寻找分界点是解决分类讨论问题的关键所在.对于找分界点，就是先对所需分类的参数所代表的数的分界点，都先求出来，然后逐一分类写出.笔者通过几道近几年的高考题和竞赛题为例，谈谈它的应用.
　　例1（2014年新课标Ⅱ卷理21）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.
　　（1）讨论f（x）的单调性；
　　（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值.
　　分析本题是一道典型的导数分类讨论题，通常的做法是先求导确定g（x）的单调性，利用g（x）的单调性求出其最小值，进而得到关于b的不等式，再解出b的取值范围，最终确定b的最大值.问题的关键是怎样确定g（x）的单调性？思路虽然清晰，但实际运算比较复杂.
　　解（1）f′（x）=ex e-x-2≥0，仅当x=0时等号成立.所以f（x）在R上单调递增.（略）
　　（2）g′（x）=2f′（2x）-4bf′（x）=2（ex e-x-2）（ex e-x-2b 2）.
　　（Ⅰ）当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（-∞， ∞）单调递增，而g（0）=0，所以对任意x>0，g（x）>0；
　　（Ⅱ）当b>2时，若x满足2　　综上，b的最大值为2.
　　点评本题g（x）的单调性由ex e-x-2b 2的正负确定，因此b的“分界点”可以由方程ex e-x-2b 2=0提供，又b=ex e-x 22≥2，则b的“分界点”为2，又因为ex e-x-2b 2=0即（ex）2-（2b-2）ex 1=0，ex的2个值之积等于1，所以ex=（b-1）-（b-1）2-1<1，则x<0；ex=（b-1） （b-1）2-1>1，则x>0；所以对变量x而言，0又是“分界点”.准确地找到这些“分界点”可以将分类讨论问题“一剑封喉”，讨论分界点时一般采用先小后大的原则.
　　变式1（2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛11）设f（x）=loga（x-2a） loga（x-3a），其中a>0且a≠1.若在区间[a 3，a 4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范围.
　　（答案：a的取值范围（0，1））
　　我们再来看今年全国卷的一道压轴题，找分界点的思想在两问中都体现出来了.
　　例2（2016年高考新课标Ⅰ卷21）已知函数f（x）=（x-2）ex a（x-1）2.
　　（1）讨论f（x）的单调性；
　　（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
　　分析（1）先求导，得f ′（x）=（x-1）（ex 2a），再根据ex=-2a>0
　　ln（-2a）=1找到a的“分界点”为0，-e2，然后进行分类讨论确定f（x）的单调性；（2）借助第一问的结论，通过分类讨论函数单调性和最值的正负，确定零点个数，从而确定a的取值范围.
　　解（1）f ′（x）=（x-1）ex 2a（x-1）=（x-1）（ex 2a）.
　　（ⅰ）设a≥0，则当x∈（-∞，1）时，f ′（x）<0；当x∈（1， ∞）时，f ′（x）>0.
　　所以在（-∞，1）单调递减，在（1， ∞）单调递增.
　　（ⅱ）设a<0，由f ′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.
　　①若a=-e2，则f ′（x）=（x-1）（ex-e），所以f（x）在（-∞， ∞）单调递增.
　　②若a>-e2，则ln（-2a）<1，
　　故当x∈（-∞，ln（-2a））∪（1， ∞）时，f ′（x）>0；
　　当x∈（ln（-2a），1）时，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1， ∞）单调递增，在（ln（-2a），1）单调递减.
　　③若a<-e2，则ln（-2a）>1，
　　故当x∈（-∞，1）∪（ln（-2a）， ∞）时，f ′（x）>0，当x∈（1，ln（-2a））时，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，1），（ln（-2a）， ∞）单调递增，在（1，ln（-2a））单调递减.
　　（2）（ⅰ）设a>0，则由（1）知，f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1， ∞）单调递增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b满足b<0且b2a2（b-2） a（b-1）2=a（b3-32b）>0，所以f（x）有两个零点.
　　（ⅱ）设a=0，则f（x）=（x-2）ex，所以f（x）有一个零点.
　　（ⅲ）设a<0，①若a≥-e2，则由（1）知，f（x）在（1， ∞）单调递增.
　　又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点；
　　②若a<-e2，则由（1）知，f（x）在（1，ln（-2a））单调递减，在（ln（-2a）， ∞）单调递增.又当x≤1时，f（x）<0，故f（x）不存在两个零点.
　　综上，a的取值范围为（0， ∞）.
　　点评在第一问中采用分界点法一次性找出分类点，然后按照先小后大的原则逐一讨论解决；第二问讨论中嵌套讨论，这里有两个讨论的标准，第一个是函数单调性的分界点，第二个是最值正负的分界点，这时宜采用先整体后局部的原则，有些问题仅靠一次分类是不够的， 需要进行二级分类、三级分类等等.
　　变式2（2010年全国新课标文科21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.
　　（1）若a=12，求f（x）的单调区间；
　　（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围. 　　（答案：（1）f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0， ∞），减区间为（-1，0）.
　　（2）a的取值范围为（-∞，1]）.
　　找分界点思想在实践应用上，要求站在全局的高度统揽分类讨论的各种情况，再从小到大各段击破，或者先整体后局部覆盖式击破，不管采用哪种方式，都提醒我们一点，要揭示分类讨论过程中如何找分界点的.再看下面一道高考题是采用什么方法找分界点的？
　　例3（2010年全国新课标Ⅰ卷理科21题）设函数f（x）=ex-x-1-ax2.
　　（1） 若a=0，求f（x）的单调区间；
　　（2） 若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.
　　分析（1）先求导，得f ′（x）=ex-1，然后分情况讨论确定f（x）的单调区间；（2）借助第一问隐藏的结论ex≥1 x，将ex缩小为1 x后，再讨论一次函数（1-2a）x的正负，从而产生a的分界点为12，然后讨论确定f（x）的单调性和最值的正负，确定零点个数，最终确定a的取值范围.本题采用“二连环”将两问紧密联系在一起考，让很多考生“泪奔”！
　　解（1）a=0时，f（x）=ex-x-1，f ′（x）=ex-1.
　　当x∈（-∞，0）时，f ′（x）<0；当x∈（0， ∞）时，f ′（x）>0.
　　故f（x）的单调减区间为（-∞，0]，单调增区间为（0， ∞）.
　　（2）f ′（x）=ex-1-2ax，
　　由（1）知ex≥1 x，当且仅当x=0时等号成立.
　　故f ′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
　　从而当1-2a≥0，即a≤12时，f ′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
　　于是当x≥0时，f（x）≥0.由ex>1 x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.
　　从而当a>12时，f ′（x）　　故当x∈（0，ln2a）时，f ′（x）<0，而f（0）=0，
　　于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0.
　　综合得a的取值范围为（-∞，12].
　　点评本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与化归解题思想及其相应的运算能力.对于ex≥1 x这个结论，它其实来自于课本（人教A版选修2-2第三十二页习题13B组第1题（4））.另外，本题分界点的产生，除了代换，还可以令f ′（x）=ex-1-2ax=0y=ex-1
　　y=2ax二者相切时，有ex-1=2ax
　　2a=exx=0
　　a=12，再分段讨论求解.
　　变式3（2015年全国高中数学联赛福建预赛8）已知函数f（x）=ex（x-aex）恰有两个极值点x1，x2（x1　　（答案：a的取值范围为（0，12） ）.
　　对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，一般通过解方程、列方程求值域、画图像寻找参数的分界点，要注意找分界点的原则：无漏、有效、有序.要确保分界点分割的各段之间讨论无交叉，分类要完整.