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摘 要：本文研究了一类三维非线性动力系统中心流形上流动隐函数形式级数计算方法，并给出了其代数公式，此公式是线性的，避免了复杂的积分运算，运用Mathematica系统软件，基于代数递推公式计算了三维微分系统中心流形上流的隐函数。该新算法为研究此类非线性动力系统的动力学问题，特别是稳定性、Hopf分支问题提供了很大的便利。
关键词：中心流形；稳定性；Hopf分支；形式级数；计算机代数
中图分类号：O322，O345
本文研究了一类三维非线性动力系统中心流形上流动隐函数形式级数计算方法，并给出了其代数公式，此公式是线性的，避免了复杂的积分运算，运用Mathematica系统软件，基于代数递推公式计算了三维微分系统中心流形上流的隐函数。该新算法为研究此类非线性动力系统的动力学问题，特别是稳定性、Hopf分支问题提供了很大的便利。
1 三维系统中心流形的形式级数
文[6]中给出了方法的实质，将二维分支系统形式级数的思想方法进行推广，讨论下列三维实解析系统：
其中，x，y，u，t，Akjl，Bkjl∈R（k，j，l∈N）。
同文[6]类似先利用复变换将系统（1）化为复自治微分系统：
（2）
其中，z，w，T，akjl ，bkjl，dkjl∈C（k，j，l∈N）。
并称系统（1）与（2）互为伴随系统。
定理1[ 6 ] 对系统（2），可逐项唯一确定形式级数：
确定；
确定；
2 算例与数学软件的实现
考虑一类实三维系统中心流形的隐函数形式级数的计算问题。
其中a1，a2，b1，b2，d1，d2均为实变量。
同样可以经过复变换将系统（7）化为复自治微分系统：
根据定理1，有：
推论1
2，3，…，则可逐项确定形式级数（3），使得（4）成立，且当k≠j或者k=j，l≠0时，ckjl可由下列递推公式：
确定，对任一正整数m，？滋m可由下列递推公式：
应用系统的强大符号运算功能，把推论1的公式编成运算程序，容易算出原点的前10个焦点量为：
实际上，系统（7）中心流形上流的方程在原点的所有焦点量为零，对应原点为中心或者称在其原点邻域可积。
利用推论1的递推公式逐步计算出系数ckjl并通过逆变换：
可得系统（7）中心流形上的流的隐函数形式为：
其中，
下面考虑另一个三维系统：
同样可以经过复变换将系统（12）化为复自治微分系统：
3 总结
本文研究了一类三维非线性动力系统中心流形上流动隐函数形式级数计算方法，并给出了其代数公式，此公式是线性的，避免了复杂的积分运算，运用Mathematica系统软件，基于代数递推公式计算了三维微分系统中心流形上流的隐函数。该新算法为研究此类非线性动力系统的动力学问题，特别是稳定性、Hopf分支问题提供了很大的便利。
参考文献：
[1] 张琪昌等.分岔与混沌理论及应用[M].天津大学出版社， 2005，1～63.
[2] 于海，陈予恕.高维非线性动力学系统降维方法[J].力学进展，2009，39（2）：154-164.
[3] Carr J. Application of center Manifold Theory [M].Applied Mathematical Sciences 35，Springer verlag， NewYork，1981.
[4] 韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.
[5] Yu P.Simplest normal forms of Hopf and generalized Hopf bifurcation [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1999， 10（9）：1917-1939.
[6] 刘一戎，李继彬.论复自治微分系统的奇点量[J].中国科学（A辑），1989，19（3）：245-255.
[7] Q.wang.Y.Liu， H.Chen. Hopf bifurcation for a class of three-dimensional nonlinear dynamic systems[J].Bull.Sci.Math， 2010，134：786-798.
[8] Qinlong Wang，Wentao Huang， Bai-Lian Li. Limit cycles and singular point quantities for a3D Lotka-Valterra system[J].Applied Mathematics and Computation，2011 doi：10.1016.
关键词：中心流形；稳定性；Hopf分支；形式级数；计算机代数
中图分类号：O322，O345
本文研究了一类三维非线性动力系统中心流形上流动隐函数形式级数计算方法，并给出了其代数公式，此公式是线性的，避免了复杂的积分运算，运用Mathematica系统软件，基于代数递推公式计算了三维微分系统中心流形上流的隐函数。该新算法为研究此类非线性动力系统的动力学问题，特别是稳定性、Hopf分支问题提供了很大的便利。
1 三维系统中心流形的形式级数
文[6]中给出了方法的实质，将二维分支系统形式级数的思想方法进行推广，讨论下列三维实解析系统：
其中，x，y，u，t，Akjl，Bkjl∈R（k，j，l∈N）。
同文[6]类似先利用复变换将系统（1）化为复自治微分系统：
（2）
其中，z，w，T，akjl ，bkjl，dkjl∈C（k，j，l∈N）。
并称系统（1）与（2）互为伴随系统。
定理1[ 6 ] 对系统（2），可逐项唯一确定形式级数：
确定；
确定；
2 算例与数学软件的实现
考虑一类实三维系统中心流形的隐函数形式级数的计算问题。
其中a1，a2，b1，b2，d1，d2均为实变量。
同样可以经过复变换将系统（7）化为复自治微分系统：
根据定理1，有：
推论1
2，3，…，则可逐项确定形式级数（3），使得（4）成立，且当k≠j或者k=j，l≠0时，ckjl可由下列递推公式：
确定，对任一正整数m，？滋m可由下列递推公式：
应用系统的强大符号运算功能，把推论1的公式编成运算程序，容易算出原点的前10个焦点量为：
实际上，系统（7）中心流形上流的方程在原点的所有焦点量为零，对应原点为中心或者称在其原点邻域可积。
利用推论1的递推公式逐步计算出系数ckjl并通过逆变换：
可得系统（7）中心流形上的流的隐函数形式为：
其中，
下面考虑另一个三维系统：
同样可以经过复变换将系统（12）化为复自治微分系统：
3 总结
本文研究了一类三维非线性动力系统中心流形上流动隐函数形式级数计算方法，并给出了其代数公式，此公式是线性的，避免了复杂的积分运算，运用Mathematica系统软件，基于代数递推公式计算了三维微分系统中心流形上流的隐函数。该新算法为研究此类非线性动力系统的动力学问题，特别是稳定性、Hopf分支问题提供了很大的便利。
参考文献：
[1] 张琪昌等.分岔与混沌理论及应用[M].天津大学出版社， 2005，1～63.
[2] 于海，陈予恕.高维非线性动力学系统降维方法[J].力学进展，2009，39（2）：154-164.
[3] Carr J. Application of center Manifold Theory [M].Applied Mathematical Sciences 35，Springer verlag， NewYork，1981.
[4] 韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.
[5] Yu P.Simplest normal forms of Hopf and generalized Hopf bifurcation [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 1999， 10（9）：1917-1939.
[6] 刘一戎，李继彬.论复自治微分系统的奇点量[J].中国科学（A辑），1989，19（3）：245-255.
[7] Q.wang.Y.Liu， H.Chen. Hopf bifurcation for a class of three-dimensional nonlinear dynamic systems[J].Bull.Sci.Math， 2010，134：786-798.
[8] Qinlong Wang，Wentao Huang， Bai-Lian Li. Limit cycles and singular point quantities for a3D Lotka-Valterra system[J].Applied Mathematics and Computation，2011 doi：10.1016.