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摘要：虽然儿童具有一些抽象思维能力，但仍离不开具体形象的支持。另外，儿童很难从具体问题中抽离出相关数学知识的内涵和本质。所以在小学数学教学中，教师既要帮助学生把抽象的知识具象化，便于其理解记忆;也需引导学生从实际问题中抽离出简单的数学模型，从而理解问题的本质。以几何图形为基础的模型的动态演示，可帮助学生搭建抽象和具象之间的桥梁。
关键词：小学数学;教学具象;抽象;除法教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）07A-0094-04
作为研究数量关系和空间形式的科学，数学要走入儿童的世界，必须以他们熟知的日常生活为媒介。但是在实际教学中，数学教师常有意无意地将数学与生活割裂开来，儿童在成人编写的数学世界里结识了数学家，却在自己的世界里模糊了数学对“我”的意义。大多数不喜欢数学的学生，觉得数学太过“抽象”;有趣的是，喜欢数学的学生又会觉得数学其实很“简单”。如何理解学生不同的认识？可以从“抽象”一词的本意入手，“抽象”源于拉丁语“abstracio”，是排除、抽取的意思。现在人们对“抽象”的理解主要分为两种：一是用来形容那种远离具体经验，不太容易理解的对象性质的程度;二是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法[1]。由此我们可以有一个简单的认识：抽象成为学生数学学习的拦路虎是因为它脱离儿童的具体经验，而抽象过程将那些非本质的干扰剔除，使得貌似纷杂的问题本质清晰，掌握本质就可以以不变应万变，从而凸显简单。
在除法的教学中，困扰教师的主要有两个问题：一是如何帮助学生理解竖式计算的意义，二是如何帮助学生解决情境问题。也就是说，一方面教师应该赋予竖式计算过程一定的实际意义，同时教师还需引导学生剥离实际问题中的干扰信息，形成数学问题。两个问题都涉及抽象和具象之间的转化，这一过程中，使用简化模型（以几何图形为基础）帮助学生建立联系十分重要且有效。
一、借助动态模拟，使抽象变具体
三位数除以一位数是苏教版（旧版）三年级下册第一单元的教学内容，学完这课的内容，学生很可能存在这样的现象，学生完全可以列竖式一步一步计算出得数，可是他们却不知道竖式背后的意义，不能准确说出计算的算理。在教学536÷4的竖式计算时，怎样让学生更好地理解算理？教师可以借助具体的物，也就是学生们熟悉的小方块展开教学。
【片段1】
师：536是怎么组成的？
生：由5个百、3个十和6个一组成的。
（教师出示图片）
师：除以4表示什么意思？
生：把536平均分成4份。
师：我们来分一分，先分整百的，把5个百平均分成4份，每份有多少？
生：1个百。（课件演示）
师：分完以后还剩多少？
生：1个百。
师：这个百不够分可以怎么办？
生：1个百就是10个十，把1个百变成10个十。
师：和原来的3个十合起来一共是13个十，接着？
生：再把13个十平均分成4份，每份有3个十，还剩1个十。
师：这1个十又不够分了，怎么办？
生：1个十就是10个一，在和个位上的6个一合起来，一共是16个一。
动态模拟就是把静态的数学知识通过演示、操作等手段使之动态化的过程。536÷4这道算式是一道抽象的算式，要让学生经历抽象化的过程，就要求“从原始的现实”开始教学，不能把数学教学与“死记硬背、套路、反复操练算法”等行为、内容相连。如何把算理讲清楚，就需要教师把竖式计算的过程让学生亲眼所见，建构一个可视化的计算过程。在这个教学环节中，笔者借助于具体形象的“物”，用了学生非常熟悉的小方块，通过课件一步步展示平均分的过程，使学生理解每一步竖式计算的意义。
但是，实际的教学中我们不能止于此，当学生通过动态模拟表达了思考过程后，为了更好地提升学生思维能力，还要进一步对运算的过程概括总结，让学生用数学语言把动态模拟的过程再表达出来。“从全神贯注于现实的事物上升到观念的水平，这才是真正的抽象能力。”[2]数学教学不仅要教学生学会数学思考，还要让他们学会用数学语言去描述、提炼、概括数学思想方法，去解释数学现象及数学实际问题。引导学生全面透彻地思考问题、不断提升思维的宽度和广度。
二、利用图像直观，形成思维导图
教师在教学中常常有这样的困惑，该讲的都讲了，算式也一步一步告诉学生了，为什么学生还是不懂？为什么学生看不懂一张表格表达的意义？这都是我们教学中的缺失。
“我们自身在当今都已处于视觉处于现实主导形式的社会”[3]，学生看文字信息，觉得“太累”，尤其对抽象的文字，唯恐避之不及。文字的教育价值和图像的教育价值在很多方面不仅可以互补，还可以互相转化，“文字与图像的相同之处在于，都是通过视觉影响人，这正是教育的基本途径：通过视觉的方式传递经验，影响和改变人”[4]。
直观是相对于抽象概括而言的。利用直观可以使抽象的数学学习变得容易、有形、有趣。下面这个片段就是教师利用图像直观把冗长的文字表达浓缩成一张图，图里暗含着思考方法，一张图可以解决类似的很多问题。
【片段2】
在教学两步连除解
决实际问题这节课的时候，学生想出了三种解决的方法，为了使学生加深对这种题型的理解，最后课件隐去实物图，呈现出一个简化的示意图（如下图）
师：回想刚才解题的过程，我们用这个大的长方形表示一共有224本书。
师（指一横排）：横着看，一行表示什么意思？
生1：表示一大层有多少本书？
师：我们可以先算出一大层有多少本。那竖着看呢？（师指一竖排） 生2：表示可以先算出一个书架有多少本。
师：除了横着看，竖着看，还可以怎么看？表示先算什么？
生3：还可以整体看，先算出一共有多少层。
师：有道理。
师：看，我们解决一个问题方法是多样的，我们可以从不同的角度去解决同一个问题。
在这个片断中，为了更好地培养数形结合的能力，借助长方形图示，学生看图解释每一步算式的含义，同时沟通三种方法的联系，学生可以横着看，先求出两个书架一层有多少本？也可以竖着看，先求出一个书架有多少本书？还可以从整体上看，先求出两个书架一共有多少层？这样就从带有情境性的题目中抽离出来，直观地阐释了题中出现的每一个数量之间的关系。更为重要的是，学生在轻松解决问题的过程中也能体会图像直观的价值，逐渐养成借助示意图来表征数学问题情景的成分和结构的能力，达到对数学问题结构的理解，进而为解题者提供一些未经解释或只要通过形式转换就可以被察觉和使用的信息，促进问题的解决。按照建构主义的观点，“知识不是被看做对外在世界的特征的某种真实的摹写，而是个体的建构。知识的获得即学习不是把‘真理的金子’移交给个体，而是由个体自己去建构的。学习者不是被看成知识的被动接受者，而是知识的主动建构者”[5]。教师要通过各种方法帮助学生形成自我建构，把他们头脑中零碎的、凌乱的数学知识串成一条美丽的珍珠项链，这样学生在遇到不同的数学问题时，就不会抓耳挠腮、左顾右盼，他们一定会循着头脑里那张思维导图、那张美丽的网，有理有据、井井有条地去找寻他们想要的答案。
但是，语言是思维的工具，我们还应该从图像中回到抽象的语境，在图像和文字之间建立联系，如果学生只会把文字翻译成图像，而不会把图像变成文字，那就是“伪图像人”，图像不能取代细致严密的文字表达，所以我们不能只是一味满足学生对于图像的兴趣，而忽视了严密的精确的语言表达。
三、还原生活原型，促进认知建构
数学源于生活，与生活有着密切的联系。数学教学需要将问题置身于生活情境中，将数学知识还原成生活原型，有助于学生理解问题和把握实质。
【片段3】
在练习中，“想想做做”有这样一题（如图所示）：
一般情况下，学生对于“每日3次，每次2片”这样的词汇描述不太理解，尽管会依葫芦画瓢列出算式，但是无法说清解题思路或者无法用语言解释清楚对算式的理解。于是，笔者对这道题进行了改编，为了使学生更加直观地理解题目的意思，呈现了药片的实物图，并且把150片药这样的大样本变成了30片药这样的小样本进行了研究，于是，先呈现了下面的内容：
当学生读懂题目，写出前两种解法30÷2=15（次）15÷3=5（天）和2×3=6（片）30÷6=5（天）。
师：还有别的方法吗？
生：我是用30÷3=10，再用10÷2=5（天）。
师：30÷3=10是什么意思？后面应该写什么单位名称？
生：表示一共吃了多少次？（其他学生发出疑惑的表情）哦，不对，应该是每日吃几片，也不对……
师（微笑着）：没关系，每日吃三次，我们可以这样理解，假设这些药片分成早上、中午、晚上三次吃完，（出示图一）30÷3=10（片）就可以表示早上一共要吃10片，早上、中午、晚上吃的是一样多的。这样我们只要算出早上的药用几天吃完就可以了。（出示图二）
在这个片段中，学生对于纯文字叙述“每日吃3次，每次吃2片”不理解，对于第三种解法，也许是习惯性地作出直觉的猜测，学生却无法解释具体算式的意义。这时，我们需要把这样的数学内容还原到儿童的生活中去，要把药片的实物图呈现出来，借助直观图，借助生活模型，还原数学的本质，让学生理解题目的意思。荷兰的数学家、教育家弗赖登塔尔所倡导的现实主义数学教育思想指导下的课程，其基本特征有两点：第一，它是现实的，即注重情境的作用，从学生熟悉的现实生活开始和结束，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密联系在一起。第二，它是实现的，即现实数学教育与数学的“再发现”紧密相连，这里的“再发现”就是数学化[6]。人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，以便更加直观、清晰地了解知识与现实世界的关系，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。因此，数学教学要充分发挥利用几何直观还原生活原型的作用，教科书虽然为数学教学提供了数学语言及丰富的图画，教师应把教科书中的图画转化为具体实物或图形，将语言转化为具体材料，注意引导学生利用直观把文字叙述的题目变成几何直观，不必急于给出解决问题的方法。要相信，小学生能在他们的认知水平上涌现出许多令人赞叹的观察。
儿童的数学学习就是要立足当下、亲近生活，让儿童享受幸福的童年，更是要指向未来、发现生活，点燃儿童的精彩人生。我们希冀不断地从数学、生活、儿童的思辨中提升研究品质，让儿童的数学学习发生在生活的具象与数学的抽象之间。
参考文献：
[1]张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）.
[2][美]杜威.我们怎样思维·经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2005：186.
[3][斯]阿莱斯·艾尔雅维茨.图像时代[M].长春：吉林人民出版社，2003：5.
[4]叶澜.教育学原理[M].北京：人民教育出版社，2007：81.
[5]蒋述东，刘洪文.建构主义理论与课堂教学的新理念[J].重庆教育学院学报，2005（2）.
[6]戚邵斌.弗赖登塔尔数学教育思想的哲学基础[J].武汉教育学院学报，1999（6）.
责任编辑：石萍
关键词：小学数学;教学具象;抽象;除法教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）07A-0094-04
作为研究数量关系和空间形式的科学，数学要走入儿童的世界，必须以他们熟知的日常生活为媒介。但是在实际教学中，数学教师常有意无意地将数学与生活割裂开来，儿童在成人编写的数学世界里结识了数学家，却在自己的世界里模糊了数学对“我”的意义。大多数不喜欢数学的学生，觉得数学太过“抽象”;有趣的是，喜欢数学的学生又会觉得数学其实很“简单”。如何理解学生不同的认识？可以从“抽象”一词的本意入手，“抽象”源于拉丁语“abstracio”，是排除、抽取的意思。现在人们对“抽象”的理解主要分为两种：一是用来形容那种远离具体经验，不太容易理解的对象性质的程度;二是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法[1]。由此我们可以有一个简单的认识：抽象成为学生数学学习的拦路虎是因为它脱离儿童的具体经验，而抽象过程将那些非本质的干扰剔除，使得貌似纷杂的问题本质清晰，掌握本质就可以以不变应万变，从而凸显简单。
在除法的教学中，困扰教师的主要有两个问题：一是如何帮助学生理解竖式计算的意义，二是如何帮助学生解决情境问题。也就是说，一方面教师应该赋予竖式计算过程一定的实际意义，同时教师还需引导学生剥离实际问题中的干扰信息，形成数学问题。两个问题都涉及抽象和具象之间的转化，这一过程中，使用简化模型（以几何图形为基础）帮助学生建立联系十分重要且有效。
一、借助动态模拟，使抽象变具体
三位数除以一位数是苏教版（旧版）三年级下册第一单元的教学内容，学完这课的内容，学生很可能存在这样的现象，学生完全可以列竖式一步一步计算出得数，可是他们却不知道竖式背后的意义，不能准确说出计算的算理。在教学536÷4的竖式计算时，怎样让学生更好地理解算理？教师可以借助具体的物，也就是学生们熟悉的小方块展开教学。
【片段1】
师：536是怎么组成的？
生：由5个百、3个十和6个一组成的。
（教师出示图片）
师：除以4表示什么意思？
生：把536平均分成4份。
师：我们来分一分，先分整百的，把5个百平均分成4份，每份有多少？
生：1个百。（课件演示）
师：分完以后还剩多少？
生：1个百。
师：这个百不够分可以怎么办？
生：1个百就是10个十，把1个百变成10个十。
师：和原来的3个十合起来一共是13个十，接着？
生：再把13个十平均分成4份，每份有3个十，还剩1个十。
师：这1个十又不够分了，怎么办？
生：1个十就是10个一，在和个位上的6个一合起来，一共是16个一。
动态模拟就是把静态的数学知识通过演示、操作等手段使之动态化的过程。536÷4这道算式是一道抽象的算式，要让学生经历抽象化的过程，就要求“从原始的现实”开始教学，不能把数学教学与“死记硬背、套路、反复操练算法”等行为、内容相连。如何把算理讲清楚，就需要教师把竖式计算的过程让学生亲眼所见，建构一个可视化的计算过程。在这个教学环节中，笔者借助于具体形象的“物”，用了学生非常熟悉的小方块，通过课件一步步展示平均分的过程，使学生理解每一步竖式计算的意义。
但是，实际的教学中我们不能止于此，当学生通过动态模拟表达了思考过程后，为了更好地提升学生思维能力，还要进一步对运算的过程概括总结，让学生用数学语言把动态模拟的过程再表达出来。“从全神贯注于现实的事物上升到观念的水平，这才是真正的抽象能力。”[2]数学教学不仅要教学生学会数学思考，还要让他们学会用数学语言去描述、提炼、概括数学思想方法，去解释数学现象及数学实际问题。引导学生全面透彻地思考问题、不断提升思维的宽度和广度。
二、利用图像直观，形成思维导图
教师在教学中常常有这样的困惑，该讲的都讲了，算式也一步一步告诉学生了，为什么学生还是不懂？为什么学生看不懂一张表格表达的意义？这都是我们教学中的缺失。
“我们自身在当今都已处于视觉处于现实主导形式的社会”[3]，学生看文字信息，觉得“太累”，尤其对抽象的文字，唯恐避之不及。文字的教育价值和图像的教育价值在很多方面不仅可以互补，还可以互相转化，“文字与图像的相同之处在于，都是通过视觉影响人，这正是教育的基本途径：通过视觉的方式传递经验，影响和改变人”[4]。
直观是相对于抽象概括而言的。利用直观可以使抽象的数学学习变得容易、有形、有趣。下面这个片段就是教师利用图像直观把冗长的文字表达浓缩成一张图，图里暗含着思考方法，一张图可以解决类似的很多问题。
【片段2】
在教学两步连除解
决实际问题这节课的时候，学生想出了三种解决的方法，为了使学生加深对这种题型的理解，最后课件隐去实物图，呈现出一个简化的示意图（如下图）
师：回想刚才解题的过程，我们用这个大的长方形表示一共有224本书。
师（指一横排）：横着看，一行表示什么意思？
生1：表示一大层有多少本书？
师：我们可以先算出一大层有多少本。那竖着看呢？（师指一竖排） 生2：表示可以先算出一个书架有多少本。
师：除了横着看，竖着看，还可以怎么看？表示先算什么？
生3：还可以整体看，先算出一共有多少层。
师：有道理。
师：看，我们解决一个问题方法是多样的，我们可以从不同的角度去解决同一个问题。
在这个片断中，为了更好地培养数形结合的能力，借助长方形图示，学生看图解释每一步算式的含义，同时沟通三种方法的联系，学生可以横着看，先求出两个书架一层有多少本？也可以竖着看，先求出一个书架有多少本书？还可以从整体上看，先求出两个书架一共有多少层？这样就从带有情境性的题目中抽离出来，直观地阐释了题中出现的每一个数量之间的关系。更为重要的是，学生在轻松解决问题的过程中也能体会图像直观的价值，逐渐养成借助示意图来表征数学问题情景的成分和结构的能力，达到对数学问题结构的理解，进而为解题者提供一些未经解释或只要通过形式转换就可以被察觉和使用的信息，促进问题的解决。按照建构主义的观点，“知识不是被看做对外在世界的特征的某种真实的摹写，而是个体的建构。知识的获得即学习不是把‘真理的金子’移交给个体，而是由个体自己去建构的。学习者不是被看成知识的被动接受者，而是知识的主动建构者”[5]。教师要通过各种方法帮助学生形成自我建构，把他们头脑中零碎的、凌乱的数学知识串成一条美丽的珍珠项链，这样学生在遇到不同的数学问题时，就不会抓耳挠腮、左顾右盼，他们一定会循着头脑里那张思维导图、那张美丽的网，有理有据、井井有条地去找寻他们想要的答案。
但是，语言是思维的工具，我们还应该从图像中回到抽象的语境，在图像和文字之间建立联系，如果学生只会把文字翻译成图像，而不会把图像变成文字，那就是“伪图像人”，图像不能取代细致严密的文字表达，所以我们不能只是一味满足学生对于图像的兴趣，而忽视了严密的精确的语言表达。
三、还原生活原型，促进认知建构
数学源于生活，与生活有着密切的联系。数学教学需要将问题置身于生活情境中，将数学知识还原成生活原型，有助于学生理解问题和把握实质。
【片段3】
在练习中，“想想做做”有这样一题（如图所示）：
一般情况下，学生对于“每日3次，每次2片”这样的词汇描述不太理解，尽管会依葫芦画瓢列出算式，但是无法说清解题思路或者无法用语言解释清楚对算式的理解。于是，笔者对这道题进行了改编，为了使学生更加直观地理解题目的意思，呈现了药片的实物图，并且把150片药这样的大样本变成了30片药这样的小样本进行了研究，于是，先呈现了下面的内容：
当学生读懂题目，写出前两种解法30÷2=15（次）15÷3=5（天）和2×3=6（片）30÷6=5（天）。
师：还有别的方法吗？
生：我是用30÷3=10，再用10÷2=5（天）。
师：30÷3=10是什么意思？后面应该写什么单位名称？
生：表示一共吃了多少次？（其他学生发出疑惑的表情）哦，不对，应该是每日吃几片，也不对……
师（微笑着）：没关系，每日吃三次，我们可以这样理解，假设这些药片分成早上、中午、晚上三次吃完，（出示图一）30÷3=10（片）就可以表示早上一共要吃10片，早上、中午、晚上吃的是一样多的。这样我们只要算出早上的药用几天吃完就可以了。（出示图二）
在这个片段中，学生对于纯文字叙述“每日吃3次，每次吃2片”不理解，对于第三种解法，也许是习惯性地作出直觉的猜测，学生却无法解释具体算式的意义。这时，我们需要把这样的数学内容还原到儿童的生活中去，要把药片的实物图呈现出来，借助直观图，借助生活模型，还原数学的本质，让学生理解题目的意思。荷兰的数学家、教育家弗赖登塔尔所倡导的现实主义数学教育思想指导下的课程，其基本特征有两点：第一，它是现实的，即注重情境的作用，从学生熟悉的现实生活开始和结束，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密联系在一起。第二，它是实现的，即现实数学教育与数学的“再发现”紧密相连，这里的“再发现”就是数学化[6]。人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，以便更加直观、清晰地了解知识与现实世界的关系，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。因此，数学教学要充分发挥利用几何直观还原生活原型的作用，教科书虽然为数学教学提供了数学语言及丰富的图画，教师应把教科书中的图画转化为具体实物或图形，将语言转化为具体材料，注意引导学生利用直观把文字叙述的题目变成几何直观，不必急于给出解决问题的方法。要相信，小学生能在他们的认知水平上涌现出许多令人赞叹的观察。
儿童的数学学习就是要立足当下、亲近生活，让儿童享受幸福的童年，更是要指向未来、发现生活，点燃儿童的精彩人生。我们希冀不断地从数学、生活、儿童的思辨中提升研究品质，让儿童的数学学习发生在生活的具象与数学的抽象之间。
参考文献：
[1]张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）.
[2][美]杜威.我们怎样思维·经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2005：186.
[3][斯]阿莱斯·艾尔雅维茨.图像时代[M].长春：吉林人民出版社，2003：5.
[4]叶澜.教育学原理[M].北京：人民教育出版社，2007：81.
[5]蒋述东，刘洪文.建构主义理论与课堂教学的新理念[J].重庆教育学院学报，2005（2）.
[6]戚邵斌.弗赖登塔尔数学教育思想的哲学基础[J].武汉教育学院学报，1999（6）.
责任编辑：石萍