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【摘 要】概率知识能够帮助我们解决现实生活中的很多问题，高中数学概率部分的学习应该受到重视。本文将从教学模式、兴趣激发、现实模型、概念教学等方面谈如何提高概率教学水平。
【关键词】高中数学；概率；实施策略
【中图分类号】G63 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）15-0138-01
概率已成为影响人们生产、生活的一种重要科学方法，掌握了概率科学能够帮助我们解决现实生活中的很多问题。随着教材版本的不断更新，概率知识的内容与课时量也都有了不同程度的增加，因此，我们也要对概率教学更加重视。
一、改革教学模式
思维能力是学习能力中最重要的组成部分，它直接决定着终身学习的“长度”和“质量”，因此，我们应该把教学的重心放在培养学生的思维能力上来。从科学发展史来看，人类对随机现象的认知是“感知——推理——运算——反思——建构”的过程，因此，单纯做大量的练习并不是明智的做法，而“体验式”教学法恰好提倡让学生经历科学发现的过程，即“感知——推理——运算——反思——建构概率模型”的过程。
因此，我们首先要转换教育理念，从“传授者”向学习活动的“参与者”“引导者”和“合作者”转变，要引导学生通过发现和建构概率模型，解决数学问题，从知识理论向过程方法的重心转移。其次，让学生经历探究过程不能是摆摆样子，走走形式，要切合实际地为学生创造探究实践的机会。另外，相对于其他学科，数学课的社会实践活动太少，由于概率现象常见于日常生活，我们应该抓住这样的机会，多组织学生参加实践活动，如“城市交通堵塞调查”“从概率角度看彩票中奖”等。
二、激发学习兴趣
现代教育学和心理学的研究都表明，只有当学习内容和学生已有的生活经验与知识基础存在交集的时候才能更好地引发学生的“猎奇”心理，从而激发学习的内部动机。我们提倡数学的“生活化”，就是这个原因。从学生的生活经验出发寻找素材，不仅能促进学生从“好学”向“乐学”转变，还能培养学生的数学应用能力。
1. 随机与投保。
师：“现在很多人喜欢买保险，假若保险期内风险频发，那么保险公司岂不是要亏本？”
我在课前安排学生调查，课上组织交流、讨论，讨论的结果当然是肯定的。
师：“那么为什么还有那么多保险公司还在经营，没有倒闭呢？”
最后，在教师的启发和引导下，师生共同总结：虽然个人遭受意外是不确定的事件，但随机事件的呈现毕竟是有规律的，因此，对于人数足够多的群体，发生意外伤害的频率的确是稳定的。保险公司就是根据这个原理，在研究了统计结果以后，制定出相应的保费与赔款额度。从长远来看，投保的人只要够多，保险公司就能够付出预期的赔付值。
2.生日问题。
问一个有n名同学的班级（n≤365），至少两人是同一天生日的概率是多少？我先让学生猜猜一个中，出现这种情况的概率有多大，并把结果写在纸条上。然后，我将计算后得到的相应的概率P（A）值呈现在大屏幕上，如下表：
这样的结果一公布，很多学生都感到吃惊，原来当班级中的人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这样的情况，而当班级的人数达到50时，竟有97%的班级会发生上述事件。从学生熟悉的生活现象中抽象出学习材料，既能够激发学生的兴趣，又能够帮助学生澄清一些生活中对某些事物的错误认识，使学生常常感到“学数学就是有用”。
三、“现实模型”的教学原则
渗透“现实模型”，实质就是要求教师通过挖掘现实生活中的概率现象来引导学生学习和运用概率知识。现实生活中有很多现象涉及到概率知识，我们可以把它们找出来，如彩票、摸球、排队等，作为这节课的教学素材，以实现激发学生学习兴趣、提高教学效率的目的。
例如，我设计了这样一个场景：“有10张彩票，其中有2张是奖票，甲乙二人各抽一张，谁先抽中奖的概率更大呢？”学生们开始议论纷纷，多数人倾向于先抽中奖的概率更大些。于是我假设甲先抽奖，那么甲中奖的概率应该是P1=2/10=1/5；乙第二个抽奖，此时“乙中奖”应该看作是互斥事件“甲乙均中奖”和“甲未中乙中奖”的并。第一个事件的概率应该为：甲中奖的概率1/5×乙中奖的概率1/9（从剩下的9张彩票中抽中1张奖票）=1/45。第二个事件的概率应该为：甲抽中无奖的8张彩票概率8/10×乙中奖概率2/9（从剩下的9张彩票中抽中2张奖票任意1张）=8/45。那么，乙中奖的概率P2=1/45+8/45=1/5。可见无论抽奖的先后，中奖概率都是一样的。这样的结果告诉了学生，在现实生活中，我们用抽签的办法决定一件事，抽签的先后顺序对结果是没有影响的，对各人都是公平的。由于出现这样一个令人“意外”的结果，学生的探奇心理得到了激发，对后面的学习注意力高度集中起来。
四、强化概念教学
1.从意象表征到概念教学。
单方面地讲解概念的形式定义，是不能真正在头脑中建立概率的概念的，我们应该将概念的典型范例与形式定义有机结合起来，以促进学生对概念的理解。如讲几何概型的时候介绍撒豆问题及随机模型的例题；介绍古典概型的时候，与学生讨论孟德尔的生物遗传规律等。本就是因为解决现实问题应运而生的随机问题，其概念教学更加不必拘泥于文字描述，结合典型范例组织教学活动能够使学生在头脑中先建立意象表征，进而理解“什么是概率”。
2.呈现正反例，促进对概念本质的理解。
我们在教学时给学生呈现正例，是为了总结和概括，相反，呈现一定的反例，通过辨析，可以产生“拨开云雾”的效果。这样，学生不仅明辨了究竟“什么是概率”，也学会了如何正确使用概率。
例如，我发现学生对互斥和独立这两个概念时常混淆，误认为“若A、B相互独立，那么A、B就没有关系，不能同时出现”，而事实则是，若A、B独立，那么A的出现对B是否出現应当没有影响，所以A、B往往可以同时出现。为了帮助学生理解互斥与独立的本质，我选择了正反例呈现概念的办法。 正例：（1）我事前将扑克牌中相同花色的A和K背面粘在一起，在课上拿出来，要求学生任意选一张牌，将一面朝上：“大家看，当我们看到红桃A时，就看不到红桃K，其他花色也是如此，那么相同花色的A和K就是互斥关系；而将红桃A一面向上摆放时，其他牌如何摆放仍然可以变化，也就是说红桃A不影响其他花色的A和K的摆放，它们之间是独立关系。”（2）令Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={3，6}，此时，AB={6}，即A、B不互斥的，又因P（AB）=1/6=P（A）P（B），即A，B相互独立。所以，A、B独立同A、B互斥无法同时成立。
反例：近几年的高考题中有很多概率问题，一些考生就是由于没有正确分析事件A和B的关系导致失误。我把他们的错解投影到大屏幕上给学生看，一同分析错因。
3.引导学生自主探究，促进概念的理解。
新课程总是说“学中做，做中学”，实质就是在强调要给学生提供应用知识的机会。我们时常以为，概念教学不必如此，其实不然。鉴于教材上对概率概念描述的抽象性，我们应该多给学生创造机会，让他们自主探究，通过亲身体验问题的解决过程，认识概念的本质。
为了帮助学生区分条件概念和无条件概念，我首先创设了这样的情境：我们研究有双子女的家庭，发现有以下四种组合：（男，男）（女，女）（男，女）（女，男）。“随机抽取一个家庭，并且该家庭有一男一女”，将该事件記为A，显然P（A）=1/2。但是，若我们已经知道在这个家庭有个女孩，那么概率就为2/3。要求学生探究不同概率的原因。学生很快就发现，是因为第二种情况多了一个预设条件，即事件B“该家庭至少有一个女孩”，这时候，我们所求的概率实际是在考虑B已存在的情况下，求A的概率，因此，我们可以将此时的概率记为P（AB）。这样，在概念教学上就实现了由“无条件”到“有条件”的自然过渡，便于学生弄清楚两种概念之间的关系。
概率思想对我们的生产、生活正在发生着巨大的影响，我们必须重视概率的教学。由于教材中的概率知识过于抽象，学生对这部分内容的学习始终有些畏难心理，所以，我们在教学中要扮演好“引导者”的角色，主动转变教学理念，提高专业素养，发掘生活中的教学素材，设法激发学生的兴趣，构建现实模型，注重概念基础教学等办法，使学生牢固掌握随机思想这项重要技能。
【关键词】高中数学；概率；实施策略
【中图分类号】G63 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）15-0138-01
概率已成为影响人们生产、生活的一种重要科学方法，掌握了概率科学能够帮助我们解决现实生活中的很多问题。随着教材版本的不断更新，概率知识的内容与课时量也都有了不同程度的增加，因此，我们也要对概率教学更加重视。
一、改革教学模式
思维能力是学习能力中最重要的组成部分，它直接决定着终身学习的“长度”和“质量”，因此，我们应该把教学的重心放在培养学生的思维能力上来。从科学发展史来看，人类对随机现象的认知是“感知——推理——运算——反思——建构”的过程，因此，单纯做大量的练习并不是明智的做法，而“体验式”教学法恰好提倡让学生经历科学发现的过程，即“感知——推理——运算——反思——建构概率模型”的过程。
因此，我们首先要转换教育理念，从“传授者”向学习活动的“参与者”“引导者”和“合作者”转变，要引导学生通过发现和建构概率模型，解决数学问题，从知识理论向过程方法的重心转移。其次，让学生经历探究过程不能是摆摆样子，走走形式，要切合实际地为学生创造探究实践的机会。另外，相对于其他学科，数学课的社会实践活动太少，由于概率现象常见于日常生活，我们应该抓住这样的机会，多组织学生参加实践活动，如“城市交通堵塞调查”“从概率角度看彩票中奖”等。
二、激发学习兴趣
现代教育学和心理学的研究都表明，只有当学习内容和学生已有的生活经验与知识基础存在交集的时候才能更好地引发学生的“猎奇”心理，从而激发学习的内部动机。我们提倡数学的“生活化”，就是这个原因。从学生的生活经验出发寻找素材，不仅能促进学生从“好学”向“乐学”转变，还能培养学生的数学应用能力。
1. 随机与投保。
师：“现在很多人喜欢买保险，假若保险期内风险频发，那么保险公司岂不是要亏本？”
我在课前安排学生调查，课上组织交流、讨论，讨论的结果当然是肯定的。
师：“那么为什么还有那么多保险公司还在经营，没有倒闭呢？”
最后，在教师的启发和引导下，师生共同总结：虽然个人遭受意外是不确定的事件，但随机事件的呈现毕竟是有规律的，因此，对于人数足够多的群体，发生意外伤害的频率的确是稳定的。保险公司就是根据这个原理，在研究了统计结果以后，制定出相应的保费与赔款额度。从长远来看，投保的人只要够多，保险公司就能够付出预期的赔付值。
2.生日问题。
问一个有n名同学的班级（n≤365），至少两人是同一天生日的概率是多少？我先让学生猜猜一个中，出现这种情况的概率有多大，并把结果写在纸条上。然后，我将计算后得到的相应的概率P（A）值呈现在大屏幕上，如下表：
这样的结果一公布，很多学生都感到吃惊，原来当班级中的人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这样的情况，而当班级的人数达到50时，竟有97%的班级会发生上述事件。从学生熟悉的生活现象中抽象出学习材料，既能够激发学生的兴趣，又能够帮助学生澄清一些生活中对某些事物的错误认识，使学生常常感到“学数学就是有用”。
三、“现实模型”的教学原则
渗透“现实模型”，实质就是要求教师通过挖掘现实生活中的概率现象来引导学生学习和运用概率知识。现实生活中有很多现象涉及到概率知识，我们可以把它们找出来，如彩票、摸球、排队等，作为这节课的教学素材，以实现激发学生学习兴趣、提高教学效率的目的。
例如，我设计了这样一个场景：“有10张彩票，其中有2张是奖票，甲乙二人各抽一张，谁先抽中奖的概率更大呢？”学生们开始议论纷纷，多数人倾向于先抽中奖的概率更大些。于是我假设甲先抽奖，那么甲中奖的概率应该是P1=2/10=1/5；乙第二个抽奖，此时“乙中奖”应该看作是互斥事件“甲乙均中奖”和“甲未中乙中奖”的并。第一个事件的概率应该为：甲中奖的概率1/5×乙中奖的概率1/9（从剩下的9张彩票中抽中1张奖票）=1/45。第二个事件的概率应该为：甲抽中无奖的8张彩票概率8/10×乙中奖概率2/9（从剩下的9张彩票中抽中2张奖票任意1张）=8/45。那么，乙中奖的概率P2=1/45+8/45=1/5。可见无论抽奖的先后，中奖概率都是一样的。这样的结果告诉了学生，在现实生活中，我们用抽签的办法决定一件事，抽签的先后顺序对结果是没有影响的，对各人都是公平的。由于出现这样一个令人“意外”的结果，学生的探奇心理得到了激发，对后面的学习注意力高度集中起来。
四、强化概念教学
1.从意象表征到概念教学。
单方面地讲解概念的形式定义，是不能真正在头脑中建立概率的概念的，我们应该将概念的典型范例与形式定义有机结合起来，以促进学生对概念的理解。如讲几何概型的时候介绍撒豆问题及随机模型的例题；介绍古典概型的时候，与学生讨论孟德尔的生物遗传规律等。本就是因为解决现实问题应运而生的随机问题，其概念教学更加不必拘泥于文字描述，结合典型范例组织教学活动能够使学生在头脑中先建立意象表征，进而理解“什么是概率”。
2.呈现正反例，促进对概念本质的理解。
我们在教学时给学生呈现正例，是为了总结和概括，相反，呈现一定的反例，通过辨析，可以产生“拨开云雾”的效果。这样，学生不仅明辨了究竟“什么是概率”，也学会了如何正确使用概率。
例如，我发现学生对互斥和独立这两个概念时常混淆，误认为“若A、B相互独立，那么A、B就没有关系，不能同时出现”，而事实则是，若A、B独立，那么A的出现对B是否出現应当没有影响，所以A、B往往可以同时出现。为了帮助学生理解互斥与独立的本质，我选择了正反例呈现概念的办法。 正例：（1）我事前将扑克牌中相同花色的A和K背面粘在一起，在课上拿出来，要求学生任意选一张牌，将一面朝上：“大家看，当我们看到红桃A时，就看不到红桃K，其他花色也是如此，那么相同花色的A和K就是互斥关系；而将红桃A一面向上摆放时，其他牌如何摆放仍然可以变化，也就是说红桃A不影响其他花色的A和K的摆放，它们之间是独立关系。”（2）令Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={3，6}，此时，AB={6}，即A、B不互斥的，又因P（AB）=1/6=P（A）P（B），即A，B相互独立。所以，A、B独立同A、B互斥无法同时成立。
反例：近几年的高考题中有很多概率问题，一些考生就是由于没有正确分析事件A和B的关系导致失误。我把他们的错解投影到大屏幕上给学生看，一同分析错因。
3.引导学生自主探究，促进概念的理解。
新课程总是说“学中做，做中学”，实质就是在强调要给学生提供应用知识的机会。我们时常以为，概念教学不必如此，其实不然。鉴于教材上对概率概念描述的抽象性，我们应该多给学生创造机会，让他们自主探究，通过亲身体验问题的解决过程，认识概念的本质。
为了帮助学生区分条件概念和无条件概念，我首先创设了这样的情境：我们研究有双子女的家庭，发现有以下四种组合：（男，男）（女，女）（男，女）（女，男）。“随机抽取一个家庭，并且该家庭有一男一女”，将该事件記为A，显然P（A）=1/2。但是，若我们已经知道在这个家庭有个女孩，那么概率就为2/3。要求学生探究不同概率的原因。学生很快就发现，是因为第二种情况多了一个预设条件，即事件B“该家庭至少有一个女孩”，这时候，我们所求的概率实际是在考虑B已存在的情况下，求A的概率，因此，我们可以将此时的概率记为P（AB）。这样，在概念教学上就实现了由“无条件”到“有条件”的自然过渡，便于学生弄清楚两种概念之间的关系。
概率思想对我们的生产、生活正在发生着巨大的影响，我们必须重视概率的教学。由于教材中的概率知识过于抽象，学生对这部分内容的学习始终有些畏难心理，所以，我们在教学中要扮演好“引导者”的角色，主动转变教学理念，提高专业素养，发掘生活中的教学素材，设法激发学生的兴趣，构建现实模型，注重概念基础教学等办法，使学生牢固掌握随机思想这项重要技能。