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“运动型”几何题是近几年中考热点,它是以几何元素运动为背景,探讨变化中的几何量之间的关系,常常集几何､代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性.
解决这类几何图形的“运动型”试题,关键是不管点在运动､线在运动､还是图形在运动,解题时都要发挥想像能力,不被“动”所迷惑,应在“动”中求“静”,以“静”为向导,做到“以静制动”,即把动态问题转化为静态问题来解,同时,要善于利用相似三角形性质定理,勾股定理,与圆有关的定理,面积关系,借助方程这座桥梁,从而得到函数的关系式. 必要时,对函数关系式中的自变量的取值范围必须认真考虑,一般需要有约束条件. 常见的有:动点型､动线型､动面型.
一､动点型
例1 (2006年德州)如图1,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于P,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为( ,)(用含x的代数式表示 ).
(2) 试求△PNC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值.
(3) 当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.
解 (1)由△OAC∽△MAP得Px,3 - x.
(2)如图1,延长MP交BC于点
D,则CN = 4 - x, PD = 3 - 3 - x =x.
∴ S =(4 - x) x = -x2 +x = -(x - 2)2 +,
∴ S的最大值为 ,此时x = 2.
(3)设△NPC是等腰三角形,有三种情况:
①若PC = PN,则4 - x = 2x,解得x =.
②若CP = CN,由△MAP∽△OAC,得=. ∵ AC = 5,MA = 4 - x,OA = 4,
∴ AP = 5 -x,∴PC = 5 - AP = x,
∴ x = 4 - x,解得x =.
③如图2, 图2若NC = NP,过N作NE⊥AC于点E,由②知PC=x ,
∴C E=PC =x.
由△CEN∽△AOC得 =.
∵ CN = 4 - x,CE =x,AC = 5,AO = 4,解得x =.
点评 点的运动是运动型几何题中最常见类型,同学们在复习阶段应该多加关注;这类题的求解要点是抓住运动变化中的“不变”建立函数关系式,同时要特别留意自变量的取值范围.
二､动线型
例2 如图3,直线AB过点A(m,0),B(0,n),(m > 0,n > 0),反比例函数y = 的图像与AB交于C,D两点,P为双曲线y = 上任意一点,过P点作PQ⊥x轴于Q,PR⊥y轴于R.
(1) 若m + n = 10,n为何值时,△AOB的面积最大?最大值是多少?
(2) 若△AOC,△COD,△DOB的面积相等,求n的值.
(3) 在(2)条件下,过O,D,C三点作抛物线,当抛物线的对称轴为x = 1时,矩形PROQ的面积是多少?
解 (1)∵S△AOB =mn,m + n = 10,得m = 10 - n,
∴ S△AOB = -n2 + 5n = - (n - 5)2 +.
因此当n = 5时,△AOB的面积最大,最大值是 . (2)由S△ADC = S△COD = S△DOB,知BC = CD = DA,过C作CH⊥x轴于H,如图3,则△AHC∽△AOB,
∴== =,
∴ CH =n,AH =m,
∴ OH = OA - AH =m,
∴C m, n.
又∵点C在反比例函数y = 的图像上,
∴n = ,解得n =.
(3)由(2)知n =,∴C m, ,D m,3.
设过O,D,C三点抛物线解析式为y = ax2 + bx,则有3 =m2a +mb,=m2a +mb,b = -2a .整理得27 = m2a - 6ma,27 = 8m2a - 24ma.
解得m =.
∴ S矩形PROQ = |m| =.
点评 例2中三角形面积和两直角边都是变量,但两直角边之和是常量,利用这点可将两个变量联系起来,得到函数关系式;这类题求解应抓住在直线､线段的移动过程中,其保持不变的量,再结合三角形面积中同高等底,相似三角形的性质定理及换元法等求解.
三､动面型
例3 (2007 年江西)如图4,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与原点重合,对角线BD所在直线的函数关系式为y =x,AD = 8,矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从点A出发做匀速运动,沿矩形ABCD的边经过点B到达C用了14秒.
(1) 求矩形ABCD的周长.
(2) 如图5,图形运动到第5秒时,求点P的坐标.
(3) 设矩形运动的时间为t,当0 ≤ t ≤ 6时,点P所经过的路线是一条线段,请求出线段所在直线的函数关系式.
(4) 当点P在线段AB或BC上运动时,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
解 (1)把AD = 8代入y =x中得:AB = y = 6,
∴矩形ABCD的周长是28.
(2)如图5,延长CD,BA交x轴于点G,H,
又∵ AB + BC = 14, 点P走过AB,BC的时间为14s,
∴点P的速度为每秒1个单位. 由题知OD = 5,令OG = k,则DG =k(k > 0).
在Rt△ODE中,k2 +k2 = 25,解得k = 4即OG = 4,DG = 3,∴D(4,3),∴ OH = 4 + 8 = 12,∴ B(12,9),因此点P在AB上.
又∵AP = 5 + 3 = 8, ∴P(12,8).
(3)由题知:点P运动前的位置为(8,0),5 s后的位置是(12,8),又知它运动路线是一条线段,易知该线段所在直线的函数关系式为:y = 2x - 16.
(4)分两种情况:如图6 ,①当点P在AB上运动,
即0 ≤ t ≤ 6时, 点D的坐标为 t, t,所以点P的坐标为8 +t, t,若=,则=,解得t = 6.
当t = 6时,点P与点B重合,此时矩形PEOF与矩形BADC是相似形. 若=,则 =,解得t = 20.
∵ 20 > 6,∴点P不在AB边上,舍去.
②当点P在BC上运动,即6 ≤ t ≤ 14时,点D的坐标为 t, t,所以点P的坐标为(14-t, t + 6),若 =,则 = =,解得t = 6(已讨论).若 ==,则=,解得t == > 14,∴点P不在BC边上,舍去.
综上所述,当t = 6时,点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形.
点评 例3是四边形和一次函数的综合题,解答时利用勾股定理,相似形中的比例;解题时,应注意在运动过程中的相对变量与不变量的应用,用列方程等方法找出函数关系式,特别要留意自变量的取值范围.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
解决这类几何图形的“运动型”试题,关键是不管点在运动､线在运动､还是图形在运动,解题时都要发挥想像能力,不被“动”所迷惑,应在“动”中求“静”,以“静”为向导,做到“以静制动”,即把动态问题转化为静态问题来解,同时,要善于利用相似三角形性质定理,勾股定理,与圆有关的定理,面积关系,借助方程这座桥梁,从而得到函数的关系式. 必要时,对函数关系式中的自变量的取值范围必须认真考虑,一般需要有约束条件. 常见的有:动点型､动线型､动面型.
一､动点型
例1 (2006年德州)如图1,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于P,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为( ,)(用含x的代数式表示 ).
(2) 试求△PNC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值.
(3) 当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.
解 (1)由△OAC∽△MAP得Px,3 - x.
(2)如图1,延长MP交BC于点
D,则CN = 4 - x, PD = 3 - 3 - x =x.
∴ S =(4 - x) x = -x2 +x = -(x - 2)2 +,
∴ S的最大值为 ,此时x = 2.
(3)设△NPC是等腰三角形,有三种情况:
①若PC = PN,则4 - x = 2x,解得x =.
②若CP = CN,由△MAP∽△OAC,得=. ∵ AC = 5,MA = 4 - x,OA = 4,
∴ AP = 5 -x,∴PC = 5 - AP = x,
∴ x = 4 - x,解得x =.
③如图2, 图2若NC = NP,过N作NE⊥AC于点E,由②知PC=x ,
∴C E=PC =x.
由△CEN∽△AOC得 =.
∵ CN = 4 - x,CE =x,AC = 5,AO = 4,解得x =.
点评 点的运动是运动型几何题中最常见类型,同学们在复习阶段应该多加关注;这类题的求解要点是抓住运动变化中的“不变”建立函数关系式,同时要特别留意自变量的取值范围.
二､动线型
例2 如图3,直线AB过点A(m,0),B(0,n),(m > 0,n > 0),反比例函数y = 的图像与AB交于C,D两点,P为双曲线y = 上任意一点,过P点作PQ⊥x轴于Q,PR⊥y轴于R.
(1) 若m + n = 10,n为何值时,△AOB的面积最大?最大值是多少?
(2) 若△AOC,△COD,△DOB的面积相等,求n的值.
(3) 在(2)条件下,过O,D,C三点作抛物线,当抛物线的对称轴为x = 1时,矩形PROQ的面积是多少?
解 (1)∵S△AOB =mn,m + n = 10,得m = 10 - n,
∴ S△AOB = -n2 + 5n = - (n - 5)2 +.
因此当n = 5时,△AOB的面积最大,最大值是 . (2)由S△ADC = S△COD = S△DOB,知BC = CD = DA,过C作CH⊥x轴于H,如图3,则△AHC∽△AOB,
∴== =,
∴ CH =n,AH =m,
∴ OH = OA - AH =m,
∴C m, n.
又∵点C在反比例函数y = 的图像上,
∴n = ,解得n =.
(3)由(2)知n =,∴C m, ,D m,3.
设过O,D,C三点抛物线解析式为y = ax2 + bx,则有3 =m2a +mb,=m2a +mb,b = -2a .整理得27 = m2a - 6ma,27 = 8m2a - 24ma.
解得m =.
∴ S矩形PROQ = |m| =.
点评 例2中三角形面积和两直角边都是变量,但两直角边之和是常量,利用这点可将两个变量联系起来,得到函数关系式;这类题求解应抓住在直线､线段的移动过程中,其保持不变的量,再结合三角形面积中同高等底,相似三角形的性质定理及换元法等求解.
三､动面型
例3 (2007 年江西)如图4,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与原点重合,对角线BD所在直线的函数关系式为y =x,AD = 8,矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从点A出发做匀速运动,沿矩形ABCD的边经过点B到达C用了14秒.
(1) 求矩形ABCD的周长.
(2) 如图5,图形运动到第5秒时,求点P的坐标.
(3) 设矩形运动的时间为t,当0 ≤ t ≤ 6时,点P所经过的路线是一条线段,请求出线段所在直线的函数关系式.
(4) 当点P在线段AB或BC上运动时,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似(或位似)?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
解 (1)把AD = 8代入y =x中得:AB = y = 6,
∴矩形ABCD的周长是28.
(2)如图5,延长CD,BA交x轴于点G,H,
又∵ AB + BC = 14, 点P走过AB,BC的时间为14s,
∴点P的速度为每秒1个单位. 由题知OD = 5,令OG = k,则DG =k(k > 0).
在Rt△ODE中,k2 +k2 = 25,解得k = 4即OG = 4,DG = 3,∴D(4,3),∴ OH = 4 + 8 = 12,∴ B(12,9),因此点P在AB上.
又∵AP = 5 + 3 = 8, ∴P(12,8).
(3)由题知:点P运动前的位置为(8,0),5 s后的位置是(12,8),又知它运动路线是一条线段,易知该线段所在直线的函数关系式为:y = 2x - 16.
(4)分两种情况:如图6 ,①当点P在AB上运动,
即0 ≤ t ≤ 6时, 点D的坐标为 t, t,所以点P的坐标为8 +t, t,若=,则=,解得t = 6.
当t = 6时,点P与点B重合,此时矩形PEOF与矩形BADC是相似形. 若=,则 =,解得t = 20.
∵ 20 > 6,∴点P不在AB边上,舍去.
②当点P在BC上运动,即6 ≤ t ≤ 14时,点D的坐标为 t, t,所以点P的坐标为(14-t, t + 6),若 =,则 = =,解得t = 6(已讨论).若 ==,则=,解得t == > 14,∴点P不在BC边上,舍去.
综上所述,当t = 6时,点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形.
点评 例3是四边形和一次函数的综合题,解答时利用勾股定理,相似形中的比例;解题时,应注意在运动过程中的相对变量与不变量的应用,用列方程等方法找出函数关系式,特别要留意自变量的取值范围.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”