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【摘要】关于套期保值的研究一直是学术研究的前沿，随着现代金融技术和计算技术的发展，对套期保值比率的计算精确性要求也越来越高。文章在传统的以最小方差为最优的套期保值模型研究的基础上，考虑金融市场中变量间相依结构的非线性与时变性以及确定变量边缘分布类型不准确可能带来的误差等问题，建立了基于核密度估计的时变copula函数模型，计算了上海期货交易所铜期货与铜现货的套期保值比率，实证表明，文章建立的模型计算得到的套期保值比率更为精准。
【关键词】核密度估计 时变copula 最小方差套期保值
一、引言
在采用Copula函数建立金融模型前[1-3]，首先需要确定模型中变量的边缘分布，常用方法有：通过经验分布、拟合优度检验方法、GARCH模型建立边缘分布函数[4-5]，在大多数的金融模型中变量的边缘分布是不能确定其分布类型的，这就影响了使用参数估计方法计算变量的边缘分布的准确性。核密度估计方法是解决统计问题中样本分布密度函数拟合的一类非参数统计方法，不需要事先确定变量边缘分布的分布类型。在独立同分布的情况下，由核函数得到的核估计量具有逐点渐进无偏性，一致渐进无偏性，均方相合性，依概率一致收敛性等特点。因此基于密度核估计建立的copula函数金融模型既考虑了提高金融模型的实用性也考虑了copula模型建立中变量边缘分布确定的问题。
传统的最小方差套期保值模型在实际应用中忽略了变量之间的时变与非线性特性[6-7]。在计算套期保值比率时，尤其是在金融市场上，采用历史的相关系数与采用时变相关系数所得到结果的偏差可能会是很大的。为此文章研究基于密度核估计建立的时变copula函数在以最小方差为目标的套期保值模型上的应用，并且在对铜期货与其现货进行套期保值的实证研究中，通过比较在文章研究套期保值模型，完全套期保值模型和传统最小方差套期保值模型下分别得到的套期保值比率的优劣，检验文章研究套期保值模型的有效性。
二、核密度估计
（一）核密度估计概述
核密度估计是解决统计问题中样本分布密度函数拟合的一类非参数统计方法[8]。对于从样本总体X中抽取的独立同分布的样本，x1，x2，…xn，X有未知的密度函数f（x），如果存在h>0为给定的常数，概率密度函数k（x）满足：
1.■|k（x）|dx<+∞；2.■xk（x）=0；3.k（-x）=k（x）；4.■k（x）=1
那么可以得到parzen核估计形式为：
f（x）=■■k■ （1）
上式中，k（x）为核函数，n为样本容量，hn为与n有关的正的光滑参数，也称为窗宽。核密度估计的实质是对样本点施加不同的权数，用加权来代替通常的记数，核函数即为权函数。该估计利用数据点xi到x的距离x-xi来决定xi在估计点x的密度时起的作用。离x越近的点加的权越大。
（二）核函数与窗宽的选择
核函数k（x）与窗宽hn的选择对核估计的准确性有很大的影响。核函数的选择一般根据距离分配各个样本点对密度贡献的不同。考虑核密度估计中核函数与窗宽大小的选择问题，一般的来讲当样本容量足够的时候，核函数都能保证密度估计的稳定相合性。所以这里选择一般情况下的高斯核函数，形式为：
K（u）=■e■-∞ 窗宽的大小随样本容量的增大而减小，但是当窗宽取值越小，核估计的偏差越小，但随机干扰越大，核估计的方差越大。窗宽取值越大，核估计的方差变小，但核估计的偏差却增大，估计曲线又越光滑而失去其特性。因而，最佳窗宽选择的标准必须在核估计的偏差和方差中进行权衡。由此，对于hn的选择可以从均方误差寻找信息。
假定总体的密度函数f满足条件f"（x）在（-∞，∞）上有界且处处连续。又设核函数K为概率密度函数，满足条件：
k1=■uK（u）du=0
k3=■u2K（u）du<∞
可以证明：
MSE（fn（x））
=E[fn（x）-f（x）]2
=■[f"（x）]■k■■h■■+（nh■）■f■（x）■K■（u）du■+高阶无穷小项（3）
故上式主要部分是前两项之和。为了使其到达最小，应取：
hn=f（x）■k■■（u）du/（k■f"（x））■■n■=cn■ （4）
随着n的增加，估计量的偏差MSE（fn（x））最多可以用的速度收敛到零，而为了达到这个速度，hn必须以n-1/5的速度趋于零。最佳的理论窗宽为hn=cn-1/5，c是一个待估的常数。最佳的窗宽的选择在实际应用中是不断地调整c，使核估计达到满意的估计结果。大量的实证研究表明，高斯核函数的经验理论最佳窗宽为1.06σn■。
三、基于时变Copula的最小方差套期保值比率模型
（一）二元正态时变Copula函数
常用的二元Copula函数中，二元正态copula用于描述两个变量的相关结构，具有对称性和尾部渐进独立性；Gumble Copula函数具有非对称性，对于上尾处的变化比较敏感也就是对变量在分布上尾处波动的相关系数捕捉迅速；Clayton Copula同样具有非对称性，对变量在分布下尾处的变化比较敏感；Frank Copula函数具有对称性，并且可以描述变量间的负相关关系，变量在此函数分布的尾部是渐进独立的。针对经济市场形势，不能确定对于国内金融市场牛熊市的区分，因此文采用二元正态Copula函数文章研究模型，其分布函数为：
C（μ，v；ρ）=■■■exp■drds （7）
其中，ρ是φ-1（μ）和φ-1（v）的线性相关系数，可以是常相关参数，可以是时变相关参数。
实际情况中，变量间的相关关系受外部环境变化的影响，一般是动态变化的，尤其是在金融市场中。Goorbergh，Genest和Werke（2003）在研究多元期权定价时指出，以线性相关系数来研究相关性会忽略相关结构的变化，因此时变相关的copula模型的引入能好的解决资产收益之间相关结构的动态变化。因此考虑到变量间随时间变化的相关系数，这里假设ρ是时变参数。Patton（2001）提出使用类似于ARMA（1，10）来描述二元正态copula函数的时变参数[10]，形式为： ρ■=■ω■+β■ρ■+α■×■■φ■（u■）φ■■（v■） （8）
上式中■=■，这是为了保证ρ■在（-1，1）之间，ω■和β■和α■是常数。
（二）模型建立
套期保值比率是指持有的期货头寸大小与其风险暴露的现货头寸大小的比率。以最小方差为最优的套期保值比率是指期货合约与现货合约的组合资产的收益率方差最小时，期货合约与现货合约的比率，其形式为：
h=ρ*ρa/ρb （9）
h为最小方差套期保值比率，ρ为现货与期货收益率的相关关系，ρa，ρb分别为现货产品与对应的期货品种的收益率的标准差。
在基于核估计的时变Copula函数在套期保值上的应用，文章研究模型的建立过程主要有以下七步：
Step一，对得到的期货与现货的价格数据进行对数差分后得到对数收益率。
Step二，使用对数收益率的数据计算最优窗宽后，基于正态核函数，估计期货与现货对数收益率的概率密度值，然后对其进行概率积分转换得到对数收益率的边缘分布。
Step三，利用得到的收益率边缘分布数据，计算Copula函数的时变相关参数。
Step四，得到时变copula函数的相关参数数据后，估计出二元正态Copula函数的相关参数的时变模型。
Step五，基于估计的时变模型，预测下一阶段的Copula函数的相关参数。
Step六，建立基于时变Copula的最小方差套期保值模型，计算套期保值比率。
Step七，有效性检验。
四、实证研究
文章针对国内铜期货与现货的套期保值选取了从2010年1月04日至2012年4月16日上海期货交易所的每日铜期货收盘价格和上海金属网的每日铜现货价格，共470组数据。
首先将对原始的价格数据进行对数差分后得到铜期货与现货对数收益率的数据。基于正态核函数与经验最优窗宽得到对数收益率的核密度估计，进行概率积分转换后分别得到两个变量的边缘分布，概率积分转换后得到的对数收益率的边缘分布是服从[0，1]分布的。通过边缘分布的数据，以60个数据为样本容量利用matlab软件估计二元正态copula函数的时变相关参数，得到估计结果如下图：
图1 时变相关系数
通过对相关参数的估计结果观察可以知道，铜期货与现货的对数收益率的相关关系是具有时变性的，基于二元正态copula函数相关参数的时变模型，由此可以得到二元正态copula函数的时变参数模型：ρ■=
■-1.095194+4.072084ρ■+0.016814×■■φ■（u■）φ■■（v■）
（10）
其中■=■。
基于上式预测下一阶段的相关系数。那么可以得到时变copula函数的相关参数为0.6545。计算铜期货与现货的收益率的历史波动率，将得到的结果带入文章中套期保值的模型，那么可以得到套期保值比率为0.537。
五、有效性检验
文章研究的套期保值模型是以收益率的最小方差最优为目标，因此基于套保组合收益率的方差进行有效性的检验[11]。检验指标为：
H=1-■ （11）
其中σa为套保组合的收益率方差，σb为风险暴露资产的收益率方差，H为模型有效性的指标。可以看出来，H越接近于1，套保的资产波动性越小，套保模型越有效。
为了验证文章模型的有效性，分别计算了完全套期保值模型，传统最小方差模型和文章模型的有效性检验指标，得到结果如表2所示：
表2 模型有效性检验
通过表2的结果我们可以看到，文章研究的模型的有效性是优于传统最小方差模型与完全套保模型的。这说明了在传统最小方差模型中考虑时变性与非线性特点的影响所建立的文章研究模型是有效的，并且套期保值效果优于传统最小方差模型。
六、结论
传统的最小方差套期保值模型是基于线性相关关系的角度来研究套保比率，但是现实情况中，尤其是金融市场中，变量间的相关关系总是伴随着时变与非线性特性。文章基于传统最小方差模型引入基于核估计的时变copula函数，在套保比率中考虑了时变与非线性的特点建立了文章研究的套保模型。在关于铜期货与现货的套期保值实证研究中，文章研究的套保模型被证明了其套保效果是优于传统最小方差模型的。
参考文献
[1]Nelsen R，An Introduction To Copulas[M].New York：Springer，1999.
[2]韦艳华，张世英.金融市场相关程度与相关模式的研究[J].系统工程学报，2004，19（4）：355-362.
[3]张尧庭.连接函数（Copula）技术与金融风险分析[J].统计研究，2002，（4）：48-51.
[4]梁建峰，陈健平，刘京军.基于Copula-GARCH方法的LPM套期保值研究[J].系统工程学报，2011，26（5）： 636-641.
[5]韦艳华，张世英.金融市场的相关性分析—Copula-Garch模型及其应用[J].系统工程.2004（4）：7-12.
[6]Ederington L H.The hedging performance of the new future market[J].The Journal of Finance，1979，34（1）：157-170.
[7]Donald L.A note on the superiority of the OLS hedge ratio[J].Journal of Future Market，2005，25（11）：1121-1126.
[8]王星.非参数统计[M].北京：中国人民出版社.2005.
[9]韦艳华.Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究[D].天津大学博士学位论文.2004.
[10]Hans Manner，Olga Reznikova.survey on time-varying copulas[M].Germany.September 1，2010.
[11]王玉刚，迟国泰，杨万武.基于Copula的最小方差套期保值比率.系统工程理论与实践.Aug，2009，29（8）：1-10.
基金项目：2012年国家自然科学基金项目（No：71271227）；2009教育部人文社会科学研究项目基金资助（编号09YJCZH104）。
作者简介：刘曦（1989-），男，汉族，四川德阳人，就读于西南交通大学数学学院统计系，研究方向：时间序列。
【关键词】核密度估计 时变copula 最小方差套期保值
一、引言
在采用Copula函数建立金融模型前[1-3]，首先需要确定模型中变量的边缘分布，常用方法有：通过经验分布、拟合优度检验方法、GARCH模型建立边缘分布函数[4-5]，在大多数的金融模型中变量的边缘分布是不能确定其分布类型的，这就影响了使用参数估计方法计算变量的边缘分布的准确性。核密度估计方法是解决统计问题中样本分布密度函数拟合的一类非参数统计方法，不需要事先确定变量边缘分布的分布类型。在独立同分布的情况下，由核函数得到的核估计量具有逐点渐进无偏性，一致渐进无偏性，均方相合性，依概率一致收敛性等特点。因此基于密度核估计建立的copula函数金融模型既考虑了提高金融模型的实用性也考虑了copula模型建立中变量边缘分布确定的问题。
传统的最小方差套期保值模型在实际应用中忽略了变量之间的时变与非线性特性[6-7]。在计算套期保值比率时，尤其是在金融市场上，采用历史的相关系数与采用时变相关系数所得到结果的偏差可能会是很大的。为此文章研究基于密度核估计建立的时变copula函数在以最小方差为目标的套期保值模型上的应用，并且在对铜期货与其现货进行套期保值的实证研究中，通过比较在文章研究套期保值模型，完全套期保值模型和传统最小方差套期保值模型下分别得到的套期保值比率的优劣，检验文章研究套期保值模型的有效性。
二、核密度估计
（一）核密度估计概述
核密度估计是解决统计问题中样本分布密度函数拟合的一类非参数统计方法[8]。对于从样本总体X中抽取的独立同分布的样本，x1，x2，…xn，X有未知的密度函数f（x），如果存在h>0为给定的常数，概率密度函数k（x）满足：
1.■|k（x）|dx<+∞；2.■xk（x）=0；3.k（-x）=k（x）；4.■k（x）=1
那么可以得到parzen核估计形式为：
f（x）=■■k■ （1）
上式中，k（x）为核函数，n为样本容量，hn为与n有关的正的光滑参数，也称为窗宽。核密度估计的实质是对样本点施加不同的权数，用加权来代替通常的记数，核函数即为权函数。该估计利用数据点xi到x的距离x-xi来决定xi在估计点x的密度时起的作用。离x越近的点加的权越大。
（二）核函数与窗宽的选择
核函数k（x）与窗宽hn的选择对核估计的准确性有很大的影响。核函数的选择一般根据距离分配各个样本点对密度贡献的不同。考虑核密度估计中核函数与窗宽大小的选择问题，一般的来讲当样本容量足够的时候，核函数都能保证密度估计的稳定相合性。所以这里选择一般情况下的高斯核函数，形式为：
K（u）=■e■-∞
假定总体的密度函数f满足条件f"（x）在（-∞，∞）上有界且处处连续。又设核函数K为概率密度函数，满足条件：
k1=■uK（u）du=0
k3=■u2K（u）du<∞
可以证明：
MSE（fn（x））
=E[fn（x）-f（x）]2
=■[f"（x）]■k■■h■■+（nh■）■f■（x）■K■（u）du■+高阶无穷小项（3）
故上式主要部分是前两项之和。为了使其到达最小，应取：
hn=f（x）■k■■（u）du/（k■f"（x））■■n■=cn■ （4）
随着n的增加，估计量的偏差MSE（fn（x））最多可以用的速度收敛到零，而为了达到这个速度，hn必须以n-1/5的速度趋于零。最佳的理论窗宽为hn=cn-1/5，c是一个待估的常数。最佳的窗宽的选择在实际应用中是不断地调整c，使核估计达到满意的估计结果。大量的实证研究表明，高斯核函数的经验理论最佳窗宽为1.06σn■。
三、基于时变Copula的最小方差套期保值比率模型
（一）二元正态时变Copula函数
常用的二元Copula函数中，二元正态copula用于描述两个变量的相关结构，具有对称性和尾部渐进独立性；Gumble Copula函数具有非对称性，对于上尾处的变化比较敏感也就是对变量在分布上尾处波动的相关系数捕捉迅速；Clayton Copula同样具有非对称性，对变量在分布下尾处的变化比较敏感；Frank Copula函数具有对称性，并且可以描述变量间的负相关关系，变量在此函数分布的尾部是渐进独立的。针对经济市场形势，不能确定对于国内金融市场牛熊市的区分，因此文采用二元正态Copula函数文章研究模型，其分布函数为：
C（μ，v；ρ）=■■■exp■drds （7）
其中，ρ是φ-1（μ）和φ-1（v）的线性相关系数，可以是常相关参数，可以是时变相关参数。
实际情况中，变量间的相关关系受外部环境变化的影响，一般是动态变化的，尤其是在金融市场中。Goorbergh，Genest和Werke（2003）在研究多元期权定价时指出，以线性相关系数来研究相关性会忽略相关结构的变化，因此时变相关的copula模型的引入能好的解决资产收益之间相关结构的动态变化。因此考虑到变量间随时间变化的相关系数，这里假设ρ是时变参数。Patton（2001）提出使用类似于ARMA（1，10）来描述二元正态copula函数的时变参数[10]，形式为： ρ■=■ω■+β■ρ■+α■×■■φ■（u■）φ■■（v■） （8）
上式中■=■，这是为了保证ρ■在（-1，1）之间，ω■和β■和α■是常数。
（二）模型建立
套期保值比率是指持有的期货头寸大小与其风险暴露的现货头寸大小的比率。以最小方差为最优的套期保值比率是指期货合约与现货合约的组合资产的收益率方差最小时，期货合约与现货合约的比率，其形式为：
h=ρ*ρa/ρb （9）
h为最小方差套期保值比率，ρ为现货与期货收益率的相关关系，ρa，ρb分别为现货产品与对应的期货品种的收益率的标准差。
在基于核估计的时变Copula函数在套期保值上的应用，文章研究模型的建立过程主要有以下七步：
Step一，对得到的期货与现货的价格数据进行对数差分后得到对数收益率。
Step二，使用对数收益率的数据计算最优窗宽后，基于正态核函数，估计期货与现货对数收益率的概率密度值，然后对其进行概率积分转换得到对数收益率的边缘分布。
Step三，利用得到的收益率边缘分布数据，计算Copula函数的时变相关参数。
Step四，得到时变copula函数的相关参数数据后，估计出二元正态Copula函数的相关参数的时变模型。
Step五，基于估计的时变模型，预测下一阶段的Copula函数的相关参数。
Step六，建立基于时变Copula的最小方差套期保值模型，计算套期保值比率。
Step七，有效性检验。
四、实证研究
文章针对国内铜期货与现货的套期保值选取了从2010年1月04日至2012年4月16日上海期货交易所的每日铜期货收盘价格和上海金属网的每日铜现货价格，共470组数据。
首先将对原始的价格数据进行对数差分后得到铜期货与现货对数收益率的数据。基于正态核函数与经验最优窗宽得到对数收益率的核密度估计，进行概率积分转换后分别得到两个变量的边缘分布，概率积分转换后得到的对数收益率的边缘分布是服从[0，1]分布的。通过边缘分布的数据，以60个数据为样本容量利用matlab软件估计二元正态copula函数的时变相关参数，得到估计结果如下图：
图1 时变相关系数
通过对相关参数的估计结果观察可以知道，铜期货与现货的对数收益率的相关关系是具有时变性的，基于二元正态copula函数相关参数的时变模型，由此可以得到二元正态copula函数的时变参数模型：ρ■=
■-1.095194+4.072084ρ■+0.016814×■■φ■（u■）φ■■（v■）
（10）
其中■=■。
基于上式预测下一阶段的相关系数。那么可以得到时变copula函数的相关参数为0.6545。计算铜期货与现货的收益率的历史波动率，将得到的结果带入文章中套期保值的模型，那么可以得到套期保值比率为0.537。
五、有效性检验
文章研究的套期保值模型是以收益率的最小方差最优为目标，因此基于套保组合收益率的方差进行有效性的检验[11]。检验指标为：
H=1-■ （11）
其中σa为套保组合的收益率方差，σb为风险暴露资产的收益率方差，H为模型有效性的指标。可以看出来，H越接近于1，套保的资产波动性越小，套保模型越有效。
为了验证文章模型的有效性，分别计算了完全套期保值模型，传统最小方差模型和文章模型的有效性检验指标，得到结果如表2所示：
表2 模型有效性检验
通过表2的结果我们可以看到，文章研究的模型的有效性是优于传统最小方差模型与完全套保模型的。这说明了在传统最小方差模型中考虑时变性与非线性特点的影响所建立的文章研究模型是有效的，并且套期保值效果优于传统最小方差模型。
六、结论
传统的最小方差套期保值模型是基于线性相关关系的角度来研究套保比率，但是现实情况中，尤其是金融市场中，变量间的相关关系总是伴随着时变与非线性特性。文章基于传统最小方差模型引入基于核估计的时变copula函数，在套保比率中考虑了时变与非线性的特点建立了文章研究的套保模型。在关于铜期货与现货的套期保值实证研究中，文章研究的套保模型被证明了其套保效果是优于传统最小方差模型的。
参考文献
[1]Nelsen R，An Introduction To Copulas[M].New York：Springer，1999.
[2]韦艳华，张世英.金融市场相关程度与相关模式的研究[J].系统工程学报，2004，19（4）：355-362.
[3]张尧庭.连接函数（Copula）技术与金融风险分析[J].统计研究，2002，（4）：48-51.
[4]梁建峰，陈健平，刘京军.基于Copula-GARCH方法的LPM套期保值研究[J].系统工程学报，2011，26（5）： 636-641.
[5]韦艳华，张世英.金融市场的相关性分析—Copula-Garch模型及其应用[J].系统工程.2004（4）：7-12.
[6]Ederington L H.The hedging performance of the new future market[J].The Journal of Finance，1979，34（1）：157-170.
[7]Donald L.A note on the superiority of the OLS hedge ratio[J].Journal of Future Market，2005，25（11）：1121-1126.
[8]王星.非参数统计[M].北京：中国人民出版社.2005.
[9]韦艳华.Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究[D].天津大学博士学位论文.2004.
[10]Hans Manner，Olga Reznikova.survey on time-varying copulas[M].Germany.September 1，2010.
[11]王玉刚，迟国泰，杨万武.基于Copula的最小方差套期保值比率.系统工程理论与实践.Aug，2009，29（8）：1-10.
基金项目：2012年国家自然科学基金项目（No：71271227）；2009教育部人文社会科学研究项目基金资助（编号09YJCZH104）。
作者简介：刘曦（1989-），男，汉族，四川德阳人，就读于西南交通大学数学学院统计系，研究方向：时间序列。