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【摘要】： 数学从产生、发展至今， 已成为分支众多的学科， 复变函数就是其中一个非常重要的分支。从柯西算起， 复变函数论已有170 多年的历史，它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。同时，它也推动着一些学科的发展， 并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。本文将从复变函数的概念、起源及发展开始谈起，探究其蕴含的美学思想，主要包括自然归一之美、技巧灵活之美与应用广泛之美。
【关键词】：复变函数;美学;自然;技巧;应用
1.复变函数的概念、起源及发展
1.1复变函数的概念
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数论， 简称函数论。
1.2复变函数的起源
十六世纪中叶， 意大利卡尔丹（ Cardan，1545） 在解三次方程时， 首先产生了负数开平方的思想， 他把 40 看作与的乘积， 然而这只不过是一种纯形式的表示而已， 当时， 谁也说不上这样表示究竟有什么好处。为了使负数开平方有意义， 也就是要使上述这类方程有解， 我们需要再一次扩大数系， 于是就引进了虚数， 使实数域扩大到复数域 。但最初， 由于对复数的有关概念及性质了解不清楚， 用它们进行计算又得到一些矛盾， 因而， 长期以来， 人们把复数看作不能接受的“虚数”。
1.3复变函数的发展
到了十七、十八世纪，微积分的发展促进了复变函数的发展。在1774年，欧拉考虑由复变函数的积分导出两个方程，在这之前，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学的论文中也有所提及。这就是我们所学的“柯西-黎曼条件”。之后，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数之间的关系， 创立了复变函数论的一些基本定理， 并开始把它们用到水力学和地图制图学上， 用符號“i”作为虚数的单位，建立较为系统的复数理论。
在十九世纪，复变函数迎来了它的辉煌时期，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪， 复变函数的理论经过法国数学家柯西（ Cauchy） 、德国数学家黎曼（ Riemann） 和维尔斯特拉斯（ Weierstrass）的巨大努力， 已经形成了非常系统的理论， 并深刻地渗入到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支; 同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。
二十世纪以来， 复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面， 与数学中其它分支的联系也日益密切，致使经典的复变函数理论， 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且， 还开辟了一些新的分支， 如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外， 在种种抽象空间的理论中， 复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
2.复变函数自然归一之美
1851年，Cauchy 与Riemann随后在流体力学问题中研究了“D'Alembert—Euler”方程，并得到著名的“Cauchy —Riemann”条件，这个方程不仅可以判断一个函数是否可微（即像实函数那样“微分”）还给出了一个复变函数的求导方法，并且在流体力学、静磁学等物理问题中，能很好的描述并解释“场”的规律。因此“Cauchy —Riemann”方程的问世提升了复变函数的应用价值，复变函数可以方便的描述自然现象、是高度统一的，并具有公理化体系。此外，这个条件本身就是高度对称的，也很方便记忆。
Weierstrass及其学生Leffler、Poincare、Hadamard等人都不同程度上推动了复变函数的发展。他们将大量实函数中的性质推广到复变函数中。数学家补充定义了“无穷”这一重要概念，使复平面上的点都具有意义。但与实函数不同，复变函数始终是抽象的，例如负数之间无法比较大小、无法感知复数的存在等等。通过Euler、Cauchy、Riemann、沃尔斯特拉斯等人的努力，复数与三角函数、幂函数、指数函数、对数函数等初等函数相结合，更好的将抽象的复数融合到人们已知并熟悉的初等函数中，使“数”进一步统一。
经过近两个世纪的发展，复变函数是高度统一的理论框架，同时也是一个最真实“回归自然”本真的数学体系。它以无法感受的虚数“i”为基础，通过复平面表达出任意复数，是描述客观现象必不可少的数学工具。这套工具是简单的，缜密的，便捷的（例如用留数定理解决实函数中一些积分），真正全面的用“数”去认识自然，用复变函数体系来构成有序、可认知可理解的“描绘自然的方法”是和谐统一的，有返璞归真、回归自然之美。
3.复变函数技巧灵活之美
在众多数学学科分支中，复变函数的技巧之美又是十分显而易见的，尤其是在解决一些积分、微分问题时我们使用的各种积分变换的方法，将数学解题中的灵活的技巧之美表现地淋漓尽致。
关于在扩充复平面上仅有有限多个孤立奇点的解析函数有两条与留数有关的重要性质：①该解析函数沿某一条不过孤立奇点的简单闭曲线积分等于其在曲线内部全部孤立奇点的留数之总和乘以。②该解析函数关于全部孤立奇点的留数之总和为零。这两条性质正好与环流量的可叠加性及质量守恒定律相一致。
利用留数的性质以及它与积分的关系，我们可以通过将积分运算转化为留数的计算。
由此我们不难发现，运用留数定理来解决积分问题就避免了寻找一些复杂函数的原函数这一繁琐的过程，取而代之的是找到被积函数的所有奇点并求出其留数，即可根据留数定理很快的求得积分值。当然前提条件是被积函数满足运用留数定理的相关条件。
4.复变函数应用广泛之美：
利用Laplace变换，可以通过简单的变换求得电路的时域响应。通常，Laplace变换用于表示和分析连续时间和信号。这种变换比Fourier变换的应用领域更宽，或者说，一定程度上，Fourier变换是Laplace变换的特例。
使用Laplace变换及其逆变换处理单位阶越函数或单位脉冲函数可以直接求得电路时域时域响应。
另外的，用Laplace变换可以对复杂电路微分方程进行化简，对求解微分方程有很大贡献。
当激励源信号为非正弦交流信号时，可以用Fourier变换，将激励源“拆分”成正弦信号，再将所需正弦信号叠加，使频域分析更为逻辑化。
由复变函数所推广的每个公式、定理及其应用，都是对于描述客观世界有价值的。
Lobachevsky曾说：“人们不依赖世界的事物而试图从理性本身去引出数学的一切原理，对数学是没有用处的，而往往也不会被数学所证实。” 数学的概念、符号、公式并不是“人类理性的自由创造”，而是对客观现实的一种特殊的反映形式。科学（科学实验、理论、公式）之所以美，首先在于它能够把握客观实在，反映自然界的内在和谐。Einstein曾指出：“要是不相信我们的理论构造能够掌握实在，要是不相信我们世界的内在和谐，那就不可能有科学。”
参考文献：
[1]尹德玉，安莉，李海霞.复变函数起源简介[J].科教文汇.2008.6：191-01
[2]理查德·菲利普·费曼（Richard Phillips Feynman）.《费曼物理学讲义》.上海科学技术出版社.2005.6
[3]夏愛桃.复变函数论的物理意义及其在工程力学中的应用[J].数学学习与研究.2012.07
【关键词】：复变函数;美学;自然;技巧;应用
1.复变函数的概念、起源及发展
1.1复变函数的概念
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数论， 简称函数论。
1.2复变函数的起源
十六世纪中叶， 意大利卡尔丹（ Cardan，1545） 在解三次方程时， 首先产生了负数开平方的思想， 他把 40 看作与的乘积， 然而这只不过是一种纯形式的表示而已， 当时， 谁也说不上这样表示究竟有什么好处。为了使负数开平方有意义， 也就是要使上述这类方程有解， 我们需要再一次扩大数系， 于是就引进了虚数， 使实数域扩大到复数域 。但最初， 由于对复数的有关概念及性质了解不清楚， 用它们进行计算又得到一些矛盾， 因而， 长期以来， 人们把复数看作不能接受的“虚数”。
1.3复变函数的发展
到了十七、十八世纪，微积分的发展促进了复变函数的发展。在1774年，欧拉考虑由复变函数的积分导出两个方程，在这之前，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学的论文中也有所提及。这就是我们所学的“柯西-黎曼条件”。之后，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数之间的关系， 创立了复变函数论的一些基本定理， 并开始把它们用到水力学和地图制图学上， 用符號“i”作为虚数的单位，建立较为系统的复数理论。
在十九世纪，复变函数迎来了它的辉煌时期，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪， 复变函数的理论经过法国数学家柯西（ Cauchy） 、德国数学家黎曼（ Riemann） 和维尔斯特拉斯（ Weierstrass）的巨大努力， 已经形成了非常系统的理论， 并深刻地渗入到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支; 同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。
二十世纪以来， 复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面， 与数学中其它分支的联系也日益密切，致使经典的复变函数理论， 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且， 还开辟了一些新的分支， 如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外， 在种种抽象空间的理论中， 复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
2.复变函数自然归一之美
1851年，Cauchy 与Riemann随后在流体力学问题中研究了“D'Alembert—Euler”方程，并得到著名的“Cauchy —Riemann”条件，这个方程不仅可以判断一个函数是否可微（即像实函数那样“微分”）还给出了一个复变函数的求导方法，并且在流体力学、静磁学等物理问题中，能很好的描述并解释“场”的规律。因此“Cauchy —Riemann”方程的问世提升了复变函数的应用价值，复变函数可以方便的描述自然现象、是高度统一的，并具有公理化体系。此外，这个条件本身就是高度对称的，也很方便记忆。
Weierstrass及其学生Leffler、Poincare、Hadamard等人都不同程度上推动了复变函数的发展。他们将大量实函数中的性质推广到复变函数中。数学家补充定义了“无穷”这一重要概念，使复平面上的点都具有意义。但与实函数不同，复变函数始终是抽象的，例如负数之间无法比较大小、无法感知复数的存在等等。通过Euler、Cauchy、Riemann、沃尔斯特拉斯等人的努力，复数与三角函数、幂函数、指数函数、对数函数等初等函数相结合，更好的将抽象的复数融合到人们已知并熟悉的初等函数中，使“数”进一步统一。
经过近两个世纪的发展，复变函数是高度统一的理论框架，同时也是一个最真实“回归自然”本真的数学体系。它以无法感受的虚数“i”为基础，通过复平面表达出任意复数，是描述客观现象必不可少的数学工具。这套工具是简单的，缜密的，便捷的（例如用留数定理解决实函数中一些积分），真正全面的用“数”去认识自然，用复变函数体系来构成有序、可认知可理解的“描绘自然的方法”是和谐统一的，有返璞归真、回归自然之美。
3.复变函数技巧灵活之美
在众多数学学科分支中，复变函数的技巧之美又是十分显而易见的，尤其是在解决一些积分、微分问题时我们使用的各种积分变换的方法，将数学解题中的灵活的技巧之美表现地淋漓尽致。
关于在扩充复平面上仅有有限多个孤立奇点的解析函数有两条与留数有关的重要性质：①该解析函数沿某一条不过孤立奇点的简单闭曲线积分等于其在曲线内部全部孤立奇点的留数之总和乘以。②该解析函数关于全部孤立奇点的留数之总和为零。这两条性质正好与环流量的可叠加性及质量守恒定律相一致。
利用留数的性质以及它与积分的关系，我们可以通过将积分运算转化为留数的计算。
由此我们不难发现，运用留数定理来解决积分问题就避免了寻找一些复杂函数的原函数这一繁琐的过程，取而代之的是找到被积函数的所有奇点并求出其留数，即可根据留数定理很快的求得积分值。当然前提条件是被积函数满足运用留数定理的相关条件。
4.复变函数应用广泛之美：
利用Laplace变换，可以通过简单的变换求得电路的时域响应。通常，Laplace变换用于表示和分析连续时间和信号。这种变换比Fourier变换的应用领域更宽，或者说，一定程度上，Fourier变换是Laplace变换的特例。
使用Laplace变换及其逆变换处理单位阶越函数或单位脉冲函数可以直接求得电路时域时域响应。
另外的，用Laplace变换可以对复杂电路微分方程进行化简，对求解微分方程有很大贡献。
当激励源信号为非正弦交流信号时，可以用Fourier变换，将激励源“拆分”成正弦信号，再将所需正弦信号叠加，使频域分析更为逻辑化。
由复变函数所推广的每个公式、定理及其应用，都是对于描述客观世界有价值的。
Lobachevsky曾说：“人们不依赖世界的事物而试图从理性本身去引出数学的一切原理，对数学是没有用处的，而往往也不会被数学所证实。” 数学的概念、符号、公式并不是“人类理性的自由创造”，而是对客观现实的一种特殊的反映形式。科学（科学实验、理论、公式）之所以美，首先在于它能够把握客观实在，反映自然界的内在和谐。Einstein曾指出：“要是不相信我们的理论构造能够掌握实在，要是不相信我们世界的内在和谐，那就不可能有科学。”
参考文献：
[1]尹德玉，安莉，李海霞.复变函数起源简介[J].科教文汇.2008.6：191-01
[2]理查德·菲利普·费曼（Richard Phillips Feynman）.《费曼物理学讲义》.上海科学技术出版社.2005.6
[3]夏愛桃.复变函数论的物理意义及其在工程力学中的应用[J].数学学习与研究.2012.07