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(格尔木市一中 青海 格尔木 816000)
摘要：在全面推进素质教育的今天，教育发展和人才培养的核心问题是什么？从当前的实际情况看，实施素质教育，应着力培养学生的创新精神，因为创新能力关系到我们民族的兴衰，而缺乏创新精神的民族是没有希望的。而且，新课标中也要求教师把创新精神放在重要的位置。因此，作为教师，应在培养学生创新精神上下功夫，而在实际的教学中教师应如何培养学生的创新精神？
关键词：创新能力；素质教育；倾听
In the mathematics teaching of senior high school,
how development the innovation of the student ability
Shen Ning
Abstract：At overall push forward education for all-round development of today, education development and talented person development of what be the core problem ?From current of actual the circumstance see, implement education for all-round development, should put forth effort development the student's frontier spirit, because of innovation ability relation arrive the rise and fall of our race, but lack the race of frontier spirit is to be not hopeful.And, new in the lesson mark also request the teacher put frontier spirit at importance of position.Therefore Be a teacher, should at development student frontier spirit top put forth effort, but in actually of the teaching teacher what if development the student's frontier spirit?
Key words：Innovation ability；Education for all-round development；Listen to
在高中数学教学中，如何培养学生的创新能力，如何更有效的培养学生？这些都应当深入研究高中生现有的思维特征，而目前高中学生的思维主要有如下几个特征：
运用理论假设进行思维，且思维具有更强的预见性。
对思维的自我意识和监控能力显著增强。
思维的创造性提高。
辨证思维迅速发展。
思维的完整结构基本形成，并趋于稳定。
鉴于以上这些高中学生的思维特征，我们在具体的实施教学过程中，如何更好地培养学生的创新思维？笔者认为可以从以下几点进行思考：
1．创设创新的气氛和环境
教师要帮助学生自主学习，独立思考，保护学生的探索精神和创新思维，创设轻松、愉快、活跃的气氛，为学生禀赋和潜能的充分开发营造宽松的环境。宽松、和谐、自由、平等、竞争的环境，利于激发学生的思维和灵感，易于知识的新创，例如我们在学习完两角和的公式
之后，可以尝试先提出问题：如何进一步求出 ，分小组进行解答，让他们在讨论中得出结果，只要令上面的式子中 时即可；再者在教新课时，先放手让他们根据已学的知识，加上自己的推想，把要学的知识先解答出来，然后各自发表自己的思维推理过程，在具体实施方面又要做到以下几点：
首先，应极力避免引起学生害怕的心理压力。制造和谐宽松的气氛，自由的环境，害怕会阻碍学生通向新的思维，不利于发现和创新。
其次，教学中要创造一种平行、民主的师生关系，使教学相长，促进创新能力的发展。若教师的创设意识淡薄，制造出不平等、不民主的师生关系，则无益于学生创新能力的培养。
第三，跨世纪的学生，应具有强烈的竞争意识和竞争能力。知其然而后能自强，如果学生从小就不具有竞争意识和竞争能力，则很难适应形势的发展。
2．树立创新的信心和勇气
要使学习获得成功，首要的是树立信心和勇气，创造能力的培养也是如此，在教学中，教师要重视学生自信心的培养，还要注意爱护和培养学生的好奇心，求知欲，对一些学生提出的一些怪想法、不要训斥，轻易否定，那些看起来似乎很奇怪的，出乎老师意料之外的想法或问题，正是学生一瞬间产生的实现创造性思维的火花，学生有勇气和信心战胜困难，勇于创新，这本身就是创造发明的良好开端。
例如在圆锥曲线这一章节的教学中，在讲授完椭圆、双曲线、抛物线后，有的学生就会提出这样的问题：既然在这三中曲线中，只有双曲线有渐近线，我们可以利用渐近线画图，那么能否利用渐近线去解决一些问题呢？这时我们就可以借机启发学生，渐近线是两条直线，那么在直线中斜率是很重要的，在画图的过程中，我们发现双曲线的开口大小是随着渐近线的斜率而变化的，所以就可以利用渐近线的斜率来判断一条直线与双曲线的交点问题，一个本来是二元二次的问题在此就被轻松的解决了。
在创新中应面向全体学生，并关照个别差异。并非只有好学生才有能力开展创新，应该给每一个学生参与创新的机会。尤其是那些在班级或小组中较少发言的学生，应给予他们特别的关照和积极的鼓励，使他们有机会、有信心参与到创新中来。
在小组合作开展创新活动时，教师要注意观察学生们的行为，防止一部分优秀的探究者控制和把持着局面，要注意引导同学们注意让每一个人都对探究活动有所贡献，让每一个学生分享和承担探究的权利和义务。
例如下面这道高中数学应用知识竞赛题：某超级市场之前一直以商品九八折优惠的方法吸引顾客。最近该超级市场采用了新的有奖销售的促销手段，具体办法是：有奖销售活动自2004年2月8日起，发奖券10000张，发完为止；顾客每累计购物满400元，发奖券1张；春节后持奖券参加抽奖。特等奖2名，奖3000元(奖品)；一等奖10名，奖1000元(奖品)；二等奖20名，奖300元(奖品)；三等奖100名，奖100元(奖品)；四等奖200名，奖50元(奖品)；五等奖1000名，奖30元(奖品)。试就超级市场的收益，对该超级市场前后两种促销办法进行分析比较。
对这两种促销方法的比较分析，学生主要从以下三种途径入手：1.从总收入入手；2.从收益率入手；3.从每万元商品销售款的利润入手。在分析之后会发现不管从那种途径入手，有奖销售所获得的利润总大于打折销售。
在这种特定的思维环境下，他们还想得更多更远：例如①一些学生提出了这样的问题：若销售额不足400万，情况又如何呢？②还有一些学生提出，商场提供的奖品即商品，商品的价值72000元，但商场的实际支出不到72000元；③另有不少同学指出，奖券的发放是以每400元为单位的，而商品的实际价格不一定都刚好是400元，所以一张奖券发出，商场的实际销售额远不止400元。④从顾客的心理上讲，有奖销售的吸引力也往往胜于打折销售。 从以上讨论我们可以看到，学生是很有头脑的，考虑问题也是很周全的，他们关心市场经济，也渴望对生活实际有更多的接触和了解，这对我们今天的数学教学也有很大的启发，有许多问题值得好好反思。
当然，对于某些有特殊学习困难的学生和那些有特殊才能的学生，还要考虑利用其他时机(如课外兴趣活动，也可通过研究性学习、学科竞赛辅导及校本课程等等)给予他们一些专门适合他们水平和需要的任务。
3．培养学生自己动手的能力，开展多种创造性的活动
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生学习成绩比一起学习的美国学生好得多，然而，十年后，科研成果却比人家少得多，原因何在？就在于美国的学生思维活跃，动手能力和创新能力强。因此，我们的教育应向美国吸取一些好的方法，多给学生一些自由时间，让学生多做一些创造性的工作，教师要让学生积极参与课堂，开动脑筋，拓宽思维，并发现自己在分析问题，解决问题时正确认识不足之处。例如，在讲解问题时，尽量让学生能一题多解，又或者把原题改题，编题，变题等于灵活变通，如下面这道例题：已知a、b、c、d 求证：
这道试题可以采用一般的解题思路(如分析法、综合法、比较法等等)解题，也可利用向量的方法解决：只要令 ，又因为 即可推得。由此可见一道试题采用不同的解题方法，会增强学生对新知识的理解程度和探索新知识的兴趣，这个过程不仅训练了学生的直觉思维和简单的逻辑思维能力。也培养了学生对事物认识的独创性和跳跃性思维品质。除此外，还应培养学生动手动脑的创造能力，如进行小制作、小发明，并经常表扬学生的劳动成果，这样，就能激发学生的创造发明欲望。提高学生动手操作能力。
4．在创新中教师要充分的倾听学生
由于学生的经验与知识背景的缺少，由于教师的专业出身和经验阅历，在学生交流探究感受与体验的过程中，由于教师的参与，整个研讨过程发生了令人兴奋的喜剧性变化。
教师要重视学生自己对各种现象的理解(学生的个人知识)，首先倾听他们现在的想法，洞察他们这些想法的由来，并鼓励学生之间相互交流和质疑，了解彼此的想法，以此为根据，引导学生彼此丰富和调整自己的理解。有一种十分重要的教育理念，叫“倾听着的教育”，强调不仅要让“学生倾听教师”，更强调首先要“教师倾听学生”。应该说，这是十分重要的教育新理念，十分深刻，应引起广泛的重视。因为“教育的过程是教育者与受教育者相互倾听与应答的过程。……倾听受教育者的叙说是教师的道德责任。”
在倾听学生发言的过程中，教师能敏锐地发现学生理解上的偏差、学生的疑惑、学生经验背景中已经拥有和仍然缺乏的东西，从而判断学生理解到的深度，并决定需要由教师补充哪些有关知识。通过倾听学生，教师能准确地判断学生们是否已基本充分交流完他们所能想到和理解到的一切，从而果断地决定在何时介入讨论，以何种方式介入。通过倾听学生，教师还能对各学生的理解水平有一个大致的了解，从而判断由教师对知识的补充分析深入到什么程度是在学生的接受范围之内的。
实际上，正是通过倾听学生，通过关注学生的即时表现、学生的观点和发言，通过关注学生的行为，教师应对自己何时参与、如何参与做出决策：
例如在《数列》这一章的教学中，可放手让学生去探究课本的题目，在探究课本题目的过程中去质疑、去思考、去发现。这样做不仅能极大的激发学生学习数学的兴趣和热情，而且十分有助于学生素质的提高和能力的培养；同时也表明数学教学以课本为本才是根本。
如：已知一个等差数列前10项和是310，前20项的和是1220，求前30项的和。(高中数学第一册上P117例4)
可以尝试着让学生先去分析，提示从不同的角度入手思考，可以得到不同解法。放手让学生去思考讨论，去发现创造。充分调动学生的探究热情，使学生积极的投入到解法的探索中去。下面是同学们在探究的过程中给出的解法：
解法一：由 及条件可求得 ，所以 从而 这的确是一种非常好的解法，抓住了等差数列的基本量 ，通过列方程，解方程，进而求出结果。这正是我们学习数列要深刻体会的思想和方法，应牢固掌握。
如果不先去求 也可以求出 。解法二：设 ,则可求得：A=3,B=1所以 。此法抓住了等差数列前n项和公式的本质特征，灵活运用公式，突出方程观点，抓住了问题的本质，对公式的认识很深刻。甚至有的学生给出了下面的这种解法，解法三：因为 从而可进一步求得 。妙啊!此法灵活运用了等差数列的性质及另外的求和公式，构思精巧令人叫绝。该同学对本题的认识深刻而到位，思维灵活。这一解法我倒没有想到，真是青出于蓝啊!在这种思维的启发下，学生们探究问题的兴趣和热情就会愈发高涨，大家积极思考，并给出下面解法，解法四：可以证明 成等差数列所以
把 代入解得 并给出一般结论：若数列是等差数列，则 成等差数列。(证明略)非常好!这一结论反映了等差数列的一个性质。用它处理有关问题简洁而明快。我们把它叫作“该生定理”吧!看来探究是没有止境的,还有更好的解法吗？从上面的解法中我们可以看到学生思维的火花是非常绚丽多彩的。
5．在创新中正确处理学生自主与教师指导
创新学习强调学生的自主性，但并不忽视教师的指导。应该特别强调教师适时的、必要的、谨慎的、有效的指导，以追求真正的有所收获，包括增进对世界的认识和学生创新素质的不断提升，从而使学生的实践能力得到不断地提高和完善。学生逐渐从自发的行为到采取有条理的态度，从漫无目的地发问到选择性地提出问题，从单纯地依赖感官到使用多种工具，从毫无规则的观察到更为合理、井然有序的研究，从迷恋到努力和精确严谨，从被魔力吸引到快乐地学习知识。无论哪个阶段或水平的探究都可能伴随有疑惑、阻力、障碍、专注、紧张、艰辛、兴奋、喜悦或激动，但都绝不只是轻松和愉快。
问题是：教师如何指导学生的创新？即：创新的进度能否由教师预先确定或设计；是否应该先给学生一段时间让他们自主地开展非指导性的学习；在创新的学习过程中学生自主活动的重点是什么，教师重点指导哪些方面；如何引导，何时介入，介入多少；哪些指导是必要的，怎样指导才算充分了；何时需要提供背景资料或有关信息，何时传授相应的准备性知识，何时推荐学生阅读教科书，或向图书馆、互联网、成人求助？要知道，在实际教学中，教师常常介入得过早(学生还没有充分地自主思考多长时间)，以致阻碍了学生本可以自主发现的机会(“差一点我们就要找到答案了！”)，有时则介入过晚以致让学生过久地处于无助状态之中。教师的指导常常根本不必要、不应该，以致剥夺了学生在尝试错误中学习的机会；有时指导又不够充分，以致学生感到手足无措。
例如在高一数学《函数的应用举例》中的拟合函数的教学中，由于考虑到高一的学生有旺盛的求知欲，正经历从以形象思维为主向，以抽象思维为主的转变期，又进一步学习了函数的概念，对函数有了更深的了解，且基本知道一次函数、二次函数、反比例函数等一些简单初等函数的图象与性质。选取比较贴近学生知识情况的问题进行教学：本课属于函数应用的内容，教材上有数据拟合的初步介绍，本课在课本的基础上就近发展了一些，但与学生的学习情况能接轨。此课前的学习中，学生已体验过二个变量间关系(一次关系、二次关系)的发现过程。
例：某物体从静止开始作匀加速直线运动，则物体移动的路程S(米)与物体运动的时间t(秒)有一定的关系，我们通过实验可获知这种关系，我们得到如下数据：物体开始运动后，1秒内移动了0.5米;2秒内移动了2米;3秒内移动了4.5米;4秒内移动了8米.你能否根据这些数据确定S与t的关系式?
通过此例再现用数据拟合两个变量间关系探究方法的一般过程：
①采集数据?列表?在坐标系中描点;
②根据点的整体特征，描出两个变量的变化近似曲线，初步确定曲线的形状(抛物线)，选定函数的形式；
③用已知数据求出函数的解析式( )，并检验该解析式的合理性(用其余数据)。
从以上的分析可以看到，为适应当前形势的发展，走出困境，培养跨世纪的人才，就应从不断培养学生的创造性思维及学生的创新能力。
参考文献
[1]郑和均，邓京华，《高中生心理学》，浙江教育出版社，2004年版。
[2]James A. Middleton, Polly Goepfert著，伍新春，张洁等译，《数学教学的创新策略》，中国轻工业出版社，2003年版。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
摘要：在全面推进素质教育的今天，教育发展和人才培养的核心问题是什么？从当前的实际情况看，实施素质教育，应着力培养学生的创新精神，因为创新能力关系到我们民族的兴衰，而缺乏创新精神的民族是没有希望的。而且，新课标中也要求教师把创新精神放在重要的位置。因此，作为教师，应在培养学生创新精神上下功夫，而在实际的教学中教师应如何培养学生的创新精神？
关键词：创新能力；素质教育；倾听
In the mathematics teaching of senior high school,
how development the innovation of the student ability
Shen Ning
Abstract：At overall push forward education for all-round development of today, education development and talented person development of what be the core problem ?From current of actual the circumstance see, implement education for all-round development, should put forth effort development the student's frontier spirit, because of innovation ability relation arrive the rise and fall of our race, but lack the race of frontier spirit is to be not hopeful.And, new in the lesson mark also request the teacher put frontier spirit at importance of position.Therefore Be a teacher, should at development student frontier spirit top put forth effort, but in actually of the teaching teacher what if development the student's frontier spirit?
Key words：Innovation ability；Education for all-round development；Listen to
在高中数学教学中，如何培养学生的创新能力，如何更有效的培养学生？这些都应当深入研究高中生现有的思维特征，而目前高中学生的思维主要有如下几个特征：
运用理论假设进行思维，且思维具有更强的预见性。
对思维的自我意识和监控能力显著增强。
思维的创造性提高。
辨证思维迅速发展。
思维的完整结构基本形成，并趋于稳定。
鉴于以上这些高中学生的思维特征，我们在具体的实施教学过程中，如何更好地培养学生的创新思维？笔者认为可以从以下几点进行思考：
1．创设创新的气氛和环境
教师要帮助学生自主学习，独立思考，保护学生的探索精神和创新思维，创设轻松、愉快、活跃的气氛，为学生禀赋和潜能的充分开发营造宽松的环境。宽松、和谐、自由、平等、竞争的环境，利于激发学生的思维和灵感，易于知识的新创，例如我们在学习完两角和的公式
之后，可以尝试先提出问题：如何进一步求出 ，分小组进行解答，让他们在讨论中得出结果，只要令上面的式子中 时即可；再者在教新课时，先放手让他们根据已学的知识，加上自己的推想，把要学的知识先解答出来，然后各自发表自己的思维推理过程，在具体实施方面又要做到以下几点：
首先，应极力避免引起学生害怕的心理压力。制造和谐宽松的气氛，自由的环境，害怕会阻碍学生通向新的思维，不利于发现和创新。
其次，教学中要创造一种平行、民主的师生关系，使教学相长，促进创新能力的发展。若教师的创设意识淡薄，制造出不平等、不民主的师生关系，则无益于学生创新能力的培养。
第三，跨世纪的学生，应具有强烈的竞争意识和竞争能力。知其然而后能自强，如果学生从小就不具有竞争意识和竞争能力，则很难适应形势的发展。
2．树立创新的信心和勇气
要使学习获得成功，首要的是树立信心和勇气，创造能力的培养也是如此，在教学中，教师要重视学生自信心的培养，还要注意爱护和培养学生的好奇心，求知欲，对一些学生提出的一些怪想法、不要训斥，轻易否定，那些看起来似乎很奇怪的，出乎老师意料之外的想法或问题，正是学生一瞬间产生的实现创造性思维的火花，学生有勇气和信心战胜困难，勇于创新，这本身就是创造发明的良好开端。
例如在圆锥曲线这一章节的教学中，在讲授完椭圆、双曲线、抛物线后，有的学生就会提出这样的问题：既然在这三中曲线中，只有双曲线有渐近线，我们可以利用渐近线画图，那么能否利用渐近线去解决一些问题呢？这时我们就可以借机启发学生，渐近线是两条直线，那么在直线中斜率是很重要的，在画图的过程中，我们发现双曲线的开口大小是随着渐近线的斜率而变化的，所以就可以利用渐近线的斜率来判断一条直线与双曲线的交点问题，一个本来是二元二次的问题在此就被轻松的解决了。
在创新中应面向全体学生，并关照个别差异。并非只有好学生才有能力开展创新，应该给每一个学生参与创新的机会。尤其是那些在班级或小组中较少发言的学生，应给予他们特别的关照和积极的鼓励，使他们有机会、有信心参与到创新中来。
在小组合作开展创新活动时，教师要注意观察学生们的行为，防止一部分优秀的探究者控制和把持着局面，要注意引导同学们注意让每一个人都对探究活动有所贡献，让每一个学生分享和承担探究的权利和义务。
例如下面这道高中数学应用知识竞赛题：某超级市场之前一直以商品九八折优惠的方法吸引顾客。最近该超级市场采用了新的有奖销售的促销手段，具体办法是：有奖销售活动自2004年2月8日起，发奖券10000张，发完为止；顾客每累计购物满400元，发奖券1张；春节后持奖券参加抽奖。特等奖2名，奖3000元(奖品)；一等奖10名，奖1000元(奖品)；二等奖20名，奖300元(奖品)；三等奖100名，奖100元(奖品)；四等奖200名，奖50元(奖品)；五等奖1000名，奖30元(奖品)。试就超级市场的收益，对该超级市场前后两种促销办法进行分析比较。
对这两种促销方法的比较分析，学生主要从以下三种途径入手：1.从总收入入手；2.从收益率入手；3.从每万元商品销售款的利润入手。在分析之后会发现不管从那种途径入手，有奖销售所获得的利润总大于打折销售。
在这种特定的思维环境下，他们还想得更多更远：例如①一些学生提出了这样的问题：若销售额不足400万，情况又如何呢？②还有一些学生提出，商场提供的奖品即商品，商品的价值72000元，但商场的实际支出不到72000元；③另有不少同学指出，奖券的发放是以每400元为单位的，而商品的实际价格不一定都刚好是400元，所以一张奖券发出，商场的实际销售额远不止400元。④从顾客的心理上讲，有奖销售的吸引力也往往胜于打折销售。 从以上讨论我们可以看到，学生是很有头脑的，考虑问题也是很周全的，他们关心市场经济，也渴望对生活实际有更多的接触和了解，这对我们今天的数学教学也有很大的启发，有许多问题值得好好反思。
当然，对于某些有特殊学习困难的学生和那些有特殊才能的学生，还要考虑利用其他时机(如课外兴趣活动，也可通过研究性学习、学科竞赛辅导及校本课程等等)给予他们一些专门适合他们水平和需要的任务。
3．培养学生自己动手的能力，开展多种创造性的活动
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生学习成绩比一起学习的美国学生好得多，然而，十年后，科研成果却比人家少得多，原因何在？就在于美国的学生思维活跃，动手能力和创新能力强。因此，我们的教育应向美国吸取一些好的方法，多给学生一些自由时间，让学生多做一些创造性的工作，教师要让学生积极参与课堂，开动脑筋，拓宽思维，并发现自己在分析问题，解决问题时正确认识不足之处。例如，在讲解问题时，尽量让学生能一题多解，又或者把原题改题，编题，变题等于灵活变通，如下面这道例题：已知a、b、c、d 求证：
这道试题可以采用一般的解题思路(如分析法、综合法、比较法等等)解题，也可利用向量的方法解决：只要令 ，又因为 即可推得。由此可见一道试题采用不同的解题方法，会增强学生对新知识的理解程度和探索新知识的兴趣，这个过程不仅训练了学生的直觉思维和简单的逻辑思维能力。也培养了学生对事物认识的独创性和跳跃性思维品质。除此外，还应培养学生动手动脑的创造能力，如进行小制作、小发明，并经常表扬学生的劳动成果，这样，就能激发学生的创造发明欲望。提高学生动手操作能力。
4．在创新中教师要充分的倾听学生
由于学生的经验与知识背景的缺少，由于教师的专业出身和经验阅历，在学生交流探究感受与体验的过程中，由于教师的参与，整个研讨过程发生了令人兴奋的喜剧性变化。
教师要重视学生自己对各种现象的理解(学生的个人知识)，首先倾听他们现在的想法，洞察他们这些想法的由来，并鼓励学生之间相互交流和质疑，了解彼此的想法，以此为根据，引导学生彼此丰富和调整自己的理解。有一种十分重要的教育理念，叫“倾听着的教育”，强调不仅要让“学生倾听教师”，更强调首先要“教师倾听学生”。应该说，这是十分重要的教育新理念，十分深刻，应引起广泛的重视。因为“教育的过程是教育者与受教育者相互倾听与应答的过程。……倾听受教育者的叙说是教师的道德责任。”
在倾听学生发言的过程中，教师能敏锐地发现学生理解上的偏差、学生的疑惑、学生经验背景中已经拥有和仍然缺乏的东西，从而判断学生理解到的深度，并决定需要由教师补充哪些有关知识。通过倾听学生，教师能准确地判断学生们是否已基本充分交流完他们所能想到和理解到的一切，从而果断地决定在何时介入讨论，以何种方式介入。通过倾听学生，教师还能对各学生的理解水平有一个大致的了解，从而判断由教师对知识的补充分析深入到什么程度是在学生的接受范围之内的。
实际上，正是通过倾听学生，通过关注学生的即时表现、学生的观点和发言，通过关注学生的行为，教师应对自己何时参与、如何参与做出决策：
例如在《数列》这一章的教学中，可放手让学生去探究课本的题目，在探究课本题目的过程中去质疑、去思考、去发现。这样做不仅能极大的激发学生学习数学的兴趣和热情，而且十分有助于学生素质的提高和能力的培养；同时也表明数学教学以课本为本才是根本。
如：已知一个等差数列前10项和是310，前20项的和是1220，求前30项的和。(高中数学第一册上P117例4)
可以尝试着让学生先去分析，提示从不同的角度入手思考，可以得到不同解法。放手让学生去思考讨论，去发现创造。充分调动学生的探究热情，使学生积极的投入到解法的探索中去。下面是同学们在探究的过程中给出的解法：
解法一：由 及条件可求得 ，所以 从而 这的确是一种非常好的解法，抓住了等差数列的基本量 ，通过列方程，解方程，进而求出结果。这正是我们学习数列要深刻体会的思想和方法，应牢固掌握。
如果不先去求 也可以求出 。解法二：设 ,则可求得：A=3,B=1所以 。此法抓住了等差数列前n项和公式的本质特征，灵活运用公式，突出方程观点，抓住了问题的本质，对公式的认识很深刻。甚至有的学生给出了下面的这种解法，解法三：因为 从而可进一步求得 。妙啊!此法灵活运用了等差数列的性质及另外的求和公式，构思精巧令人叫绝。该同学对本题的认识深刻而到位，思维灵活。这一解法我倒没有想到，真是青出于蓝啊!在这种思维的启发下，学生们探究问题的兴趣和热情就会愈发高涨，大家积极思考，并给出下面解法，解法四：可以证明 成等差数列所以
把 代入解得 并给出一般结论：若数列是等差数列，则 成等差数列。(证明略)非常好!这一结论反映了等差数列的一个性质。用它处理有关问题简洁而明快。我们把它叫作“该生定理”吧!看来探究是没有止境的,还有更好的解法吗？从上面的解法中我们可以看到学生思维的火花是非常绚丽多彩的。
5．在创新中正确处理学生自主与教师指导
创新学习强调学生的自主性，但并不忽视教师的指导。应该特别强调教师适时的、必要的、谨慎的、有效的指导，以追求真正的有所收获，包括增进对世界的认识和学生创新素质的不断提升，从而使学生的实践能力得到不断地提高和完善。学生逐渐从自发的行为到采取有条理的态度，从漫无目的地发问到选择性地提出问题，从单纯地依赖感官到使用多种工具，从毫无规则的观察到更为合理、井然有序的研究，从迷恋到努力和精确严谨，从被魔力吸引到快乐地学习知识。无论哪个阶段或水平的探究都可能伴随有疑惑、阻力、障碍、专注、紧张、艰辛、兴奋、喜悦或激动，但都绝不只是轻松和愉快。
问题是：教师如何指导学生的创新？即：创新的进度能否由教师预先确定或设计；是否应该先给学生一段时间让他们自主地开展非指导性的学习；在创新的学习过程中学生自主活动的重点是什么，教师重点指导哪些方面；如何引导，何时介入，介入多少；哪些指导是必要的，怎样指导才算充分了；何时需要提供背景资料或有关信息，何时传授相应的准备性知识，何时推荐学生阅读教科书，或向图书馆、互联网、成人求助？要知道，在实际教学中，教师常常介入得过早(学生还没有充分地自主思考多长时间)，以致阻碍了学生本可以自主发现的机会(“差一点我们就要找到答案了！”)，有时则介入过晚以致让学生过久地处于无助状态之中。教师的指导常常根本不必要、不应该，以致剥夺了学生在尝试错误中学习的机会；有时指导又不够充分，以致学生感到手足无措。
例如在高一数学《函数的应用举例》中的拟合函数的教学中，由于考虑到高一的学生有旺盛的求知欲，正经历从以形象思维为主向，以抽象思维为主的转变期，又进一步学习了函数的概念，对函数有了更深的了解，且基本知道一次函数、二次函数、反比例函数等一些简单初等函数的图象与性质。选取比较贴近学生知识情况的问题进行教学：本课属于函数应用的内容，教材上有数据拟合的初步介绍，本课在课本的基础上就近发展了一些，但与学生的学习情况能接轨。此课前的学习中，学生已体验过二个变量间关系(一次关系、二次关系)的发现过程。
例：某物体从静止开始作匀加速直线运动，则物体移动的路程S(米)与物体运动的时间t(秒)有一定的关系，我们通过实验可获知这种关系，我们得到如下数据：物体开始运动后，1秒内移动了0.5米;2秒内移动了2米;3秒内移动了4.5米;4秒内移动了8米.你能否根据这些数据确定S与t的关系式?
通过此例再现用数据拟合两个变量间关系探究方法的一般过程：
①采集数据?列表?在坐标系中描点;
②根据点的整体特征，描出两个变量的变化近似曲线，初步确定曲线的形状(抛物线)，选定函数的形式；
③用已知数据求出函数的解析式( )，并检验该解析式的合理性(用其余数据)。
从以上的分析可以看到，为适应当前形势的发展，走出困境，培养跨世纪的人才，就应从不断培养学生的创造性思维及学生的创新能力。
参考文献
[1]郑和均，邓京华，《高中生心理学》，浙江教育出版社，2004年版。
[2]James A. Middleton, Polly Goepfert著，伍新春，张洁等译，《数学教学的创新策略》，中国轻工业出版社，2003年版。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文