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数学概括能力是学习、研究数学的一种重要能力，是探究数学现象的本质的一种能力，是学生学好数学的必备素质能力。数学教学中应通过设计恰当的教学模式 ,指导概括方法 ,引导学生通过概念学习、公式定理运用、解题规律的概括和总结等多种途径 ,增强教学的有效性，积极培养学生的数学概括能力。
1．在数学概念教学中培养概括能力
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一
种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念具有高度的概括性，通过对概念的教学，对培养学生的抽象概括能力有很大的作用。数学概念的教学应当是一个过程问题，不应是一个简单的结论问题。先通过实例、图形对概念获得感性认识，有一个具体形象，然后观察这些实例、图形进行分析、比较，抽象概括出概念的本质属性。
如在引入异面直线所成角和距离概念时，先复习平面几何中相交直线的位置关系由角的大小确定、距离是由平行直线的公垂线段长短确定这一知识，再通过旋转和平移两根竹针或直尺，使学生在视觉上形成角度大小和距离远近的变化直观形象，然后把空间的角的度量问题转化到同一平面的角的度量问题，就比较利于学生掌握这个概念了，这对后面的二面角的大小度量的教学也能产生启发作用。
再如说，学习棱柱概念的时候，可以设计这样一个流程：
1．1 先举出一些物体，如砖头、三棱镜、教室等，引导学生通过观察找出这些物体的共同点（两面平行，其余平面相邻四边形的公共边平行等）。
1．2 通过抽象，提出物体本质属性的各种猜想和疑问，运用转化、举反例（如棱台）和特例（如方砖被一个平面斜截后仍然是棱柱）等方法对于题设进行证明和推断，肯定或否定某些共同属性，以确认其本质属性。
1．3 让学生举出实例，将上述本质属性类比推广到同类事物，概括形成棱柱的概念，并用定义表示。在这个过程中，可将零散的、杂乱的知识系统化、条理化，概括成带有规律性的结论，以促进学生概括能力的提高。
1．4 再运用概念得到棱柱的一个判定方法：（1）选定一组平行平面作为底面；（2）按概念考察其他平面，若符合则是；若不合，可再选另一组平面重新用定义验证，直到最后得出结论。这样对学生认识和运用概念都会达到比较理想的效果。
可见，恰当的概念的教学是培养学生抽象概括能力的重要途径。
2．在解题教学中培养概括能力
有些学生盲目地陷入题海，仅满足于解出某道题，而没有透过这道题，总结、归纳出这类题的解决方法，揭示其规律，结果题目做得不少，但解决问题的能力未得到应有的提高。教学的最终目的是为了不教，为了学生学会学，教师在教学教程中，结合教学内容，适当设置变式问题，引导学生由特殊到一般的去归纳解题方法规律，实现从能解一道题到能解一类题的能力迁移，提高教学的有效性。如有限制条件的排列、组合问题。若剔除表面形式不同的题设，概括整理为几种常见的数学模型，灵活地选用直接解法与间接解法，将有效地解决这类问题。又如对组合性质的拓展教学中这样设计例题和训练题目。
例1.计算
变式训练（1）
（2）
归纳猜想：（1）
（2） 比较容易得出带有规律性的结论：
在运用平均值不等式求最值中，如何构造和或积为定值时，也可以对具体的每道题的解法进行概括为一类题的方法
例2.（1）由求 的最小值，
分析：
，进而引导学生自主思考发现形如
这样一类题的解法：
（2）由
， 启发学生归类得出形如
， 这一类题的解法。
再如用构造法求递推数列通项公式时，也可能由特殊到一般的去归纳解法：
例3.（1）在数列 中，
，求通项公式 。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得 ，
①式即是：
则数列 是一个等比数列，其首项 ，公比是2.
即
类型概括抽象： 型，可化为 的形式求解.
（2） 若数列 中， 是数列 的前 项之和，且 ，求数列 的通项公式是 .
解:递推式 可变形为
（1）,设（1）式可化为
（2）,比较（1）式与（2）式的系数可得 ，则有 。故数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。 。所以 。
当 ，
。
数列 的通项公式是
。
类型概括抽象： （A、B为常数）型，可化为 的形式。
通过预设情境，引导学生概括方法，发现一般规律从而培养学生的抽象思维能力。因此，抓好解法的归纳、总结，非常利于学生概括能力的提高，促进学生的思维向更纵深的方向发展。
3．在公式和定理原理的教学应用中培养概括能力
公式的应用是对学生将具体的抽象到解题中的一个应用，对公式的概括能力也是非常重要的。在教学中不免存在学生记不住公式或记住公式不会应用的现象。为此可以帮助学生概括一些公式定理运用的方法步骤，使学生对公式定理、原理的运用更加熟练准确。
如三垂线定理应用步骤可以概括为：一定二找三证明；平均值不等式运用可以概括为：一正二定三相等。立体几何计算题解题步骤可以概括为作、证、算等等。
又如在“学习三角函数”的时候，对诱导公式的记忆就使很多学生感到困难。有一句在高中数学教育界流行的话：“奇变偶不变，符号看象限”对诱导公式进行了高度的概括。在三角函数求周期、最值、单调区间时常常要用到化同名同角这一方法，化同名同角的各种技巧可以概括为四句要诀：高次就降幂，见积化和差，见和差化积，化了再分析。
又如学习排列组合、二项式定理时：加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？可以归纳为：“加法分类，类类独立；乘法分步，步步相牵”。
这种对相应知识的归纳、概括能力不仅是学习的需要，在今后的生活和工作中也是非常重要的，教师在教学中要逐步培养学生的这种归纳概括能力。
4．在类比和联想中，培养学生的抽象概括能力
数学的完整性和严密性，使得数学结论和方法都具有相关性和相似性，在课堂教学中教师要充分利用这些相关性和相似性，采用类比和联想的方法，才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。在教学中教师常常让学生根据已有的公式、性质，类比、猜想未知的公式和性质。先类比，然后提出问题，最后给予证明。这样得出的结论不仅便于学生记忆，学生通过这些活动，不仅挖掘了自己的潜能，增强了学习的自信心，提高了学习数学的兴趣，更享受到了成功的喜悦，为今后的创造性学习打下了良好的基础。在解析几何解题中，可以进行曲线之间的类比，如椭圆与双曲线类比：
例4.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明.
分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值。
证明：设点M、P的坐标为（ ）、（ ），则N（ ）。
因为点M（ ）在已知双曲线上，所以 ，
同理 ，
则 （定值）。
本题以椭圆、双曲线为载体，可以通过类比推理求解。
例5.已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是 。
我们可以作如下分解：
问题1. 已知函数 在区间 上单调递增，若则满足 的 的取值范围是 ；
问题2. 已知函数 在区间 上单调递减，若 则满足 的 的取值范围是 ；
这样，把问题分解成更简单、更基础的问题，然后归纳到一起解决问题，便于寻找解题思路。
例6.在推导二项式 的展开式时，可以叫学生先展开二项式 、 、 ，并将展开式按 的次数进行降幂排列，观察各项系数的变化规律，然后让学生通过类比归纳概括出二项式 的展开式。
上面从几个方面对怎样培养学生的数学概括能力作了一些探讨。概括能力就是抓住问题本质的能力，掌握解决问题规律的能力。只要长期努力，常抓不懈，学生的概括能力必定能提高，学生应用数学知识解决问题的能力也必将提高。
在教学中，教师应当根据学生主体性的原则，在解题后引导学生概括出每题的解题过程中涉及的常用思想和方法，对解题过程有个反思，学会抽象地概括。
概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师还应当引导学生把概括的抽象结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的原有认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。
在概括过程中，既要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性或能力的迁移；也要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学概念原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。
收稿日期：2012-03-06
1．在数学概念教学中培养概括能力
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一
种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念具有高度的概括性，通过对概念的教学，对培养学生的抽象概括能力有很大的作用。数学概念的教学应当是一个过程问题，不应是一个简单的结论问题。先通过实例、图形对概念获得感性认识，有一个具体形象，然后观察这些实例、图形进行分析、比较，抽象概括出概念的本质属性。
如在引入异面直线所成角和距离概念时，先复习平面几何中相交直线的位置关系由角的大小确定、距离是由平行直线的公垂线段长短确定这一知识，再通过旋转和平移两根竹针或直尺，使学生在视觉上形成角度大小和距离远近的变化直观形象，然后把空间的角的度量问题转化到同一平面的角的度量问题，就比较利于学生掌握这个概念了，这对后面的二面角的大小度量的教学也能产生启发作用。
再如说，学习棱柱概念的时候，可以设计这样一个流程：
1．1 先举出一些物体，如砖头、三棱镜、教室等，引导学生通过观察找出这些物体的共同点（两面平行，其余平面相邻四边形的公共边平行等）。
1．2 通过抽象，提出物体本质属性的各种猜想和疑问，运用转化、举反例（如棱台）和特例（如方砖被一个平面斜截后仍然是棱柱）等方法对于题设进行证明和推断，肯定或否定某些共同属性，以确认其本质属性。
1．3 让学生举出实例，将上述本质属性类比推广到同类事物，概括形成棱柱的概念，并用定义表示。在这个过程中，可将零散的、杂乱的知识系统化、条理化，概括成带有规律性的结论，以促进学生概括能力的提高。
1．4 再运用概念得到棱柱的一个判定方法：（1）选定一组平行平面作为底面；（2）按概念考察其他平面，若符合则是；若不合，可再选另一组平面重新用定义验证，直到最后得出结论。这样对学生认识和运用概念都会达到比较理想的效果。
可见，恰当的概念的教学是培养学生抽象概括能力的重要途径。
2．在解题教学中培养概括能力
有些学生盲目地陷入题海，仅满足于解出某道题，而没有透过这道题，总结、归纳出这类题的解决方法，揭示其规律，结果题目做得不少，但解决问题的能力未得到应有的提高。教学的最终目的是为了不教，为了学生学会学，教师在教学教程中，结合教学内容，适当设置变式问题，引导学生由特殊到一般的去归纳解题方法规律，实现从能解一道题到能解一类题的能力迁移，提高教学的有效性。如有限制条件的排列、组合问题。若剔除表面形式不同的题设，概括整理为几种常见的数学模型，灵活地选用直接解法与间接解法，将有效地解决这类问题。又如对组合性质的拓展教学中这样设计例题和训练题目。
例1.计算
变式训练（1）
（2）
归纳猜想：（1）
（2） 比较容易得出带有规律性的结论：
在运用平均值不等式求最值中，如何构造和或积为定值时，也可以对具体的每道题的解法进行概括为一类题的方法
例2.（1）由求 的最小值，
分析：
，进而引导学生自主思考发现形如
这样一类题的解法：
（2）由
， 启发学生归类得出形如
， 这一类题的解法。
再如用构造法求递推数列通项公式时，也可能由特殊到一般的去归纳解法：
例3.（1）在数列 中，
，求通项公式 。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得 ，
①式即是：
则数列 是一个等比数列，其首项 ，公比是2.
即
类型概括抽象： 型，可化为 的形式求解.
（2） 若数列 中， 是数列 的前 项之和，且 ，求数列 的通项公式是 .
解:递推式 可变形为
（1）,设（1）式可化为
（2）,比较（1）式与（2）式的系数可得 ，则有 。故数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。 。所以 。
当 ，
。
数列 的通项公式是
。
类型概括抽象： （A、B为常数）型，可化为 的形式。
通过预设情境，引导学生概括方法，发现一般规律从而培养学生的抽象思维能力。因此，抓好解法的归纳、总结，非常利于学生概括能力的提高，促进学生的思维向更纵深的方向发展。
3．在公式和定理原理的教学应用中培养概括能力
公式的应用是对学生将具体的抽象到解题中的一个应用，对公式的概括能力也是非常重要的。在教学中不免存在学生记不住公式或记住公式不会应用的现象。为此可以帮助学生概括一些公式定理运用的方法步骤，使学生对公式定理、原理的运用更加熟练准确。
如三垂线定理应用步骤可以概括为：一定二找三证明；平均值不等式运用可以概括为：一正二定三相等。立体几何计算题解题步骤可以概括为作、证、算等等。
又如在“学习三角函数”的时候，对诱导公式的记忆就使很多学生感到困难。有一句在高中数学教育界流行的话：“奇变偶不变，符号看象限”对诱导公式进行了高度的概括。在三角函数求周期、最值、单调区间时常常要用到化同名同角这一方法，化同名同角的各种技巧可以概括为四句要诀：高次就降幂，见积化和差，见和差化积，化了再分析。
又如学习排列组合、二项式定理时：加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？可以归纳为：“加法分类，类类独立；乘法分步，步步相牵”。
这种对相应知识的归纳、概括能力不仅是学习的需要，在今后的生活和工作中也是非常重要的，教师在教学中要逐步培养学生的这种归纳概括能力。
4．在类比和联想中，培养学生的抽象概括能力
数学的完整性和严密性，使得数学结论和方法都具有相关性和相似性，在课堂教学中教师要充分利用这些相关性和相似性，采用类比和联想的方法，才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。在教学中教师常常让学生根据已有的公式、性质，类比、猜想未知的公式和性质。先类比，然后提出问题，最后给予证明。这样得出的结论不仅便于学生记忆，学生通过这些活动，不仅挖掘了自己的潜能，增强了学习的自信心，提高了学习数学的兴趣，更享受到了成功的喜悦，为今后的创造性学习打下了良好的基础。在解析几何解题中，可以进行曲线之间的类比，如椭圆与双曲线类比：
例4.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明.
分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值。
证明：设点M、P的坐标为（ ）、（ ），则N（ ）。
因为点M（ ）在已知双曲线上，所以 ，
同理 ，
则 （定值）。
本题以椭圆、双曲线为载体，可以通过类比推理求解。
例5.已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是 。
我们可以作如下分解：
问题1. 已知函数 在区间 上单调递增，若则满足 的 的取值范围是 ；
问题2. 已知函数 在区间 上单调递减，若 则满足 的 的取值范围是 ；
这样，把问题分解成更简单、更基础的问题，然后归纳到一起解决问题，便于寻找解题思路。
例6.在推导二项式 的展开式时，可以叫学生先展开二项式 、 、 ，并将展开式按 的次数进行降幂排列，观察各项系数的变化规律，然后让学生通过类比归纳概括出二项式 的展开式。
上面从几个方面对怎样培养学生的数学概括能力作了一些探讨。概括能力就是抓住问题本质的能力，掌握解决问题规律的能力。只要长期努力，常抓不懈，学生的概括能力必定能提高，学生应用数学知识解决问题的能力也必将提高。
在教学中，教师应当根据学生主体性的原则，在解题后引导学生概括出每题的解题过程中涉及的常用思想和方法，对解题过程有个反思，学会抽象地概括。
概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师还应当引导学生把概括的抽象结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的原有认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。
在概括过程中，既要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性或能力的迁移；也要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学概念原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。
收稿日期：2012-03-06