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摘 要： 本文主要探讨反例在中学数学教学中的构造模式及其重要性.在数学教学中利用反例能够有效地诱发学生的求知欲，促使其主动积极地学习，对基础知识有更进一步的理解.不仅有利于学生全面正确地理解、掌握数学的基本概念和基本定理，而且促使学生养成善于发现问题、纠正错误的习惯，更能培养学生的发散思维和创造性思维.
关键词： 反例 思维判断力 逻辑规律 特殊值 数学教学
美国数学家盖尔鲍姆说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”提出证明，就是根据已知概念和真命题遵照逻辑规律运用正确逻辑方法去证明某个命题的真实性，构造反例，就是为了证明某个命题不真，构造一个且只需构造—个符合于题设条件但命题结论不成立的特例，即反例.本文从数学教学的角度讨论反例的作用.
一、培养独立的思维判断力，增强趣味性
在中学数学教学中教师不仅要教给学生数学知识，更重要的是要培养学生的能力，尤其是培养学生的创造性思维能力.思维属于认识的高级阶段，要达到培养学生创造性思维能力的目的，必须重视构造反例这一重要途径.构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，它有利于活跃学生的思维，广开学生的思路，同时也可培养学生从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，有效地增强学生思维的敏捷性，逐步增强独立的思维判断力.
在教学过程中，适时举一些数学史上的著名反例，不但能培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，而且对学生形成概念、系统掌握知识有很大的帮助.如在讲无理数概念时，可以谈谈数的概念的形成和发展，特别是导致数学的第一次危机的反例，古希腊毕达哥斯学派的希帕萨斯发现正方形一边与对角线不能用两整数之比表示，严重冲击了当时希腊人的信条——数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数及数的关系的和谐系统.“宇宙万物只能归结为整数，最多也只能归结为两整数比”.希帕萨斯因此而被抛入大海，成为数学史上的一大悲剧.这一反例的发现，使希萨斯的名字，永远被铭刻在神奇的数学王国的宫墙上.接着叙述无理数数，学生的注意力自然很集中.
又如学习数学归纳法时，必须指出：不完全归纳推理，只是给人们提供了一种猜想，其真实性必须通过论证肯定或否定.由于反例在否定命题时具有巨大的作用，因此利用反例可以轻而易举地否定一些著名命题.1640年法国数学家费尔玛猜测所有形如Fn=2+1（n为非负整数）型的数都是素数，验证F=3，F=5，F=17，F=257，F=65537都是素数，因此，当时谁都不知道费尔玛的猜测是否正确，直到1732年，瑞士大数学家欧拉指出F5=641×6700417，从而一举推翻了费尔玛猜想.
二、构造独特的解题模式，寻找矛盾
构造反例在证伪过程中起到了巨大的作用，而且构造反例是培养学生创造性思维能力的重要途径之一，因此教学中应予以足够的重视.如何构造反例呢？选择特殊值、极端情形或相反情形，常常可使所举反例简洁且易于构造，—般构造反例解题的模式是：
问题条件特点解析→（选择特殊值极端相反情形）→构造反例→（得出结论）→原命题不真.
我们经常使用的反证法，是首先假定所要证明的结论不成立，然后在这个假定下进行一系列符合逻辑的推理，直到得出一个矛盾的结论，并据此推翻原先的假定，从而确认所要证明的结论成立.其中，寻找矛盾是证题过程的核心所在，而揭露矛盾的一个有效方法，就是构造反例.
所以在由这些线段所组成的三角形中必有锐角三角形.
三、探寻问题的错误所在，深化理解
在中学数学教学过程中，教师不仅要能够运用正确的例子深刻诠释知识点，而且要能够运用一些恰当的反例从另一个角度紧抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，进而加深学生对知识的理解，让他们留有深刻的印象.比如，中学数学知识中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等，对于刚接触的人来说，对它们的认知常常模糊不清.在教学这些知识点的时候，假如从正面阐述，那么学生就很难理解，如果结合一些反例论述，效果就会事半功倍.
（一）有利于帮助掌握定理、公式和法则
例3：若a=A，b=B，那么（a+b）=A+B，反之，可否成立？
解析：反之不成立.如果直接说明难以入手，而举出反例论述，就可以使学生记忆深深刻.例如：a=+n，b=-n，显然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.
例4：二项式定理的教学中，刚接触者常习惯于记忆通项公式T=Cxa对于形似（3a-4b）的式子，因而认为它的第四项系数是C，这显然是“误入歧途”，实际上应该是C3·（-4）.
（二）有利于正确指出错误
对学生解题中的错误必须及时予以纠正.偶然性的错误，要求学生仔细思考，让他们自己作出改正或补充；原则性的错误，要求学生明白错误的原因，直到弄懂为止，而指出错误最为有效的办法之一便是举出反例.
例5：在平面幾何中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这个定理中“平行”二字常常被“忽略不计”.这也可举一个反例，举一个四边形ABCD，两对角线AC⊥BD，但要证明它不是菱形，这样就可以促使学生深入理解定理中“平行”二字的重要性.
又如，设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远的距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
这是一道高考题，解法颇多，在此我们不加以赘述.下面用反例法剖析一种常见的解题错误.
反例在驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误上有着重要作用，它有助于学生正确掌握题解方法.面对一个问题的解答，可运用反例检验答案是否正确，假如发现不对，就能够引导我们探寻错误的原因.
式并不等价，尽管满足前者时，也能满足后者，但满足后者时，却不能满足前者，所以是错误的，答案应为-5 在当前的中学数学教学中，—般对提出证明比较重视，而对构造反例有所忽视.从思维方法来看，构造反例法是较高层次的思维方法之一，也是发现数学真理的一种重要手段，对于激发学生的学习兴趣、培养学生的发散性思维起着不可估量的作用.所以，在教学过程中，我们应重视反例法的运用.
参考文献：
[1]吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造[J].牡丹江教育学院学报，2008，3.
[2]曹玉升.反例在高等数学教学中的作用及构造[J].漯河职业技术学院学报，2009，2.
[3]孟凡朋.浅谈初中数学教学中反例教学的重要性[J].数学学习与研究，2010，02.
[4]陈尔彬.反例与中学数学教学[J].课程教材教学研究（中教研究），2010，Z1.
[5]胡志祥.应用反例提高素养[J].内蒙古教育，2010，4.
关键词： 反例 思维判断力 逻辑规律 特殊值 数学教学
美国数学家盖尔鲍姆说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”提出证明，就是根据已知概念和真命题遵照逻辑规律运用正确逻辑方法去证明某个命题的真实性，构造反例，就是为了证明某个命题不真，构造一个且只需构造—个符合于题设条件但命题结论不成立的特例，即反例.本文从数学教学的角度讨论反例的作用.
一、培养独立的思维判断力，增强趣味性
在中学数学教学中教师不仅要教给学生数学知识，更重要的是要培养学生的能力，尤其是培养学生的创造性思维能力.思维属于认识的高级阶段，要达到培养学生创造性思维能力的目的，必须重视构造反例这一重要途径.构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，它有利于活跃学生的思维，广开学生的思路，同时也可培养学生从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，有效地增强学生思维的敏捷性，逐步增强独立的思维判断力.
在教学过程中，适时举一些数学史上的著名反例，不但能培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，而且对学生形成概念、系统掌握知识有很大的帮助.如在讲无理数概念时，可以谈谈数的概念的形成和发展，特别是导致数学的第一次危机的反例，古希腊毕达哥斯学派的希帕萨斯发现正方形一边与对角线不能用两整数之比表示，严重冲击了当时希腊人的信条——数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数及数的关系的和谐系统.“宇宙万物只能归结为整数，最多也只能归结为两整数比”.希帕萨斯因此而被抛入大海，成为数学史上的一大悲剧.这一反例的发现，使希萨斯的名字，永远被铭刻在神奇的数学王国的宫墙上.接着叙述无理数数，学生的注意力自然很集中.
又如学习数学归纳法时，必须指出：不完全归纳推理，只是给人们提供了一种猜想，其真实性必须通过论证肯定或否定.由于反例在否定命题时具有巨大的作用，因此利用反例可以轻而易举地否定一些著名命题.1640年法国数学家费尔玛猜测所有形如Fn=2+1（n为非负整数）型的数都是素数，验证F=3，F=5，F=17，F=257，F=65537都是素数，因此，当时谁都不知道费尔玛的猜测是否正确，直到1732年，瑞士大数学家欧拉指出F5=641×6700417，从而一举推翻了费尔玛猜想.
二、构造独特的解题模式，寻找矛盾
构造反例在证伪过程中起到了巨大的作用，而且构造反例是培养学生创造性思维能力的重要途径之一，因此教学中应予以足够的重视.如何构造反例呢？选择特殊值、极端情形或相反情形，常常可使所举反例简洁且易于构造，—般构造反例解题的模式是：
问题条件特点解析→（选择特殊值极端相反情形）→构造反例→（得出结论）→原命题不真.
我们经常使用的反证法，是首先假定所要证明的结论不成立，然后在这个假定下进行一系列符合逻辑的推理，直到得出一个矛盾的结论，并据此推翻原先的假定，从而确认所要证明的结论成立.其中，寻找矛盾是证题过程的核心所在，而揭露矛盾的一个有效方法，就是构造反例.
所以在由这些线段所组成的三角形中必有锐角三角形.
三、探寻问题的错误所在，深化理解
在中学数学教学过程中，教师不仅要能够运用正确的例子深刻诠释知识点，而且要能够运用一些恰当的反例从另一个角度紧抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，进而加深学生对知识的理解，让他们留有深刻的印象.比如，中学数学知识中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等，对于刚接触的人来说，对它们的认知常常模糊不清.在教学这些知识点的时候，假如从正面阐述，那么学生就很难理解，如果结合一些反例论述，效果就会事半功倍.
（一）有利于帮助掌握定理、公式和法则
例3：若a=A，b=B，那么（a+b）=A+B，反之，可否成立？
解析：反之不成立.如果直接说明难以入手，而举出反例论述，就可以使学生记忆深深刻.例如：a=+n，b=-n，显然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.
例4：二项式定理的教学中，刚接触者常习惯于记忆通项公式T=Cxa对于形似（3a-4b）的式子，因而认为它的第四项系数是C，这显然是“误入歧途”，实际上应该是C3·（-4）.
（二）有利于正确指出错误
对学生解题中的错误必须及时予以纠正.偶然性的错误，要求学生仔细思考，让他们自己作出改正或补充；原则性的错误，要求学生明白错误的原因，直到弄懂为止，而指出错误最为有效的办法之一便是举出反例.
例5：在平面幾何中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这个定理中“平行”二字常常被“忽略不计”.这也可举一个反例，举一个四边形ABCD，两对角线AC⊥BD，但要证明它不是菱形，这样就可以促使学生深入理解定理中“平行”二字的重要性.
又如，设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远的距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
这是一道高考题，解法颇多，在此我们不加以赘述.下面用反例法剖析一种常见的解题错误.
反例在驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误上有着重要作用，它有助于学生正确掌握题解方法.面对一个问题的解答，可运用反例检验答案是否正确，假如发现不对，就能够引导我们探寻错误的原因.
式并不等价，尽管满足前者时，也能满足后者，但满足后者时，却不能满足前者，所以是错误的，答案应为-5
参考文献：
[1]吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造[J].牡丹江教育学院学报，2008，3.
[2]曹玉升.反例在高等数学教学中的作用及构造[J].漯河职业技术学院学报，2009，2.
[3]孟凡朋.浅谈初中数学教学中反例教学的重要性[J].数学学习与研究，2010，02.
[4]陈尔彬.反例与中学数学教学[J].课程教材教学研究（中教研究），2010，Z1.
[5]胡志祥.应用反例提高素养[J].内蒙古教育，2010，4.