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【摘要】化归是人们思考和解决问题的基本方法。在数学解题中也是经常用到，掌握一些化归原则，不但能给解题带来一些技巧，更能让学生体会到化归思想的美妙，让学生的思维更加开阔，见识更加宽广。
【关键词】化归；原则；基本方法
In mathematics problem solving “reduction” principle
Zhou Peng
【Abstract】The reduction is the people ponders and solves the question essential method. Is also uses frequently in mathematics problem solving, grasps some reduction principle, not can only bring some skills to the problem solving, can let the student realize the reduction thought the wonder, lets student’s thought be more open, the experience is broader.
【Key words】Reduction; Principle; Essential method
反思我们在数学教学中处理数学问题的过程和经验会发现，常常是将待解决的陌生闯题通过转化，归纳为一个比较熟悉的问题：将较难的问题通过转化，归结为一个比较容易的问题；将繁杂的问题通过转化，归结为一个比较简单的问题来解决。这样就可以充分调动和运用已有的知识、经验和方法，用尽可能简单，容易的方法去解决问题。这就是通常所说的数学解决问题的基本思想方法——化归。
下面就我在中学数学教学十余年来的感受，经验与方法，谈谈用化归方法来解题时需要注意的基本原则。
1 基本思想的指导原则
“化归”是转化和归纳的简称，其基本思想应该是：在解决数学问题时，经常是将待解决的问题A，通过某一转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。在A于B的转化过程中，值得注意的是A与B必须是等价的。
例如 在解决函数f(x)=x2x≥时，学生容易直接化归为解决函数g(x)=x，这显然是错误例如在解决函数x时，学生容易直接化归为解决函数g(x)=x，这显然是错误的，违背了化归思想指导的等价性原则。
2 目标的简单化原则
化归目标的简单化原则是指化归应该朝着目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单只要包括两层含义，一是指问题结构形式表示上的简单，二是指处理问题的方式、方法上的简单。
例如解方程问题，在初学一元一次内容时，形如ax=b(a≠0)的方程是简单的，而不是这种形式的方程就是复杂的。在解方程时，化归的目标就是通过把含有未知数x的项移到一边，常数项移到另一边，合并后使方程呈简单形式ax=b(a≠0)。这类问题很简单，在此就不举实例。
3 程序的具体化原则
化归程序的具体化原则是指化归的方向一般由抽象到具体，即在分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更容易把握。如尽可能将抽象的式子用具体的形式来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体，明确。
例如 求函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值。
分析 这道题看似初中范围，在平时的练习中也是很难遇到的，但在竞赛题中是会出现的。本题函数结构复杂，无法用常规方法解决。设法将其具体化。由根式会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式。通过拆凑合，发现是可以的。
f(x)=x4-3x3-6x+13-x4-x2+1
=(x2-2)2+(x2-3)2-(x2-1)2+x2
问题转化为：求点P(x,x2)到点A(3,2)与点B(0,1)距离之差的最大值。做出图形如下，由A,B的位置知直线AB必须交抛物线y=x2于第二象限的一点C,由三角形两边之差小于第三边知，当P位于C时，f(x)才能取到最大值，且最大值就是线段AB，故f(x)max=｜AB｜=10。
通过化归，看似复杂的问题得到了解决。
4 和谐统一化原则
在有些数学问题当中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。此时，需要根据待解决问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称，更适合。
例 已知a2+b2+c2=0,求cab+abc+bac-1的值。
分析 首先看已知与结论的结构式不和谐的，再观察所求结论的分母也是不相同。因此，尝试通分，化不和谐为统一，问题就迎刃而解。
即 cab+abc+bac-1=a2+b2+c2-abcabc=-1.
5 形式标准化原则
从某种意义上来说，数学是关于模式的科学，每一个公式、法则，每一个定理、结论都可以看做一个模型、一种模式。显然，在问题解决中会不断地、反复地使用公式、法则、定理和结论，但在使用时要化为相应的模式。
例如 一元二次方程求根公式与根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)而言，因此只有化归成标准的一元二次方程后，才可直接用根与系数的有关结果。
6 低层次原则
化归的低层次原则是说，在解决数学问题时，应尽量将多维空间的待解问题化归为低维空间的待解问题，高次数的问题化归为低次数的问题，多元问题化归为少元问题来解决。
例 求方程x3-y3=xy+61的自然数解x,y。
解析 由方程结构知x>y,又由x3-y3=(x-y)xy+(x-y)•(x2+y2)知x不能比y大太多，考虑用x=y+d代换降低方程次数。代入原方程并整理得(3d-1)y2+(3d2-d)y+y3=61。由x>y得d1，从而3d-1>0。又因为y>0，所以，d3<61,d3。因此，d只有三种可能的取值d=1,2,3。
不难验证，只有d=1时，y才有自然数解，此时y=5,x=y+d=6。因此，原方程的自然数解为x=6,y=5。
7 代换原则
在数学教学中，我们熟悉的代换主要有替换、换元、增量代换、等量代换等，掌握这些代换方式，把其精髓传授给学生，那对学生来说将会受益匪浅。在此略举几例加以说明。
例1 求证：对任意非负实数x,y,z，不等式x(y+z-x)2+y(z+x-y)2+z(x+y-z)23xyz成立。
解析 因为欲证不等式关于x,y,z对称，所以不妨设xyz。变量替换，令y=x+m,z=x+m+n(x0,m0,n0),代入不等式两边，可得x(x+2m+n)2+(x+m)•(x+n)2+(x+m+n)•(x-n)23•x(x+m)(x+m+n)
把上式两边展开化简可得：
(m2+mn+n2)x+n2(2m+n)0(1)
(1)式就为变量替换后化归成的新问题。
因为x0,m0,n0，所以(1)成立，从而原不等式得证。
例2 解方程x2+3x+12-x2-x+4=2。
解析 换元，令x2+3x+12=1+a，则
x2-x+4=a-1。所以，方程可化归为方程组
x2+3x+12=1+2a+a2,
x2-x+4=1-2a+a2,4x+8=4a, (1)
x2-x+4=1-2a+a2. （2)
由(1)得x=a-2,代入（2)得
(a-2)2-(a-2)+4=1-2a+a2
得3a=9，即a=3,从而x=1。
经检验：x=1是原方程的解。
例3 设a,b,c均为实数，且a+b+c=1,求证：a2+b2+c213。
解析 a,b,c之和为1，取其平均值13为标准，进行如下增量代换：
a=13+α，b=13+β,c=13+γ(α,β,γ均为实数)，显然α+β+γ=0。
于是a2+b2+c2=(13+α)2+(13+β)2+(13+γ)2
=13+23(α+β+γ)+α2+β2+γ2
=13+α2+β2+γ213
因此，原不等式得证。
总之，在教学中，只要我们勤于反思和总结，很多方法都是万变不离其宗的。以上仅为本人在教学中得到的一点体会的总结，希望在交流的平台中能给你在之方面的教学带来一定帮助。
【关键词】化归；原则；基本方法
In mathematics problem solving “reduction” principle
Zhou Peng
【Abstract】The reduction is the people ponders and solves the question essential method. Is also uses frequently in mathematics problem solving, grasps some reduction principle, not can only bring some skills to the problem solving, can let the student realize the reduction thought the wonder, lets student’s thought be more open, the experience is broader.
【Key words】Reduction; Principle; Essential method
反思我们在数学教学中处理数学问题的过程和经验会发现，常常是将待解决的陌生闯题通过转化，归纳为一个比较熟悉的问题：将较难的问题通过转化，归结为一个比较容易的问题；将繁杂的问题通过转化，归结为一个比较简单的问题来解决。这样就可以充分调动和运用已有的知识、经验和方法，用尽可能简单，容易的方法去解决问题。这就是通常所说的数学解决问题的基本思想方法——化归。
下面就我在中学数学教学十余年来的感受，经验与方法，谈谈用化归方法来解题时需要注意的基本原则。
1 基本思想的指导原则
“化归”是转化和归纳的简称，其基本思想应该是：在解决数学问题时，经常是将待解决的问题A，通过某一转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。在A于B的转化过程中，值得注意的是A与B必须是等价的。
例如 在解决函数f(x)=x2x≥时，学生容易直接化归为解决函数g(x)=x，这显然是错误例如在解决函数x时，学生容易直接化归为解决函数g(x)=x，这显然是错误的，违背了化归思想指导的等价性原则。
2 目标的简单化原则
化归目标的简单化原则是指化归应该朝着目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单只要包括两层含义，一是指问题结构形式表示上的简单，二是指处理问题的方式、方法上的简单。
例如解方程问题，在初学一元一次内容时，形如ax=b(a≠0)的方程是简单的，而不是这种形式的方程就是复杂的。在解方程时，化归的目标就是通过把含有未知数x的项移到一边，常数项移到另一边，合并后使方程呈简单形式ax=b(a≠0)。这类问题很简单，在此就不举实例。
3 程序的具体化原则
化归程序的具体化原则是指化归的方向一般由抽象到具体，即在分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更容易把握。如尽可能将抽象的式子用具体的形式来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体，明确。
例如 求函数f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值。
分析 这道题看似初中范围，在平时的练习中也是很难遇到的，但在竞赛题中是会出现的。本题函数结构复杂，无法用常规方法解决。设法将其具体化。由根式会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式。通过拆凑合，发现是可以的。
f(x)=x4-3x3-6x+13-x4-x2+1
=(x2-2)2+(x2-3)2-(x2-1)2+x2
问题转化为：求点P(x,x2)到点A(3,2)与点B(0,1)距离之差的最大值。做出图形如下，由A,B的位置知直线AB必须交抛物线y=x2于第二象限的一点C,由三角形两边之差小于第三边知，当P位于C时，f(x)才能取到最大值，且最大值就是线段AB，故f(x)max=｜AB｜=10。
通过化归，看似复杂的问题得到了解决。
4 和谐统一化原则
在有些数学问题当中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。此时，需要根据待解决问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称，更适合。
例 已知a2+b2+c2=0,求cab+abc+bac-1的值。
分析 首先看已知与结论的结构式不和谐的，再观察所求结论的分母也是不相同。因此，尝试通分，化不和谐为统一，问题就迎刃而解。
即 cab+abc+bac-1=a2+b2+c2-abcabc=-1.
5 形式标准化原则
从某种意义上来说，数学是关于模式的科学，每一个公式、法则，每一个定理、结论都可以看做一个模型、一种模式。显然，在问题解决中会不断地、反复地使用公式、法则、定理和结论，但在使用时要化为相应的模式。
例如 一元二次方程求根公式与根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)而言，因此只有化归成标准的一元二次方程后，才可直接用根与系数的有关结果。
6 低层次原则
化归的低层次原则是说，在解决数学问题时，应尽量将多维空间的待解问题化归为低维空间的待解问题，高次数的问题化归为低次数的问题，多元问题化归为少元问题来解决。
例 求方程x3-y3=xy+61的自然数解x,y。
解析 由方程结构知x>y,又由x3-y3=(x-y)xy+(x-y)•(x2+y2)知x不能比y大太多，考虑用x=y+d代换降低方程次数。代入原方程并整理得(3d-1)y2+(3d2-d)y+y3=61。由x>y得d1，从而3d-1>0。又因为y>0，所以，d3<61,d3。因此，d只有三种可能的取值d=1,2,3。
不难验证，只有d=1时，y才有自然数解，此时y=5,x=y+d=6。因此，原方程的自然数解为x=6,y=5。
7 代换原则
在数学教学中，我们熟悉的代换主要有替换、换元、增量代换、等量代换等，掌握这些代换方式，把其精髓传授给学生，那对学生来说将会受益匪浅。在此略举几例加以说明。
例1 求证：对任意非负实数x,y,z，不等式x(y+z-x)2+y(z+x-y)2+z(x+y-z)23xyz成立。
解析 因为欲证不等式关于x,y,z对称，所以不妨设xyz。变量替换，令y=x+m,z=x+m+n(x0,m0,n0),代入不等式两边，可得x(x+2m+n)2+(x+m)•(x+n)2+(x+m+n)•(x-n)23•x(x+m)(x+m+n)
把上式两边展开化简可得：
(m2+mn+n2)x+n2(2m+n)0(1)
(1)式就为变量替换后化归成的新问题。
因为x0,m0,n0，所以(1)成立，从而原不等式得证。
例2 解方程x2+3x+12-x2-x+4=2。
解析 换元，令x2+3x+12=1+a，则
x2-x+4=a-1。所以，方程可化归为方程组
x2+3x+12=1+2a+a2,
x2-x+4=1-2a+a2,4x+8=4a, (1)
x2-x+4=1-2a+a2. （2)
由(1)得x=a-2,代入（2)得
(a-2)2-(a-2)+4=1-2a+a2
得3a=9，即a=3,从而x=1。
经检验：x=1是原方程的解。
例3 设a,b,c均为实数，且a+b+c=1,求证：a2+b2+c213。
解析 a,b,c之和为1，取其平均值13为标准，进行如下增量代换：
a=13+α，b=13+β,c=13+γ(α,β,γ均为实数)，显然α+β+γ=0。
于是a2+b2+c2=(13+α)2+(13+β)2+(13+γ)2
=13+23(α+β+γ)+α2+β2+γ2
=13+α2+β2+γ213
因此，原不等式得证。
总之，在教学中，只要我们勤于反思和总结，很多方法都是万变不离其宗的。以上仅为本人在教学中得到的一点体会的总结，希望在交流的平台中能给你在之方面的教学带来一定帮助。