论文部分内容阅读
中考试题中有关函数的许多题目,求解的思路不难,但解题时,学生往往由于审题不清、考虑不周而错解.为帮助老师们在复习阶段搞好函数部分的复习,现将函数部分学生最容易失分的考点归纳如下.
1混淆纵坐标、横坐标在解析式中的对应关系
例1(2014年武汉市)已知直线y=2x-b经过点(1,-1),求关于x的不等式2x-b≥0的解集.
失分错因及分析有的同学由于错将函数图象上点的横、纵坐标与函数解析式中的x、y的对应关系混淆,而错求b=-3,导致后续错误.当点M(x,y)满足某函数解析式时,横坐标对应解析式中的x,纵坐标对应解析式中的y.正确解答应该是:把点(1,-1)代入直线y=2x-b得,-1=2-b,解得b=3.解2x-3≥0,得x≥32.
2对函数的图像与系数的符号之间的关系不清
例2(2014年抚州市)如,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P、点Q.
(1)求点P的坐标;
(2)若△POQ的面积为8,求k的值.
失分错因及分析(1)因为PQ∥x轴,所以点P的纵坐标为2,把y=2代入y=6x,得x=3,所以P点坐标为(3,2);对于(2),有的同学由反比例函数k的几何意义,由S△POQ=S△OMQ S△OMP,得12k 12×6=8,所以k=10.事实上,由知,反比例函数y=kx的图象的一支在第二象限,故k<0.正确解答应是:12|k| 12×6=8,所以|k|=10,所以k=±10.因为k<0,k=-10.
例3(2014年巴中市)已知二次函数y=ax2 bx c的图象如图2,则下列叙述正确的是()
A.abc<0B.-3a c<0
C.b2-4ac≥0
D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2 c
失分错因及分析有的同学将抛物线的开口方向与a的符号相混或不能准确判定b、c的符号而错选A,事实上,因为抛物线的开口向下,所以a<0,抛物线与y轴负半轴相交,所以c<0;对称轴x=-b2a=2>0,所以b>0,所以abc>0.
有的同学对用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点的个数这一知识掌握不清,而错选B,事实上,本题中抛物线与x轴有两个不同的交点,所以Δ=b2-4ac>0,故本选项错误.
由图知抛物线顶点横坐标为2,图象向左平移2个单位后横坐标为0,有的同学误认为平移后解析式为y=ax2 c.事实上,y=ax2 bx c=a(x-2)2 4ac-b24a,因为x=-b2a=2,向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2 4ac-b24a,故本选项错误.
根据对称轴x=-b2a=2,得b=-4a,再根据图象,知当x=1时,y=a b c=a-4a c=-3a c<0,故本选项正确,答案应选B.
3记错函数解析式的模式
例4(2014年绍兴市)如的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19(x-6)2 4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
失分错因及分析有的同学认为:如,易得抛物线的顶点坐标为(-6,4),设抛物线解析式为y=a(x-6)2 4,将(-12,0)代入y=a(x-6)2 4,得a=-19,所以选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19(x-6)2 4.事实上,若二次函数的顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式可设为y=a(x-h)2 k,上述错解设成了y=a(x h)2 k的形式.正确答案为y=-19(x 6)2 4.
4考虑问题不全面
例5(2014年株洲市)如果函数y=(a-1)x2 3x a 5a-1的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.
失分错因及分析有的同学认为函数图象经过四个象限,需满足2个条件:函数是二次函数;二次函数与x轴有两个交点.即a-1≠0,a≠1;Δ=9-4(a-1)·a 5a-1=-4a-11>0,解得a<-114.所以a的取值范围是a<-114.
事实上,借助草图分析,不难发现函数图象经过四个象限,除应满足以上两个条件外,还应满足条件“二次函数与y轴的正半轴相交”,即a 5a-1>0,解得a>1或a<-5.综上a的取值范围是a<-5.
5忽略实际问题中自变量的取值范围
例6(2014年成都市)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
失分错因及分析大部分同学都能顺利解答(1)小题:因为AB=xm,所以BC=(28-x)m,所以x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16.即x的值为12m或16m.
但对于第(2)小题,有同学是这样解的:由题意,S=x(28-x)=-x2 28x=-(x-14)2 196.所以当x=14时,S取到最大值,Smax=196(m2).
致错原因在于,错解忽略了条件“树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内”对x的限制作用,顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,可借助图象进行分析以求取最值.正确解答应该是:(2)由题意,S=x(28-x)=-x2 28x=-(x-14)2 196. 因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,且要将这棵树围在花园内,所以应有x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.
所以根据二次函数增减性,知当x=13时,S取到最大值,S最大=-(13-14)2 196=195(平方米).
花园面积S的最大值为195平方米.
6缺乏分类意识致错
例7(2014年舟山市)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2 m2 1有最大值4,则实数m的值为().
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
失分错因及分析有的同学是这样解的:x=m时,二次函数有最大值m2 1,此时m2 1=4,解得m=-3,m=3,从而错选B.上述错解一方面忽略了-2≤x≤1,所以m=3应舍去,另一方面由于受二次函数在顶点处取得最值的思维定势的影响,错误地认定m满足-2≤x≤1.
本题应根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解:
二次函数的对称轴为直线x=m.
①若m<-2,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2 m2 1=4,解得m=-74,这与m<-2矛盾,故m值不存在.
②若﹣2≤m≤1,x=m时,二次函数有最大值m2 1,此时m2 1=4,解得m=-3,m=3(舍去).
③若m>1,x=1时,二次函数有最大值,此时,-(1-m)2 m2 1=4,解得m=2,
综上所述,m的值为2或-3.故选C.
例8(2014年资阳市)如,已知抛物线y=ax2 bx c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0 失分错因及分析对于(1)小题,易得抛物线的解析式为y=-x2 2x 3;
对于(2)小题,△ABM为等腰三角形,但由于等腰三角形腰、底指向不明,而有的同学易忽略分类讨论.正确解答应是:①当MA=MB时,M(0,0);②当AB=AM时,M(0,﹣3);③当AB=BM时,M(0,3 32)或M(0,3-32).所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3 32)、(0,3﹣32).
对于(3)小题,在△AOB沿x轴向右平移的过程,应分二种情况:①0 设直线AB的解析式为y=k1x b1,把A(3,0)、B(0,3)代入,得3k1 b1=0,
b1=3.解得k1=-1,
b1=3.
则直线AB的解析式为y=-x 3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0 设直线AC的解析式为y=k2x b2,则3k2 b2=0,
k2 b2=4.解得k2=-2,
b2=6.则直线AC的解析式为y=-2x 6.
连结BE,直线BE交AC于G,则G(32,3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中,
①当0 联立y=-2x 6
y=-x 3 m,解得x=3-m
y=2m.即点M(3-m,2m).
所以S=S△PEF-S△PAK-S△AFM=12PE2-12PK2-12AF·h=92-12(3-m)2-12m·2m=-32m2 3m.
②当32 因为BE=m,所以PK=PA=3-m.
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x 6,所以当x=m时,y=6-2m,所以点H(m,6-2m).
所以S=S△PAH-S△PAK=12PA·PH-12PA2=-12(3-m)·(6-2m)-12(3-m)2=12m2-3m 92.
综上所述,当0 作者简介房延华,男,1971年1月生,山东省临清人.在《中学数学杂志》等报刊杂志发表文章5000余篇.
1混淆纵坐标、横坐标在解析式中的对应关系
例1(2014年武汉市)已知直线y=2x-b经过点(1,-1),求关于x的不等式2x-b≥0的解集.
失分错因及分析有的同学由于错将函数图象上点的横、纵坐标与函数解析式中的x、y的对应关系混淆,而错求b=-3,导致后续错误.当点M(x,y)满足某函数解析式时,横坐标对应解析式中的x,纵坐标对应解析式中的y.正确解答应该是:把点(1,-1)代入直线y=2x-b得,-1=2-b,解得b=3.解2x-3≥0,得x≥32.
2对函数的图像与系数的符号之间的关系不清
例2(2014年抚州市)如,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P、点Q.
(1)求点P的坐标;
(2)若△POQ的面积为8,求k的值.
失分错因及分析(1)因为PQ∥x轴,所以点P的纵坐标为2,把y=2代入y=6x,得x=3,所以P点坐标为(3,2);对于(2),有的同学由反比例函数k的几何意义,由S△POQ=S△OMQ S△OMP,得12k 12×6=8,所以k=10.事实上,由知,反比例函数y=kx的图象的一支在第二象限,故k<0.正确解答应是:12|k| 12×6=8,所以|k|=10,所以k=±10.因为k<0,k=-10.
例3(2014年巴中市)已知二次函数y=ax2 bx c的图象如图2,则下列叙述正确的是()
A.abc<0B.-3a c<0
C.b2-4ac≥0
D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2 c
失分错因及分析有的同学将抛物线的开口方向与a的符号相混或不能准确判定b、c的符号而错选A,事实上,因为抛物线的开口向下,所以a<0,抛物线与y轴负半轴相交,所以c<0;对称轴x=-b2a=2>0,所以b>0,所以abc>0.
有的同学对用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点的个数这一知识掌握不清,而错选B,事实上,本题中抛物线与x轴有两个不同的交点,所以Δ=b2-4ac>0,故本选项错误.
由图知抛物线顶点横坐标为2,图象向左平移2个单位后横坐标为0,有的同学误认为平移后解析式为y=ax2 c.事实上,y=ax2 bx c=a(x-2)2 4ac-b24a,因为x=-b2a=2,向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2 4ac-b24a,故本选项错误.
根据对称轴x=-b2a=2,得b=-4a,再根据图象,知当x=1时,y=a b c=a-4a c=-3a c<0,故本选项正确,答案应选B.
3记错函数解析式的模式
例4(2014年绍兴市)如的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19(x-6)2 4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
失分错因及分析有的同学认为:如,易得抛物线的顶点坐标为(-6,4),设抛物线解析式为y=a(x-6)2 4,将(-12,0)代入y=a(x-6)2 4,得a=-19,所以选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=-19(x-6)2 4.事实上,若二次函数的顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式可设为y=a(x-h)2 k,上述错解设成了y=a(x h)2 k的形式.正确答案为y=-19(x 6)2 4.
4考虑问题不全面
例5(2014年株洲市)如果函数y=(a-1)x2 3x a 5a-1的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.
失分错因及分析有的同学认为函数图象经过四个象限,需满足2个条件:函数是二次函数;二次函数与x轴有两个交点.即a-1≠0,a≠1;Δ=9-4(a-1)·a 5a-1=-4a-11>0,解得a<-114.所以a的取值范围是a<-114.
事实上,借助草图分析,不难发现函数图象经过四个象限,除应满足以上两个条件外,还应满足条件“二次函数与y轴的正半轴相交”,即a 5a-1>0,解得a>1或a<-5.综上a的取值范围是a<-5.
5忽略实际问题中自变量的取值范围
例6(2014年成都市)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
失分错因及分析大部分同学都能顺利解答(1)小题:因为AB=xm,所以BC=(28-x)m,所以x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16.即x的值为12m或16m.
但对于第(2)小题,有同学是这样解的:由题意,S=x(28-x)=-x2 28x=-(x-14)2 196.所以当x=14时,S取到最大值,Smax=196(m2).
致错原因在于,错解忽略了条件“树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内”对x的限制作用,顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,可借助图象进行分析以求取最值.正确解答应该是:(2)由题意,S=x(28-x)=-x2 28x=-(x-14)2 196. 因为在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,且要将这棵树围在花园内,所以应有x≥6,28-x≥15,所以6≤x≤13.
所以根据二次函数增减性,知当x=13时,S取到最大值,S最大=-(13-14)2 196=195(平方米).
花园面积S的最大值为195平方米.
6缺乏分类意识致错
例7(2014年舟山市)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2 m2 1有最大值4,则实数m的值为().
A.-74B.3或-3
C.2或-3D.2或-3或-74
失分错因及分析有的同学是这样解的:x=m时,二次函数有最大值m2 1,此时m2 1=4,解得m=-3,m=3,从而错选B.上述错解一方面忽略了-2≤x≤1,所以m=3应舍去,另一方面由于受二次函数在顶点处取得最值的思维定势的影响,错误地认定m满足-2≤x≤1.
本题应根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解:
二次函数的对称轴为直线x=m.
①若m<-2,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2 m2 1=4,解得m=-74,这与m<-2矛盾,故m值不存在.
②若﹣2≤m≤1,x=m时,二次函数有最大值m2 1,此时m2 1=4,解得m=-3,m=3(舍去).
③若m>1,x=1时,二次函数有最大值,此时,-(1-m)2 m2 1=4,解得m=2,
综上所述,m的值为2或-3.故选C.
例8(2014年资阳市)如,已知抛物线y=ax2 bx c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0
对于(2)小题,△ABM为等腰三角形,但由于等腰三角形腰、底指向不明,而有的同学易忽略分类讨论.正确解答应是:①当MA=MB时,M(0,0);②当AB=AM时,M(0,﹣3);③当AB=BM时,M(0,3 32)或M(0,3-32).所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3 32)、(0,3﹣32).
对于(3)小题,在△AOB沿x轴向右平移的过程,应分二种情况:①0
b1=3.解得k1=-1,
b1=3.
则直线AB的解析式为y=-x 3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0
k2 b2=4.解得k2=-2,
b2=6.则直线AC的解析式为y=-2x 6.
连结BE,直线BE交AC于G,则G(32,3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中,
①当0
y=-x 3 m,解得x=3-m
y=2m.即点M(3-m,2m).
所以S=S△PEF-S△PAK-S△AFM=12PE2-12PK2-12AF·h=92-12(3-m)2-12m·2m=-32m2 3m.
②当32
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x 6,所以当x=m时,y=6-2m,所以点H(m,6-2m).
所以S=S△PAH-S△PAK=12PA·PH-12PA2=-12(3-m)·(6-2m)-12(3-m)2=12m2-3m 92.
综上所述,当0