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摘要：在数学中，椭圆是平面上到两个固定点距离之和等于常数的点的轨迹，可以写成x=acost；y=bsint形式。在此之前，好像还没有一个公式能够完整地描述蛋的形状，通常把一个半圆与二次函数图像的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”。今天，提供如下极坐标方程：x=acost；y=（kx+b）sint（0<|k|<1），來为大家解析“蛋圆”的一点知识。
关键词：椭圆，蛋圆，极坐标方程
2000年夏天，我在一处工地捡到块巴掌大的报纸，上面写着 ①，当时y项下大体能够看出好像是个kx，字母b位置只能看到上部半根竖线…这是个什么？椭圆？
秋天，根据极坐标定义：x=acost；y=（kx+b）sint，利用VB程序画出了图像，是个蛋圆…
图一：蛋圆曲线
今年，看了Python编程，又把这段程序拿了出来。k值，姑且称为“形变系数”吧。因为好奇，k依次取以下各值：-1、-0.50、0、0.13、0.31、0.50、0.618、0.86、1、1.2、2。发现在|k|=0.5出现尖桃状，随即当|k|>0.5后，出现8字环。
图二：蛋圆曲线随|k|>=0.5出现尖桃与8字环
那么8字环与x轴的交点的坐标x0是多少呢？经分析发现y=（kx+b）sint=0时，前两种情况t=0、t=π时y=0。第三种情况就是kx+b=0，即kacost+b=0，即当cost=-b/（ka）时，蛋圆与x轴有第三交点，x0=-b/k。|k|=0.5是8字环出现的临界点。
通过观察图一，好像该蛋圆相较于等长半轴等短半轴椭圆在第一象限增加的面积等于该蛋圆相较于等长半轴等短半轴椭圆在第二象限减少的面积，是否正确呢？可以积分验证下：
dx=-asintdt，则第一象限的蛋圆面积S1=∫ydx=∫（kx+b）sint*（-asint）dt （π/2到0）。
S1=∫（kacost+b）sint*（-asint）dt （π/2到0）
=∫（-ka2costsintsint-absintsint）dt
【查积分表99得∫costsintsintdt=-1/3】（π/2到0）
【查积分表95得∫sintsintdt=-π/4）】（π/2到0）
S1= ka2/3+πab/4
则第二象限的蛋圆面积：
S2=（-ka2costsintsint-absintsint）dt （π到π/2）
【查积分表99得∫costsintsintdt=1/3】（π到π/2）
【查积分表95得∫sintsintdt=-π/4）】（π到π/2）
S2=-ka2/3+πab/4
|?S1|=|S1-πab/4|=|ka2/3|，|?S2|=|πab/4-S2|=|ka2/3|，所以，上述估计是正确的。
整个蛋圆面积是2（S1+S2）=πab。该蛋圆面积与等短半轴等长半轴椭圆面积相等。
因此可以估计，相较于某一0<|x0| 因为x0=acost0，所以-x0=-acost0=acos（π- t0） 。即x0对应t0，-x0对应（π- t0）。
y=（kx+b）sint，所以有：
y0+=（kacost0+b）sint0=kacost0sint0+bsint0=ka/2sin2t0+y0；
y0-=[kacos（π-t0）+b]sin（π- t0）=-kacost0sint0+bsint0=-ka/2sin2t0+y0；
|?h+|=|y0+- y0|=|ka/2sin2t0|，|?h-|=|y0 - y0-|=|ka/2sin2t0|，可见上述估计是正确的。
亦可对y微分，结果如下：
dy=[（kacost+b）’sint+（kacost+b）cost]dt
=（kacos2t+bcost）dt
y0+=∫（kacos2t+bcost）dt，（0到t0）
= ka/2sin2t0+bsint0
= ka/2sin2t0+ y0
y0-=∫（kacos2t+bcost）dt，（π到π- t0）
= -ka/2sin2t0+bsint0
=-ka/2sin2t0+ y0
结果亦同。
对dy积分求第一象限面积S1，则S1=∫xdy=∫acost（kacos2t+bcost）dt（0到π/2）
S1=∫acost（kacos2t+bcost）dt （0到π/2）
=ka2/3+πab/4
可见，通过对xdy积分求得的蛋圆第一象限的面积与前述对ydx积分求得的蛋圆第一象限的面积相等。
S2=∫acost（kacos2t+bcost）dt （π/2到π）
=-ka2/3+πab/4
假设有椭圆 ，以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体，则z轴短半轴c=b，其x轴正半轴体积积分公式为：
d V+=πr2dh=π（bsint）2（acost）’dt （π/2到0 ）
=-πab2sint^3dt 【查积分表95得∫sint^3dt=-2/3）】（π/2到0） V+=2πab2/3
d V-=πr2dh=π（bsint）2（acost）’dt （π到π/2 ）
=-πab2sint^3dt 【查积分表95得∫sint^3dt=-2/3】（π到π/2）
V-=2πab2/3
图三：椭圆体和蛋圆体体积积分示意图
那么有蛋圆方程 ，以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积，与等长半轴等短半轴的椭圆 以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积也能相等吗？
想象图三，则相较于某一0<|x0| 现以蛋圆 以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积（c=b），则其x轴正半轴体积可以积分为：
dV1=πR2dH=π[（kacost+b）sint]2（acost）’dt （π/2到0 ）
=-πa（k2a2cost^2sint^3+2kabcostsint^3） dt +（-πab2sint^3）dt
【查积分表99得∫cost^2sint^3dt=-2/15】 （π/2到0）
【查积分表99得∫costsint^3） dt=-1/4】 （π/2到0）
V1=πka2 （2ka/15+b/2）+2πab2/3，（2ka/15+b/2）>0，很显然V1>2πab2/3。
则蛋圆其x轴负半轴体积可以积分为：
dV2=-πa（k2a2cost^2sint^3+2kabcostsint^3） dt +（-πab2sint^3）dt （π到π/2 ）
【查积分表99得∫cost^2sint^3dt=-2/15】 （π到π/2 ）
【查积分表99得∫costsint^3） dt（π/2到0）= 1/4】 （π到π/2 ）
V2=πka2（2ka/15-b/2）+2πab2/3，（2ka/15-b/2）<0，很显然V2<2πab2/3。
|?V+|=|V1-2πab2/3|=|πka2（2ka/15+b/2）|，|?V- |=|2πab2/3-V2|=|πka2（2ka/15 -b/2）|，
|?V+|>|?V-|，说明蛋圆在x轴正方向部分体积增加的更大些，其实这也可以理解。就好比一个直角三角形，在一条直角边上有两段相等的线段，虽然这两条线段与顶点所构成的两个三角形面積相等，但是如果该直角三角形绕另一条直角边旋转，则离旋转轴远的那条线段所在的三角形扫过的空间体积更大。
两者体积相加：V1+V2=4πka2ka/15+4πab2/3> 4πab2/3，就是说蛋圆以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积（c=b），要大于等长半轴等短半轴椭圆以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积（c=b）。
无意中网搜下蛋圆，发现这样一个类似的方程式 1 ④，且说关于蛋圆仅仅才是刚刚找到了这个公式，一切因为蛋圆的数学规律、曲线上动点与定点关系尚不清楚。
关于这一段的评论可以理解，毕竟因变量又含在自变量里，没有个相当的计算机插值计算是估算不出这个y的，但公式 ①相较于④，却简单的不能再简单，仅仅运用一个Python循环：
for i in range（361）：
t=2*i*math.pi/360
x=a*math.cos（t）
y=（k[j]*x+b）*math.sin（t）
turtle.goto（x，y）
就能在形变系数k给定下计算曲线上各点坐标，并连接各相邻点，形成曲线轮廓，给人以非常明确的感性认识…
[1]高等数学.第七版上.同济大学数学系.高等教育出版社
关键词：椭圆，蛋圆，极坐标方程
2000年夏天，我在一处工地捡到块巴掌大的报纸，上面写着 ①，当时y项下大体能够看出好像是个kx，字母b位置只能看到上部半根竖线…这是个什么？椭圆？
秋天，根据极坐标定义：x=acost；y=（kx+b）sint，利用VB程序画出了图像，是个蛋圆…
图一：蛋圆曲线
今年，看了Python编程，又把这段程序拿了出来。k值，姑且称为“形变系数”吧。因为好奇，k依次取以下各值：-1、-0.50、0、0.13、0.31、0.50、0.618、0.86、1、1.2、2。发现在|k|=0.5出现尖桃状，随即当|k|>0.5后，出现8字环。
图二：蛋圆曲线随|k|>=0.5出现尖桃与8字环
那么8字环与x轴的交点的坐标x0是多少呢？经分析发现y=（kx+b）sint=0时，前两种情况t=0、t=π时y=0。第三种情况就是kx+b=0，即kacost+b=0，即当cost=-b/（ka）时，蛋圆与x轴有第三交点，x0=-b/k。|k|=0.5是8字环出现的临界点。
通过观察图一，好像该蛋圆相较于等长半轴等短半轴椭圆在第一象限增加的面积等于该蛋圆相较于等长半轴等短半轴椭圆在第二象限减少的面积，是否正确呢？可以积分验证下：
dx=-asintdt，则第一象限的蛋圆面积S1=∫ydx=∫（kx+b）sint*（-asint）dt （π/2到0）。
S1=∫（kacost+b）sint*（-asint）dt （π/2到0）
=∫（-ka2costsintsint-absintsint）dt
【查积分表99得∫costsintsintdt=-1/3】（π/2到0）
【查积分表95得∫sintsintdt=-π/4）】（π/2到0）
S1= ka2/3+πab/4
则第二象限的蛋圆面积：
S2=（-ka2costsintsint-absintsint）dt （π到π/2）
【查积分表99得∫costsintsintdt=1/3】（π到π/2）
【查积分表95得∫sintsintdt=-π/4）】（π到π/2）
S2=-ka2/3+πab/4
|?S1|=|S1-πab/4|=|ka2/3|，|?S2|=|πab/4-S2|=|ka2/3|，所以，上述估计是正确的。
整个蛋圆面积是2（S1+S2）=πab。该蛋圆面积与等短半轴等长半轴椭圆面积相等。
因此可以估计，相较于某一0<|x0|
y=（kx+b）sint，所以有：
y0+=（kacost0+b）sint0=kacost0sint0+bsint0=ka/2sin2t0+y0；
y0-=[kacos（π-t0）+b]sin（π- t0）=-kacost0sint0+bsint0=-ka/2sin2t0+y0；
|?h+|=|y0+- y0|=|ka/2sin2t0|，|?h-|=|y0 - y0-|=|ka/2sin2t0|，可见上述估计是正确的。
亦可对y微分，结果如下：
dy=[（kacost+b）’sint+（kacost+b）cost]dt
=（kacos2t+bcost）dt
y0+=∫（kacos2t+bcost）dt，（0到t0）
= ka/2sin2t0+bsint0
= ka/2sin2t0+ y0
y0-=∫（kacos2t+bcost）dt，（π到π- t0）
= -ka/2sin2t0+bsint0
=-ka/2sin2t0+ y0
结果亦同。
对dy积分求第一象限面积S1，则S1=∫xdy=∫acost（kacos2t+bcost）dt（0到π/2）
S1=∫acost（kacos2t+bcost）dt （0到π/2）
=ka2/3+πab/4
可见，通过对xdy积分求得的蛋圆第一象限的面积与前述对ydx积分求得的蛋圆第一象限的面积相等。
S2=∫acost（kacos2t+bcost）dt （π/2到π）
=-ka2/3+πab/4
假设有椭圆 ，以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体，则z轴短半轴c=b，其x轴正半轴体积积分公式为：
d V+=πr2dh=π（bsint）2（acost）’dt （π/2到0 ）
=-πab2sint^3dt 【查积分表95得∫sint^3dt=-2/3）】（π/2到0） V+=2πab2/3
d V-=πr2dh=π（bsint）2（acost）’dt （π到π/2 ）
=-πab2sint^3dt 【查积分表95得∫sint^3dt=-2/3】（π到π/2）
V-=2πab2/3
图三：椭圆体和蛋圆体体积积分示意图
那么有蛋圆方程 ，以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积，与等长半轴等短半轴的椭圆 以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积也能相等吗？
想象图三，则相较于某一0<|x0|
dV1=πR2dH=π[（kacost+b）sint]2（acost）’dt （π/2到0 ）
=-πa（k2a2cost^2sint^3+2kabcostsint^3） dt +（-πab2sint^3）dt
【查积分表99得∫cost^2sint^3dt=-2/15】 （π/2到0）
【查积分表99得∫costsint^3） dt=-1/4】 （π/2到0）
V1=πka2 （2ka/15+b/2）+2πab2/3，（2ka/15+b/2）>0，很显然V1>2πab2/3。
则蛋圆其x轴负半轴体积可以积分为：
dV2=-πa（k2a2cost^2sint^3+2kabcostsint^3） dt +（-πab2sint^3）dt （π到π/2 ）
【查积分表99得∫cost^2sint^3dt=-2/15】 （π到π/2 ）
【查积分表99得∫costsint^3） dt（π/2到0）= 1/4】 （π到π/2 ）
V2=πka2（2ka/15-b/2）+2πab2/3，（2ka/15-b/2）<0，很显然V2<2πab2/3。
|?V+|=|V1-2πab2/3|=|πka2（2ka/15+b/2）|，|?V- |=|2πab2/3-V2|=|πka2（2ka/15 -b/2）|，
|?V+|>|?V-|，说明蛋圆在x轴正方向部分体积增加的更大些，其实这也可以理解。就好比一个直角三角形，在一条直角边上有两段相等的线段，虽然这两条线段与顶点所构成的两个三角形面積相等，但是如果该直角三角形绕另一条直角边旋转，则离旋转轴远的那条线段所在的三角形扫过的空间体积更大。
两者体积相加：V1+V2=4πka2ka/15+4πab2/3> 4πab2/3，就是说蛋圆以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积（c=b），要大于等长半轴等短半轴椭圆以其长轴x轴为旋转轴线所成的旋转体体积（c=b）。
无意中网搜下蛋圆，发现这样一个类似的方程式 1 ④，且说关于蛋圆仅仅才是刚刚找到了这个公式，一切因为蛋圆的数学规律、曲线上动点与定点关系尚不清楚。
关于这一段的评论可以理解，毕竟因变量又含在自变量里，没有个相当的计算机插值计算是估算不出这个y的，但公式 ①相较于④，却简单的不能再简单，仅仅运用一个Python循环：
for i in range（361）：
t=2*i*math.pi/360
x=a*math.cos（t）
y=（k[j]*x+b）*math.sin（t）
turtle.goto（x，y）
就能在形变系数k给定下计算曲线上各点坐标，并连接各相邻点，形成曲线轮廓，给人以非常明确的感性认识…
[1]高等数学.第七版上.同济大学数学系.高等教育出版社