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一、课例研究背景
数学教育教学的主要目标是教会学生进行数学思考，发展学生的思维能力，让学生能以理性的思维方式去解决实际问题，成为一个问题解决者.而思源于疑，学生的思维发展过程往往始于问题，问题与教学是不可分割的统一体.教学围绕问题展开，问题在教学中得以解决，教学中又发现新的问题，就这样周而复始，推进教学活动逐步深入.
从发展学生思维的角度出发，课堂教学中提倡设计一些“大”的问题，问题越“大”学生的思考空间就会越大，解决问题就会越复杂，进而有利于学生综合运用知识经验，形成解决问题的高阶思维能力.但是往往由于问题过“大”，学生会迷失了思考的方向，导致课堂学习效率低下.而目前日常教学中教师设计的问题相对过小，学生解决问题的方法比较直接简单，自然学生的思考余地就会相对比较小，致使学生解决实际问题的能力难以形成.
为此，本课例研究致力于探寻设计适切的教学问题，为学生创设适度的思考空间，从而激发学生自主提问、质疑，引导学生主动尝试想出解决问题的策略，促进学生进行数学思考和问题解决思维能力的形成.
二、课例研究过程
本次课例研究选择的教学内容是沪教版三年级下册“放苹果”一课.本节课的教学是让学生通过操作活动初步感知、归纳抽屉原理.教师普遍感觉学生在操作中难以发现存在抽屉原理的现象，教师也难以组织有效的问题引导学生去观察发现.
为此，本次课例研究试图通过对课堂教学过程中的问题进行划分界定，从核心问题、关键问题和跟进问题这三个维度进行设计、观测、分析与改进.核心问题是指学生在课堂中的学习探索都是围绕此问题展开的，并能引发一系列需要解决的问题.关键问题是由核心问题引发的问题串，是为解决核心问题而产生又必须解决的问题.跟进问题是在解决关键问题的过程中，基于学科知识本质和课堂中学生的实际学情提出的引导性问题.
1.第一次教学实践
（1）关键问题设计
执教教师第一次独立设计的教学流程是“抢凳子游戏引入（5人4凳）—放苹果操作探索—实践应用原理”.每个教学环节设计的关键问题如表1.
（2）实践效果分析
基于第一次的课堂教学实践，参与研究的教师提出了这样几个问题：① 整节课学生的操作体验时间较少，练习较多，未能积累促进学生理解原理的数学活动经验;②学生没有体会到“抽屉原理”是综合考虑的一种存在现象，而不必考虑具体存在于哪里;③关键问题设计的切入口过小，限制了学生自主的思维，学生缺少自己的想法;④教师的一些跟进问题缺少针对性、层次性，妨碍了学生自主归纳抽屉原理.
（3）改进建议
针对以上问题，参与研究的教师建议改变三个关键问题，一是“游戏引入”环节中的关键问题改为“从抢凳子的游戏中你发现了什么？”二是把“3个苹果放入2个抽屉”环节中的关键问题“不管怎么放，能使每個抽屉里的苹果都不超过1个吗？”改为“不管怎么放，总有什么情况出现？”从直接利用“反证”到让学生先猜测再验证的思路转变，可激发学生自己提出问题，进而引发学生思考解决问题的路径.第三个是在通过推理验证原理的环节中，把“有没有一种更简单的方法，放一次就能说明至少有一个抽屉里要放2个或2个以上的苹果？”改变为“有没有更简单的办法验证这个结论呢？”期望通过这样的问题引导学生脱离放苹果的操作过程，进而联系游戏环节，从最不利的角度思考验证这个结论.
2.第二次教学实践
通过参与研究的教师对课堂存在问题的客观分析以及改进建议，执教教师确定了本节课的核心问题是“当‘物体’多于‘抽屉’时，不管怎样放，总有什么情况会发生？” 无论是游戏情境的引入，还是探索发现的过程，教师的提问始终应围绕这个问题以及其中的关键词“总有”而展开.
（1）关键问题设计
执教教师第二次设计的教学流程仍是“抢凳子游戏引入—放苹果操作探索—实践应用原理”.每个教学环节设计的关键问题如表2.
（2）实践效果分析
执教教师带着改变的三个关键问题，进行了第二次课堂实践.课堂实践中学生的操作体验在增加，也积累了一定的活动经验，但是课堂教学显示学生对于抽屉原理的理解还没有第一次效果好.
经过第二次的交流研讨，大家一致认为关键问题的改变的确引发了学生提出问题的意识，进而引发了学生思考解决的方案，即枚举所有情况探索原理.通过对第二次课堂实录的整理分析发现，本次效果不显著的根源在于问题的提出比较开放，学生的思维不是聚焦于一点，执教教师在引导学生解决“关键问题”的过程中，针对学生生成的零散想法提出的跟进问题存在无针对性、跟进问题提出的时机不适当、遗漏提出跟进问题等情况.
（3）改进建议
针对游戏环节中执教教师遗漏对“总有一次”的跟进提问，致使多数学生未能结合游戏情境理解“总有”在此处是只要有一个凳子就行，至于是哪个凳子则无须关注.这次跟进提问的缺失直接导致在后续探究环节中，学生不能从这个视角出发去验证结论.参与研究的教师一致认为此处的跟进提问非常关键，建议在下次实践中不仅要跟进提问，还需要引导学生结合游戏情境阐述对“总有”一词进行理解.
而在“3个苹果放入2个抽屉”的探究环节中，教师在学生操作部分过于介入跟进提问，在学生观察、辨析验证结论的环节中则未能引导学生始终围绕“总有”和“至少”进行及时适切的跟进提问.参与研究的教师认为要从学生操作获得的活动经验出发，围绕对“总有”和“至少”的理解适时捕捉学生的生成资源，以便促进学生理解抽屉原理.
为此，第三次教学着重观测、研讨执教教师跟进问题提出的价值、跟进问题提出的时机以及跟进问题的层次性等方面.
3.第三次教学实践
（1）关键问题设计
执教教师第三次设计的教学流程仍是“抢凳子游戏引入—放苹果操作探索—实践应用原理”，而且每个教学环节设计的关键问题相对第二次实践没有改变. （2）实践效果分析
执教教师在关键问题固定不变的情况下进行了课堂教学实践.教学过程中教师注重了对“游戏引入”环节中“总有一次”的跟进提问，并让学生借助抢凳子游戏强化对这个关键词语的理解.在“3个苹果放入2个抽屉”的探究环节中，教师也注重了引导学生围绕操作的数据验证结论，并关注了跟进问题的层次性，学生在教师的循循诱导下能比较透彻地理解和掌握抽屉原理.但是，参与研究的教师普遍感覺到这节课的教学目标已基本达成，但是教师跟进引导的过程似乎很艰难.综合前两次的课堂教学实践来看，当关键问题的设计改进后，教师提出跟进问题的适切度和时机都不尽如人意，追其原因，一是这部分知识对三年级学生而言难度过高，二是执教教师对此部分知识的理解程度不足，三是课堂教学理念转变过程中行为跟进相对落后.
三、研究收获与反思
本次课例研究经历了“三实践两反思”的过程，从课堂教学过程中的核心问题、关键问题和跟进问题这三个维度进行观测、分析与改进，逐步构建基于问题解决的课堂教学结构.在几次改进的过程中，我们不仅理清了本节课的教学思路，更积累了一些创设适切教学问题的经验与思考.
1.依据学科知识本质与学生学习障碍设计核心问题
核心问题需要综合对学科知识本质的理解和基于学生实际年龄特点、学习能力基础等学情分析的基础上产生，而不能仅凭教师的个体经验，更需要教师对学科知识的分析，对学情的客观调研分析，进而抓住知识的深化、发展点，并结合学生在学习知识过程中的困惑而确定.如本节课核心问题的确定首先是对抽屉原理本质的理解，抽屉原理是研究一类与“存在性”有关的问题，在这类问题中，不管是哪个物体的存在，因何种方式存在，只要存在即可.学生在学习中的障碍是通过操作活动积累的经验不足以从这个视角去发现、归纳结论.这样双向分析找到交叉点后就能比较精确地定位本节课的核心问题，而核心问题的精准确定决定了课堂教学的方向.
2.依据知识发展序列与学生已有经验设计关键问题
关键问题都是围绕解决核心问题而展开的，其应遵循知识发生、发展的顺序，要找准关键问题之间内在的逻辑关系.关键问题的设计还应以学生已有的知识和经验为基础，力求设计尽量“大”的问题，让学生有思维能力发展的空间，把学生的学习引向深入，以揭示其科学本质，从而引发新的思考.例如本课例中“从抢凳子的游戏中你发现了什么？”和“3个苹果全部放入2个抽屉中，不管怎么放，总有什么情况出现？”这两个关键问题的设计都力求引发学生通过观察自己提出问题、分析问题，进而思考解决问题的办法，而且两者之间具有内在的逻辑关系，只有学生在解决第一个问题后，初步感知了抽屉原理存在的现象，才能从抽屉原理这个视角进行猜测，进而想办法验证.这样基于解决关键问题链的学习过程，学生收获的不仅仅是知识本身，更重要的是收获了思考解决这一系列问题的数学思维过程.
3.依据明晰混淆知识与临场诊断学情提出跟进问题
关键问题的设计侧重于促进思维活动的开展，引发学生主动思考解决问题的方法，在这样的课堂教学中学生的思维是活跃的，学生生成的想法和问题是多样的.如何及时捕捉有价值的生成信息，如何从学生的视角提出跟进问题，逐步有序地推进课堂教学，对教师来说是一个极大的挑战.教师不仅要抓住教学知识之间的内在矛盾与联系，在新旧知识的结合点、学生的疑难处设计问题，还要在基于问题解决的课堂实践中不断磨炼，逐渐积累教学实践智慧，把握恰当的跟进时机，从而激发学生积极的思维活动.正如本课例研究中的第二、三次教学实践，学生观察数据的角度和顺序是不同的，每节课学生的想法也不尽相同，这就需要教师依据学生的学情进行准确诊断，从而提出有针对性的跟进问题，进而有效引导学生展开分析讨论.
数学教育教学的主要目标是教会学生进行数学思考，发展学生的思维能力，让学生能以理性的思维方式去解决实际问题，成为一个问题解决者.而思源于疑，学生的思维发展过程往往始于问题，问题与教学是不可分割的统一体.教学围绕问题展开，问题在教学中得以解决，教学中又发现新的问题，就这样周而复始，推进教学活动逐步深入.
从发展学生思维的角度出发，课堂教学中提倡设计一些“大”的问题，问题越“大”学生的思考空间就会越大，解决问题就会越复杂，进而有利于学生综合运用知识经验，形成解决问题的高阶思维能力.但是往往由于问题过“大”，学生会迷失了思考的方向，导致课堂学习效率低下.而目前日常教学中教师设计的问题相对过小，学生解决问题的方法比较直接简单，自然学生的思考余地就会相对比较小，致使学生解决实际问题的能力难以形成.
为此，本课例研究致力于探寻设计适切的教学问题，为学生创设适度的思考空间，从而激发学生自主提问、质疑，引导学生主动尝试想出解决问题的策略，促进学生进行数学思考和问题解决思维能力的形成.
二、课例研究过程
本次课例研究选择的教学内容是沪教版三年级下册“放苹果”一课.本节课的教学是让学生通过操作活动初步感知、归纳抽屉原理.教师普遍感觉学生在操作中难以发现存在抽屉原理的现象，教师也难以组织有效的问题引导学生去观察发现.
为此，本次课例研究试图通过对课堂教学过程中的问题进行划分界定，从核心问题、关键问题和跟进问题这三个维度进行设计、观测、分析与改进.核心问题是指学生在课堂中的学习探索都是围绕此问题展开的，并能引发一系列需要解决的问题.关键问题是由核心问题引发的问题串，是为解决核心问题而产生又必须解决的问题.跟进问题是在解决关键问题的过程中，基于学科知识本质和课堂中学生的实际学情提出的引导性问题.
1.第一次教学实践
（1）关键问题设计
执教教师第一次独立设计的教学流程是“抢凳子游戏引入（5人4凳）—放苹果操作探索—实践应用原理”.每个教学环节设计的关键问题如表1.
（2）实践效果分析
基于第一次的课堂教学实践，参与研究的教师提出了这样几个问题：① 整节课学生的操作体验时间较少，练习较多，未能积累促进学生理解原理的数学活动经验;②学生没有体会到“抽屉原理”是综合考虑的一种存在现象，而不必考虑具体存在于哪里;③关键问题设计的切入口过小，限制了学生自主的思维，学生缺少自己的想法;④教师的一些跟进问题缺少针对性、层次性，妨碍了学生自主归纳抽屉原理.
（3）改进建议
针对以上问题，参与研究的教师建议改变三个关键问题，一是“游戏引入”环节中的关键问题改为“从抢凳子的游戏中你发现了什么？”二是把“3个苹果放入2个抽屉”环节中的关键问题“不管怎么放，能使每個抽屉里的苹果都不超过1个吗？”改为“不管怎么放，总有什么情况出现？”从直接利用“反证”到让学生先猜测再验证的思路转变，可激发学生自己提出问题，进而引发学生思考解决问题的路径.第三个是在通过推理验证原理的环节中，把“有没有一种更简单的方法，放一次就能说明至少有一个抽屉里要放2个或2个以上的苹果？”改变为“有没有更简单的办法验证这个结论呢？”期望通过这样的问题引导学生脱离放苹果的操作过程，进而联系游戏环节，从最不利的角度思考验证这个结论.
2.第二次教学实践
通过参与研究的教师对课堂存在问题的客观分析以及改进建议，执教教师确定了本节课的核心问题是“当‘物体’多于‘抽屉’时，不管怎样放，总有什么情况会发生？” 无论是游戏情境的引入，还是探索发现的过程，教师的提问始终应围绕这个问题以及其中的关键词“总有”而展开.
（1）关键问题设计
执教教师第二次设计的教学流程仍是“抢凳子游戏引入—放苹果操作探索—实践应用原理”.每个教学环节设计的关键问题如表2.
（2）实践效果分析
执教教师带着改变的三个关键问题，进行了第二次课堂实践.课堂实践中学生的操作体验在增加，也积累了一定的活动经验，但是课堂教学显示学生对于抽屉原理的理解还没有第一次效果好.
经过第二次的交流研讨，大家一致认为关键问题的改变的确引发了学生提出问题的意识，进而引发了学生思考解决的方案，即枚举所有情况探索原理.通过对第二次课堂实录的整理分析发现，本次效果不显著的根源在于问题的提出比较开放，学生的思维不是聚焦于一点，执教教师在引导学生解决“关键问题”的过程中，针对学生生成的零散想法提出的跟进问题存在无针对性、跟进问题提出的时机不适当、遗漏提出跟进问题等情况.
（3）改进建议
针对游戏环节中执教教师遗漏对“总有一次”的跟进提问，致使多数学生未能结合游戏情境理解“总有”在此处是只要有一个凳子就行，至于是哪个凳子则无须关注.这次跟进提问的缺失直接导致在后续探究环节中，学生不能从这个视角出发去验证结论.参与研究的教师一致认为此处的跟进提问非常关键，建议在下次实践中不仅要跟进提问，还需要引导学生结合游戏情境阐述对“总有”一词进行理解.
而在“3个苹果放入2个抽屉”的探究环节中，教师在学生操作部分过于介入跟进提问，在学生观察、辨析验证结论的环节中则未能引导学生始终围绕“总有”和“至少”进行及时适切的跟进提问.参与研究的教师认为要从学生操作获得的活动经验出发，围绕对“总有”和“至少”的理解适时捕捉学生的生成资源，以便促进学生理解抽屉原理.
为此，第三次教学着重观测、研讨执教教师跟进问题提出的价值、跟进问题提出的时机以及跟进问题的层次性等方面.
3.第三次教学实践
（1）关键问题设计
执教教师第三次设计的教学流程仍是“抢凳子游戏引入—放苹果操作探索—实践应用原理”，而且每个教学环节设计的关键问题相对第二次实践没有改变. （2）实践效果分析
执教教师在关键问题固定不变的情况下进行了课堂教学实践.教学过程中教师注重了对“游戏引入”环节中“总有一次”的跟进提问，并让学生借助抢凳子游戏强化对这个关键词语的理解.在“3个苹果放入2个抽屉”的探究环节中，教师也注重了引导学生围绕操作的数据验证结论，并关注了跟进问题的层次性，学生在教师的循循诱导下能比较透彻地理解和掌握抽屉原理.但是，参与研究的教师普遍感覺到这节课的教学目标已基本达成，但是教师跟进引导的过程似乎很艰难.综合前两次的课堂教学实践来看，当关键问题的设计改进后，教师提出跟进问题的适切度和时机都不尽如人意，追其原因，一是这部分知识对三年级学生而言难度过高，二是执教教师对此部分知识的理解程度不足，三是课堂教学理念转变过程中行为跟进相对落后.
三、研究收获与反思
本次课例研究经历了“三实践两反思”的过程，从课堂教学过程中的核心问题、关键问题和跟进问题这三个维度进行观测、分析与改进，逐步构建基于问题解决的课堂教学结构.在几次改进的过程中，我们不仅理清了本节课的教学思路，更积累了一些创设适切教学问题的经验与思考.
1.依据学科知识本质与学生学习障碍设计核心问题
核心问题需要综合对学科知识本质的理解和基于学生实际年龄特点、学习能力基础等学情分析的基础上产生，而不能仅凭教师的个体经验，更需要教师对学科知识的分析，对学情的客观调研分析，进而抓住知识的深化、发展点，并结合学生在学习知识过程中的困惑而确定.如本节课核心问题的确定首先是对抽屉原理本质的理解，抽屉原理是研究一类与“存在性”有关的问题，在这类问题中，不管是哪个物体的存在，因何种方式存在，只要存在即可.学生在学习中的障碍是通过操作活动积累的经验不足以从这个视角去发现、归纳结论.这样双向分析找到交叉点后就能比较精确地定位本节课的核心问题，而核心问题的精准确定决定了课堂教学的方向.
2.依据知识发展序列与学生已有经验设计关键问题
关键问题都是围绕解决核心问题而展开的，其应遵循知识发生、发展的顺序，要找准关键问题之间内在的逻辑关系.关键问题的设计还应以学生已有的知识和经验为基础，力求设计尽量“大”的问题，让学生有思维能力发展的空间，把学生的学习引向深入，以揭示其科学本质，从而引发新的思考.例如本课例中“从抢凳子的游戏中你发现了什么？”和“3个苹果全部放入2个抽屉中，不管怎么放，总有什么情况出现？”这两个关键问题的设计都力求引发学生通过观察自己提出问题、分析问题，进而思考解决问题的办法，而且两者之间具有内在的逻辑关系，只有学生在解决第一个问题后，初步感知了抽屉原理存在的现象，才能从抽屉原理这个视角进行猜测，进而想办法验证.这样基于解决关键问题链的学习过程，学生收获的不仅仅是知识本身，更重要的是收获了思考解决这一系列问题的数学思维过程.
3.依据明晰混淆知识与临场诊断学情提出跟进问题
关键问题的设计侧重于促进思维活动的开展，引发学生主动思考解决问题的方法，在这样的课堂教学中学生的思维是活跃的，学生生成的想法和问题是多样的.如何及时捕捉有价值的生成信息，如何从学生的视角提出跟进问题，逐步有序地推进课堂教学，对教师来说是一个极大的挑战.教师不仅要抓住教学知识之间的内在矛盾与联系，在新旧知识的结合点、学生的疑难处设计问题，还要在基于问题解决的课堂实践中不断磨炼，逐渐积累教学实践智慧，把握恰当的跟进时机，从而激发学生积极的思维活动.正如本课例研究中的第二、三次教学实践，学生观察数据的角度和顺序是不同的，每节课学生的想法也不尽相同，这就需要教师依据学生的学情进行准确诊断，从而提出有针对性的跟进问题，进而有效引导学生展开分析讨论.