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[摘 要] 分析学生数学解题出错的原因，是有针对性教学的前提，学生为什么会错呢？不能简单地认为学生不聪明、马虎，其背后有科学的成分，分析成因就是要找到症结之所在.
[关键词] 解题错因；概念；思维方法；解题能力
如何提升高中数学教学的效果，很多时候我们教师在“教”和“考”上下功夫，但是当学生出错后，却往往是灌输正确的解题方法，然后让学生订正，而这些错误在下次考试或作业中又出现了，为什么会这样？笔者认为我们对待学生的错误，只看到“錯”，却没有去分析学生为什么出错，即没有找到病根，如果我们每次都能去寻找学生出错的原因，就会发现学生出错的原因是很多的，不能简单地认为“我一样教的，为什么有同学能做对，这部分做错的学生就是差.” 不可否认，出错是“差”引起的，但是错误与正确到底有多少距离，差距在哪里呢？笔者认为这个错因有必要帮助学生写出来，借此来影响学生形成正确的数学学习习惯.
学生双基不牢
1. 不重视概念定义的学习
有相当一部分学生双基不牢根本原因就是不够重视概念本身的学习，由于不重视导致对概念的理解一知半解，不能很好地把握基本概念的本质属性，这样一旦遇到要运用概念的“定义”、“本质”来解决问题时，低级错误就马上出现了.
例1：a=0是复数z=a bi（a，b∈R）为纯虚数的________条件.
很多学生会错误地认为是“充要条件”，为什么会出现这样的错误？笔者认为这是由于这部分学生没有重视纯虚数概念的定义导致的，纯虚数a=0，b≠0，这类错误“顽疾”，一点就通，但往往因为对概念本身认识不全面导致错误反复出现.
2. 抽象概括能力不强
我们在学习数学时不难发现，数学的意蕴是通过多种方式表征和抽象出来的，尤其是符号与图像表征，需要我们学生有一定的概括、抽象能力，而且需要能够将几种表征方式互译，如若不然，很容易遇到不认识的符号，或理解错误，导致解题失败.
例2：设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，试判断下面几个命题的正误.
命题1：若m⊥α，nα，则m⊥n；
命题2：若mα，nα，m∥β，则α∥β；
命题3：若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，则n⊥β；
命题4：m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.
从学生判断的结果来看，五花八门，说明了学生对数学概念、定理的理解还不到位，抽象概括能力还有所欠缺.从本题的能力要求来看，学生要想正确解答，需要能够从多角度认识“数学语言”，尤其是要重视数学符号语言与文字语言之间的互译，如果不能将题目中给定的数学符号与学生大脑中的数学概念、定理的多重表征想联系并完成转化，则往往会出现判断错误.
此外，我们的数学知识具有整体性和系统性，在高中阶段学习的知识之间大多是相互联系着的，从新教材的编排来看，也特别注重概念、规律、方法间的联系，教材中的例题、习题就有这方面的渗透，对于学生而言如果没有建构数学知识体系的意识，则往往在解决有一定综合能力要求的数学问题时，出错就在所难免了.
解题思维受阻
除了知识缺失外，学生在解题过程中出现的思维障碍和受阻也是导致解题出错的重要原因，思维受阻势必导致解题失败. 解决数学问题需要学生有连贯的数学思维，有时甚至需要“顿悟”，什么是顿悟？就是学生在思考和解决问题时，本来较为迷茫，或按部就班，或原地打转，突然有了一种灵感，而且这种灵感背后的思维指向正确的解决途径，这种现象看似很神奇且具有偶然性，其实是学生知识、方法积累到一定程度后解题思维通畅的外在表现，而与之相反则是解题思维受阻.
例3：已知a≥2，求椭圆 =1离心率的取值范围.
学生在解决“例3”时，往往会由于在解题过程中缺乏“顿悟”，导致解题中断无法向前，这道题学生的思维容易堵在如下两个位置：（1）当学生得到e2=后，不知道该如何求值域了；（2）做到e2==-后没有及时将问题转化为二次函数，导致解题进程受阻.
例4：动点M（x，y）满足=2x y 2，求动点M的轨迹方程，并分析其轨迹是什么曲线？
这道题有相当一部分学生出错，笔者在统计学生出错答案并与学生访谈后发现大多是这部分学生思维品质不佳导致的，有部分学生不能看出表示的是（x，y）与（1，1）之间的距离，有部分学生则是没有将x y 2转变为·这一形式导致思维受阻.
当然，如果我们细致地分析导致学生解题过程中思维受阻的因素则是多方面的：（1）学生大脑在记忆方面，短时间记忆容量是有限的，而当前的教学模式下，学生每天接收到信息要远大于这个容量上限，对于擅长学习的学生往往能够通过合适的方式把大脑这一“容器”顺一顺，便于存储更多的信息与知识，在解题过程中借助于读题、审题的过程将题干信息与大脑中存贮的相关知识相匹配，衔接思维，促进问题解决，而对于“不擅长”学习的学生而言，则往往短时间记忆的内容杂，缺乏条理性，导致在数学习题解答过程中难以找到与问题相对应的知识、方法，思路受阻；（2）学生在学习数学知识、方法时，不同的学生掌握程度各异，有些学生的学习存在较大的缺陷，对同一个班级的学生而言，知识的广度是差不多的，但是单个知识掌握的缺陷越大，那么知识体系的漏洞就越大，相对而言，学生积累的知识越完整、丰富，其在数学解题过程中思维会越顺畅；（3）除了记忆力和知识掌握程度上的差异外，笔者认为思维品质的差异也是导致解题出现差异的原因之一，有些学生思维品质低下，表现在思维不够灵活性，不具有批判意识，容易思维定式等等，这些情况只要题目的情境稍微有所变化，则往往会因为找不到先前组织者而导致解题思维受阻.
解题的习惯不佳
与知识、能力相比，笔者认为解题的习惯也很重要，习惯差的学生思维也好不到哪里去，而且丢三落四，解题过程中错误不少，学生的解题习惯不佳表现在如下几个方面： 1. 缺乏解题后反思的意识
很多时候我们学生出错，只要回到思维的原点想一下就可以自我发现错误，并找到正确的解题方法，但是由于当前学生解题习惯比较差，盲目地应付作业，答题后根本不注重回头望，缺乏反思的意识导致即使某一类数学问题当时做得对，但是稍微变化一下就不会了，为什么会出现这样的情况？解题后反思，是对题干信息的再审读与思考，通过反思学生会主动地搜索有没有其他解决问题的方法，拓宽解决问题的思路，保证思维通畅.
2. 计算能力不强
与“想不到”，或思维受阻导致解题失败相比，还有一种情况让人感到遗憾，即由于学生计算能力不强，导致出現了“想得到却做不对、做不全”的现象，计算能力偏弱是当下数学学习的通病，为什么？因为相当一部分学生片面地认为计算能力不重要，认为计算仅仅是机械的劳动，不具有创新性和技术含量，“对而不全”的遗憾之错. 许多学生包括部分老师对计算都有一种错误的认识，认为计算是机械的并没有多大价值，在平时的训练中，有部分学生就理了理思路，然后就不继续做下去了，缺失很多计算训练的机会，其实计算是数学能力培养的基础，而且计算并非是机械的劳动，尤其是在作业和考试中，有些习题需要计算出关键量才能衔接思维.
3. 缺乏对解题具体过程的重视
平时，我们教师经常能够听到学生问：“这道题的答案是什么？”尤其是考试时，似乎学生仅仅只关心答案，其实这种习惯是不对的，我们应该引导学生注重解题过程，强调过程意识才能得到正确的结果，解题习惯不佳导致解题错误率居高不下的一个重要方面就是学生只对解题的结果特别关心，而不太注重对解题过程的理解.
例5：若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，求k的值.
笔者在作业批改中发现了这道题两种错解.
错解1：因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，即f（0）===0，得k=1.
错解2：因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1），即=-，得k=±1.
这两种错误都是学生思维习惯不佳导致的，一味地追求结果，而忽视了对概念本身含义的理解，错解1从奇函数的特性f（0）=0出发，但是学生在应用时却忽视定义域中是否一定含有0，错解2最终的答案是正确的，但是过程是有问题的，和错解1一样仍然没有考虑选择的特殊值是否在定义域之中，其实只要在解题过程中稍微反思即可避免这两种错误.
当然，学生数学解题出错的原因远不止本文所述，笔者撰写本文仅仅是为了提醒我们每一个数学教师要关注学生的解题过程，帮助学生找到出错的病因，让我们的例题讲解、作业布置、试卷讲评更高效.
[关键词] 解题错因；概念；思维方法；解题能力
如何提升高中数学教学的效果，很多时候我们教师在“教”和“考”上下功夫，但是当学生出错后，却往往是灌输正确的解题方法，然后让学生订正，而这些错误在下次考试或作业中又出现了，为什么会这样？笔者认为我们对待学生的错误，只看到“錯”，却没有去分析学生为什么出错，即没有找到病根，如果我们每次都能去寻找学生出错的原因，就会发现学生出错的原因是很多的，不能简单地认为“我一样教的，为什么有同学能做对，这部分做错的学生就是差.” 不可否认，出错是“差”引起的，但是错误与正确到底有多少距离，差距在哪里呢？笔者认为这个错因有必要帮助学生写出来，借此来影响学生形成正确的数学学习习惯.
学生双基不牢
1. 不重视概念定义的学习
有相当一部分学生双基不牢根本原因就是不够重视概念本身的学习，由于不重视导致对概念的理解一知半解，不能很好地把握基本概念的本质属性，这样一旦遇到要运用概念的“定义”、“本质”来解决问题时，低级错误就马上出现了.
例1：a=0是复数z=a bi（a，b∈R）为纯虚数的________条件.
很多学生会错误地认为是“充要条件”，为什么会出现这样的错误？笔者认为这是由于这部分学生没有重视纯虚数概念的定义导致的，纯虚数a=0，b≠0，这类错误“顽疾”，一点就通，但往往因为对概念本身认识不全面导致错误反复出现.
2. 抽象概括能力不强
我们在学习数学时不难发现，数学的意蕴是通过多种方式表征和抽象出来的，尤其是符号与图像表征，需要我们学生有一定的概括、抽象能力，而且需要能够将几种表征方式互译，如若不然，很容易遇到不认识的符号，或理解错误，导致解题失败.
例2：设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，试判断下面几个命题的正误.
命题1：若m⊥α，nα，则m⊥n；
命题2：若mα，nα，m∥β，则α∥β；
命题3：若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，则n⊥β；
命题4：m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.
从学生判断的结果来看，五花八门，说明了学生对数学概念、定理的理解还不到位，抽象概括能力还有所欠缺.从本题的能力要求来看，学生要想正确解答，需要能够从多角度认识“数学语言”，尤其是要重视数学符号语言与文字语言之间的互译，如果不能将题目中给定的数学符号与学生大脑中的数学概念、定理的多重表征想联系并完成转化，则往往会出现判断错误.
此外，我们的数学知识具有整体性和系统性，在高中阶段学习的知识之间大多是相互联系着的，从新教材的编排来看，也特别注重概念、规律、方法间的联系，教材中的例题、习题就有这方面的渗透，对于学生而言如果没有建构数学知识体系的意识，则往往在解决有一定综合能力要求的数学问题时，出错就在所难免了.
解题思维受阻
除了知识缺失外，学生在解题过程中出现的思维障碍和受阻也是导致解题出错的重要原因，思维受阻势必导致解题失败. 解决数学问题需要学生有连贯的数学思维，有时甚至需要“顿悟”，什么是顿悟？就是学生在思考和解决问题时，本来较为迷茫，或按部就班，或原地打转，突然有了一种灵感，而且这种灵感背后的思维指向正确的解决途径，这种现象看似很神奇且具有偶然性，其实是学生知识、方法积累到一定程度后解题思维通畅的外在表现，而与之相反则是解题思维受阻.
例3：已知a≥2，求椭圆 =1离心率的取值范围.
学生在解决“例3”时，往往会由于在解题过程中缺乏“顿悟”，导致解题中断无法向前，这道题学生的思维容易堵在如下两个位置：（1）当学生得到e2=后，不知道该如何求值域了；（2）做到e2==-后没有及时将问题转化为二次函数，导致解题进程受阻.
例4：动点M（x，y）满足=2x y 2，求动点M的轨迹方程，并分析其轨迹是什么曲线？
这道题有相当一部分学生出错，笔者在统计学生出错答案并与学生访谈后发现大多是这部分学生思维品质不佳导致的，有部分学生不能看出表示的是（x，y）与（1，1）之间的距离，有部分学生则是没有将x y 2转变为·这一形式导致思维受阻.
当然，如果我们细致地分析导致学生解题过程中思维受阻的因素则是多方面的：（1）学生大脑在记忆方面，短时间记忆容量是有限的，而当前的教学模式下，学生每天接收到信息要远大于这个容量上限，对于擅长学习的学生往往能够通过合适的方式把大脑这一“容器”顺一顺，便于存储更多的信息与知识，在解题过程中借助于读题、审题的过程将题干信息与大脑中存贮的相关知识相匹配，衔接思维，促进问题解决，而对于“不擅长”学习的学生而言，则往往短时间记忆的内容杂，缺乏条理性，导致在数学习题解答过程中难以找到与问题相对应的知识、方法，思路受阻；（2）学生在学习数学知识、方法时，不同的学生掌握程度各异，有些学生的学习存在较大的缺陷，对同一个班级的学生而言，知识的广度是差不多的，但是单个知识掌握的缺陷越大，那么知识体系的漏洞就越大，相对而言，学生积累的知识越完整、丰富，其在数学解题过程中思维会越顺畅；（3）除了记忆力和知识掌握程度上的差异外，笔者认为思维品质的差异也是导致解题出现差异的原因之一，有些学生思维品质低下，表现在思维不够灵活性，不具有批判意识，容易思维定式等等，这些情况只要题目的情境稍微有所变化，则往往会因为找不到先前组织者而导致解题思维受阻.
解题的习惯不佳
与知识、能力相比，笔者认为解题的习惯也很重要，习惯差的学生思维也好不到哪里去，而且丢三落四，解题过程中错误不少，学生的解题习惯不佳表现在如下几个方面： 1. 缺乏解题后反思的意识
很多时候我们学生出错，只要回到思维的原点想一下就可以自我发现错误，并找到正确的解题方法，但是由于当前学生解题习惯比较差，盲目地应付作业，答题后根本不注重回头望，缺乏反思的意识导致即使某一类数学问题当时做得对，但是稍微变化一下就不会了，为什么会出现这样的情况？解题后反思，是对题干信息的再审读与思考，通过反思学生会主动地搜索有没有其他解决问题的方法，拓宽解决问题的思路，保证思维通畅.
2. 计算能力不强
与“想不到”，或思维受阻导致解题失败相比，还有一种情况让人感到遗憾，即由于学生计算能力不强，导致出現了“想得到却做不对、做不全”的现象，计算能力偏弱是当下数学学习的通病，为什么？因为相当一部分学生片面地认为计算能力不重要，认为计算仅仅是机械的劳动，不具有创新性和技术含量，“对而不全”的遗憾之错. 许多学生包括部分老师对计算都有一种错误的认识，认为计算是机械的并没有多大价值，在平时的训练中，有部分学生就理了理思路，然后就不继续做下去了，缺失很多计算训练的机会，其实计算是数学能力培养的基础，而且计算并非是机械的劳动，尤其是在作业和考试中，有些习题需要计算出关键量才能衔接思维.
3. 缺乏对解题具体过程的重视
平时，我们教师经常能够听到学生问：“这道题的答案是什么？”尤其是考试时，似乎学生仅仅只关心答案，其实这种习惯是不对的，我们应该引导学生注重解题过程，强调过程意识才能得到正确的结果，解题习惯不佳导致解题错误率居高不下的一个重要方面就是学生只对解题的结果特别关心，而不太注重对解题过程的理解.
例5：若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，求k的值.
笔者在作业批改中发现了这道题两种错解.
错解1：因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，即f（0）===0，得k=1.
错解2：因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1），即=-，得k=±1.
这两种错误都是学生思维习惯不佳导致的，一味地追求结果，而忽视了对概念本身含义的理解，错解1从奇函数的特性f（0）=0出发，但是学生在应用时却忽视定义域中是否一定含有0，错解2最终的答案是正确的，但是过程是有问题的，和错解1一样仍然没有考虑选择的特殊值是否在定义域之中，其实只要在解题过程中稍微反思即可避免这两种错误.
当然，学生数学解题出错的原因远不止本文所述，笔者撰写本文仅仅是为了提醒我们每一个数学教师要关注学生的解题过程，帮助学生找到出错的病因，让我们的例题讲解、作业布置、试卷讲评更高效.