×24+06×36=312(万元)．