论文部分内容阅读
《物理教师》期刊在2014年第5期刊载的《吹尽黄沙始见金》（以下简称“原文”）一文，对一道物理试题进行了深入分析，拜读原文，收获颇丰.笔者在平时教学过程中也遇到过这道题，说来惭愧，并没有能够将物体在折斜面上运动的时间表达式（t折=2hg·1sinβ·[1-sinα-sinβsinα
sinαsin（α-β）sinαsin（θ-β） sinβsin（α-θ）].如图1，式中的α、β、θ分别表示AB、BC、AC与水平面的夹角）算出来，而是采用了数形结合的方法分析的，现提出来与大家共同商榷.
原题如图1所示，物体分别从等高、同底的光滑斜面和光滑折斜面的顶端从静止滑下，试比较物体在这两个斜面上下滑到底端所用时间的长短.
这道题要比较两个时间（tAC与tABC）的长短，并没有要求出时间的表达式，但题目中所给的条件太宽松，∠ACD、∠ABC、∠BCD这三个角度都无任何定量条件限制，所以要想比较时间tAC与tABC的大小，确实比较复杂.而认识复杂事物的基本规律应该是从特殊到一般，所以我们在解决这道题时不妨先将题设条件特殊化，或许可以观察出一丝端倪，然后再逐步宽松题设条件，也许能推出结果.
1运用极限思维限制题设条件
根据题目的意思折斜面的B点应在直角△ADC的内部，但不清楚∠ABC等于多少度.当B点无限靠近D点时，∠ABC近似等于90°，即B点与D点重合.那么折斜面ABC就变成了直角面ADC.物体在斜面AC上做初速度为零的匀加速直线运动，物体在直角面ADC上先做自由落体，后做匀速直线运动.根据机械能守恒，物体到达C点时速度大小应该一样大，都为vC.
如图1，令|AD|=h、∠ACD=θ，再假设|DC|长度不变，当θ减小（即h减小）时，图1中的直角△ADC，将变成如图2所示，物体做自由落体运动的时间变短，换个角度看，h越小，物体将更早地到水平面DC上以速度vC做匀速直线运动，而物体在斜面AC上做的是初速度为零，末速度为vC的匀加速直线运动.所以，
tAC=lAC0 vc2、tDC=lDCvc.
当θ→0时，tAD=0、lAC=lDC，
所以tAC>tDC、tAC>tADC.
下面结合图1给予证明：
A→C：hsinθ=12gsinθt2AC，
解得tAC=2hg1sinθ（1）
A→D→C：
tADC=2hg h2ghtanθ=2sinθ cosθ2sinθ2hg（2）
（1）/（2）得k=22sinθ cosθ.
令k=1，得θ=37°或90°，
所以，当0<θ<37°时，k>1，tAC>tADC；
当θ=37°时，k=1，tAC=tADC；
当37°<θ<90°时，k<1，tAC 根据物体在斜面AC上运动时间与在直角面ADC上运动时间的对比，可以初步估计物体在斜面AC上运动时间与在折斜面ABC上运动时间，哪个更长也应该是不确定的.
2巧用等时圆初步释放限制条件
等时圆：如图3所示，物体从竖直放置的圆环的最高点A，沿任何一条光滑的斜面由静止滑下，到达圆环上任意一点所需要的时间都相等t=2hg （d为圆的直径）.
如图4，以AD为直径画圆，与AC的交点为E，假设B点是弧ED上的任意一点，则
tAE=tAB=tAD=2hg，
那么只需要比较物体从E到C的时间tEC，与从B到C的时间tBC的长短.连接OC（O为圆心），与圆弧的交点为F，过E点作CO的垂线并延长与圆弧的交点为E′.
2.1B点沿圆弧从点E到点E′的过程
根据机械能守恒B点的速度vB在变大，且一定大于vE，物体在斜面EC、BC上都做匀加速直线运动，故平均速度EC=vE vC2 2.2B点沿圆弧从点E′到点D的过程
B点的速度vB仍在变大，故平均速度
BC=vB vC2>EC=vE vC2，
但由于lBC>lEC，所以tBC=lBCBC与tEC=lECEC的大小不可比较.但根据前面的分析可知当37°<θ<90°时，tDC>tEC，所以在圆弧E′D上靠近D点的地方一定可以找一点作为点B，使tBC也大于tEC，从而有tAB tBC>tAE tEC.
所以，当B点沿圆弧从E点到D点的过程中，物体在折斜面上的运动时间tABC大于、等于和小于斜面上的运动时间tAC都有可能.
3运用逻辑推理回归题设条件
借助于等时圆可以看出，只要B点落在圆O内tAB 因为lBCvE，
所以tBC=lBCvB vC2 所以tAB tBC 如果再假设等时圆的A点不动，圆心O沿直线DA上下移动，则此时等时圆与AC的交点用En表示，同时以C点为圆心，lCEn为半径画圆，与等时圆的另一个交点用En′表示（如图6，n=1、2、3…）.当B点落在图中阴影区域1、2、3…时，都有BnC=vBn vC2>EnC=vEn vC2、lBnC 因为当37°<θ<90°时，tAClEC.假如以点C为圆心，lPC为半径作圆（如图7）.如果B点为图7中阴影区域2的任意一点，则
BC=vB vC2 所以tBC=lBCBC>lPCvC=tPC=tEC.
又因为B点在等时圆O外，所以tAB>tAE，
所以tAB tBC>tAE tEC.
结合图7可知，当B点落在等时圆O内，圆C外的空白区域3时，因为tABtPC=tEC，所以在空白区域3内一定能找到一点使tAB tBC=tAE tEC.
所以，B点在直角△ADC内的不同区域内，物体在折斜面上的运动时间tABC大于、等于和小于斜面上的运动时间tAC都有可能.
物理教学离不开合理的假设与外推，伽利略应用理想实验研究自由落体运动时，借助逻辑的力量，合理地外推出当斜面倾角增大到90度时（即自由落体），小球仍然保持匀加速运动的性质.教师在平时教学过程中应注意培养学生的逻辑推理能力，只有借助于逻辑的力量我们才能看清复杂自然现象背后的物理本质.抽象的数学表达式确实能清楚地揭示自然现象背后的物理规律，但这样的表达式更需要简洁的物理图景与之相对应，从而才能更深刻的反应问题的本质.
sinαsin（α-β）sinαsin（θ-β） sinβsin（α-θ）].如图1，式中的α、β、θ分别表示AB、BC、AC与水平面的夹角）算出来，而是采用了数形结合的方法分析的，现提出来与大家共同商榷.
原题如图1所示，物体分别从等高、同底的光滑斜面和光滑折斜面的顶端从静止滑下，试比较物体在这两个斜面上下滑到底端所用时间的长短.
这道题要比较两个时间（tAC与tABC）的长短，并没有要求出时间的表达式，但题目中所给的条件太宽松，∠ACD、∠ABC、∠BCD这三个角度都无任何定量条件限制，所以要想比较时间tAC与tABC的大小，确实比较复杂.而认识复杂事物的基本规律应该是从特殊到一般，所以我们在解决这道题时不妨先将题设条件特殊化，或许可以观察出一丝端倪，然后再逐步宽松题设条件，也许能推出结果.
1运用极限思维限制题设条件
根据题目的意思折斜面的B点应在直角△ADC的内部，但不清楚∠ABC等于多少度.当B点无限靠近D点时，∠ABC近似等于90°，即B点与D点重合.那么折斜面ABC就变成了直角面ADC.物体在斜面AC上做初速度为零的匀加速直线运动，物体在直角面ADC上先做自由落体，后做匀速直线运动.根据机械能守恒，物体到达C点时速度大小应该一样大，都为vC.
如图1，令|AD|=h、∠ACD=θ，再假设|DC|长度不变，当θ减小（即h减小）时，图1中的直角△ADC，将变成如图2所示，物体做自由落体运动的时间变短，换个角度看，h越小，物体将更早地到水平面DC上以速度vC做匀速直线运动，而物体在斜面AC上做的是初速度为零，末速度为vC的匀加速直线运动.所以，
tAC=lAC0 vc2、tDC=lDCvc.
当θ→0时，tAD=0、lAC=lDC，
所以tAC>tDC、tAC>tADC.
下面结合图1给予证明：
A→C：hsinθ=12gsinθt2AC，
解得tAC=2hg1sinθ（1）
A→D→C：
tADC=2hg h2ghtanθ=2sinθ cosθ2sinθ2hg（2）
（1）/（2）得k=22sinθ cosθ.
令k=1，得θ=37°或90°，
所以，当0<θ<37°时，k>1，tAC>tADC；
当θ=37°时，k=1，tAC=tADC；
当37°<θ<90°时，k<1，tAC
2巧用等时圆初步释放限制条件
等时圆：如图3所示，物体从竖直放置的圆环的最高点A，沿任何一条光滑的斜面由静止滑下，到达圆环上任意一点所需要的时间都相等t=2hg （d为圆的直径）.
如图4，以AD为直径画圆，与AC的交点为E，假设B点是弧ED上的任意一点，则
tAE=tAB=tAD=2hg，
那么只需要比较物体从E到C的时间tEC，与从B到C的时间tBC的长短.连接OC（O为圆心），与圆弧的交点为F，过E点作CO的垂线并延长与圆弧的交点为E′.
2.1B点沿圆弧从点E到点E′的过程
根据机械能守恒B点的速度vB在变大，且一定大于vE，物体在斜面EC、BC上都做匀加速直线运动，故平均速度EC=vE vC2
B点的速度vB仍在变大，故平均速度
BC=vB vC2>EC=vE vC2，
但由于lBC>lEC，所以tBC=lBCBC与tEC=lECEC的大小不可比较.但根据前面的分析可知当37°<θ<90°时，tDC>tEC，所以在圆弧E′D上靠近D点的地方一定可以找一点作为点B，使tBC也大于tEC，从而有tAB tBC>tAE tEC.
所以，当B点沿圆弧从E点到D点的过程中，物体在折斜面上的运动时间tABC大于、等于和小于斜面上的运动时间tAC都有可能.
3运用逻辑推理回归题设条件
借助于等时圆可以看出，只要B点落在圆O内tAB
所以tBC=lBCvB vC2
BC=vB vC2
又因为B点在等时圆O外，所以tAB>tAE，
所以tAB tBC>tAE tEC.
结合图7可知，当B点落在等时圆O内，圆C外的空白区域3时，因为tAB
所以，B点在直角△ADC内的不同区域内，物体在折斜面上的运动时间tABC大于、等于和小于斜面上的运动时间tAC都有可能.
物理教学离不开合理的假设与外推，伽利略应用理想实验研究自由落体运动时，借助逻辑的力量，合理地外推出当斜面倾角增大到90度时（即自由落体），小球仍然保持匀加速运动的性质.教师在平时教学过程中应注意培养学生的逻辑推理能力，只有借助于逻辑的力量我们才能看清复杂自然现象背后的物理本质.抽象的数学表达式确实能清楚地揭示自然现象背后的物理规律，但这样的表达式更需要简洁的物理图景与之相对应，从而才能更深刻的反应问题的本质.