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【摘要】图形的平移、轴对称、旋转常见于直线形中，在曲线形——圆中也偶有所见.然而，也有以二次函数图像为背景的图形变换，它的一些性质与直线形的图形变换有许多相通之处.
【关键词】二次函数；图像；变换
直线形的图形变换性质对于抛物线的变换同样适用，只不过抛物线的旋转在初中阶段只能研究旋转k•180°（k为自然数）的情形.
二次函数y=a(x+m)2+k的图像被平移、轴对称、旋转时，图像的形状不变，而开口方向要么相同，要么相反，即二次项系数|a|不变，变化的只是它的位置，即关键是顶点(-m,k)位置的改变.对于抛物线的几种变换，可以归结为：一看顶点位置，二看开口方向.
下面列举抛物线的平移、轴对称、旋转问题的求解策略.
一、抛物线的平移
一般地，抛物线的平移有以下规律：
其中：m——正左、负右；k——正上、负下.
例1 已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是().
A.y=2(x-2)2+2
B.y=2(x+2)2-2
C.y=2(x-2)2-2
D.y=2(x+2)2+2
解析 反其道而行之，即将y=2x2的图像分别向下和向左平移2个单位即可.选B.
二、抛物线的轴对称
我们知道，抛物线y=a(x+m)2+k的顶点坐标为(-m,k)，抛物线在对称过程中仅仅是顶点坐标改变，方向相同或相反.由于点(-m,k)关于x轴的对称点为(m,k)，关于y轴的对称点为(m,k).所以，可得抛物线y=a(x+m)2+k关于x轴对称（开口方向相反）的图像是y=-a(x+m)2-k，关于y轴对称（开口方向相同）的图像是y=a(x-m)2+k.
例2 作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是().
A.y=-2(x+3)2-2
B.y=-2(x+3)2+2
C.y=-2(x-1)2-2
D.y=-2(x-1)2+2
解析 将抛物线C：y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得抛物线B：y=2(x-1)2-2；再将B关于x轴对称，得抛物线A：y=-2(x-1)2+2.故选D.
更一般地，抛物线y=a(x+m)2+k关于直线y=e（与x轴平行）对称的抛物线为y=-a(x+m)2+(2e-k)；抛物线y=a(x+m)2+k关于直线x=f（与y轴平行）对称的抛物线为y=a［(x-(2f+m)］2+k.
三、抛物线的旋转
这里仅讨论抛物线旋转180°的情形.绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点(-m,k)关于原点的对称点为(m,-k)，所以抛物线y=a(x+m)2+k绕原点旋转180°后所得的抛物线为y=-a(x-m)2-k.
例3 将抛物线y=x2-2x+3绕原点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为.
解析 将抛物线y=x2-2x+3化为y=(x-1)2+2，其顶点坐标为(1,2).顶点(1,2)绕原点旋转180°后为(-1,-2)，所以，旋转后的抛物线为y=-(x+1)2-2.
实际上，抛物线的旋转中心不仅限于坐标原点，而具有更一般的规律.(-m,k)关于点(e,f)的中心对称点是(2e+m,2f-k)，所以y=a(x+m)2+k关于点(e,f)的中心对称的抛物线为y=-a［x-(2e+m)］2+(2f-k).具体如y=(x-1)2+2关于点(2,3)中心对称所得的抛物线为y=-(x-3)2+4.
综上可见，抛物线的图像变换遵循一般直线形的变换规律，而又有其自身的特点.只有深入理解直线形图形变换的规律和性质，才能在分析抛物线的图像变换时做到有效迁移，求解问题时有的放矢，左右逢源，真正地做到具体情况具体分析，举一隅而三反.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】二次函数；图像；变换
直线形的图形变换性质对于抛物线的变换同样适用，只不过抛物线的旋转在初中阶段只能研究旋转k•180°（k为自然数）的情形.
二次函数y=a(x+m)2+k的图像被平移、轴对称、旋转时，图像的形状不变，而开口方向要么相同，要么相反，即二次项系数|a|不变，变化的只是它的位置，即关键是顶点(-m,k)位置的改变.对于抛物线的几种变换，可以归结为：一看顶点位置，二看开口方向.
下面列举抛物线的平移、轴对称、旋转问题的求解策略.
一、抛物线的平移
一般地，抛物线的平移有以下规律：
其中：m——正左、负右；k——正上、负下.
例1 已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是().
A.y=2(x-2)2+2
B.y=2(x+2)2-2
C.y=2(x-2)2-2
D.y=2(x+2)2+2
解析 反其道而行之，即将y=2x2的图像分别向下和向左平移2个单位即可.选B.
二、抛物线的轴对称
我们知道，抛物线y=a(x+m)2+k的顶点坐标为(-m,k)，抛物线在对称过程中仅仅是顶点坐标改变，方向相同或相反.由于点(-m,k)关于x轴的对称点为(m,k)，关于y轴的对称点为(m,k).所以，可得抛物线y=a(x+m)2+k关于x轴对称（开口方向相反）的图像是y=-a(x+m)2-k，关于y轴对称（开口方向相同）的图像是y=a(x-m)2+k.
例2 作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是().
A.y=-2(x+3)2-2
B.y=-2(x+3)2+2
C.y=-2(x-1)2-2
D.y=-2(x-1)2+2
解析 将抛物线C：y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得抛物线B：y=2(x-1)2-2；再将B关于x轴对称，得抛物线A：y=-2(x-1)2+2.故选D.
更一般地，抛物线y=a(x+m)2+k关于直线y=e（与x轴平行）对称的抛物线为y=-a(x+m)2+(2e-k)；抛物线y=a(x+m)2+k关于直线x=f（与y轴平行）对称的抛物线为y=a［(x-(2f+m)］2+k.
三、抛物线的旋转
这里仅讨论抛物线旋转180°的情形.绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点(-m,k)关于原点的对称点为(m,-k)，所以抛物线y=a(x+m)2+k绕原点旋转180°后所得的抛物线为y=-a(x-m)2-k.
例3 将抛物线y=x2-2x+3绕原点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为.
解析 将抛物线y=x2-2x+3化为y=(x-1)2+2，其顶点坐标为(1,2).顶点(1,2)绕原点旋转180°后为(-1,-2)，所以，旋转后的抛物线为y=-(x+1)2-2.
实际上，抛物线的旋转中心不仅限于坐标原点，而具有更一般的规律.(-m,k)关于点(e,f)的中心对称点是(2e+m,2f-k)，所以y=a(x+m)2+k关于点(e,f)的中心对称的抛物线为y=-a［x-(2e+m)］2+(2f-k).具体如y=(x-1)2+2关于点(2,3)中心对称所得的抛物线为y=-(x-3)2+4.
综上可见，抛物线的图像变换遵循一般直线形的变换规律，而又有其自身的特点.只有深入理解直线形图形变换的规律和性质，才能在分析抛物线的图像变换时做到有效迁移，求解问题时有的放矢，左右逢源，真正地做到具体情况具体分析，举一隅而三反.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文