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把圆置入平面直角坐标系，探究与已知直线相切有关的点的坐标问题，综合圆的切线的性质，及直角三角形性质与勾股定理等知识点，或者运用相似三角形的性质构造比例式计算.下面结合几道与圆的切线有关的点的坐标问题进行分析，供参考.
例1如，在平面直角坐标系中，直线BC的函数解析式是y=12x 2，且BA⊥x轴于点A，A点坐标是（4，0），点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，确定点P与圆心M的坐标.
解析设直线BC与x轴交于点D，过点B引BN⊥BC交x轴于点N，如，则以BN为直径作圆，这个圆即与直线BC相切于点B，易得点D坐标是（-4，0），点A坐标是（4，0），因此点B坐标是（4，4），根据已知，AD=8，AB=4，可以计算BD长度是82 42，设AN=x，因此DN=8 x，而BN⊥BC，BA⊥AN，由勾股定理，则BN2=BA2 AN2，DN2=BD2 BN2，因此DN2=BD2 BA2 AN2，（8 x）2=82 42 42 x2，解得x=2，因此ON=OA AN=6，所以点N坐标是（6，0），因此当点P运动到与点N重合时，⊙M与直线BC相切.
作MH⊥x轴于点H，如，点M是BN中点，则MH=12AB=2，
AH=HN=12AN=1，则OH=OA AH=5，因此圆心M的坐标是（5，2）.
点评上面解法在确定线段AN长度时，运用了勾股定理，通过直角三角形三边的关系，构造方程进行计算，也可以运用相似三角形的性质直接求值.
改变直线解析式为y=33x 23，点A坐标是（6，0），其余条件不变，也可以运用例题的方法求出点P坐标为（10，0），圆心M坐标是（8，23）.
一般结论直线y=kx b（k>0，b>0）与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（nbk，0），（n是正实数），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，
点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（k2n n k2）bk，0，圆心M坐标是（k2n 2n k2）b2k，（n 1）b2，如当k=1，b=3，n=9时，易得点P坐标是（57，0），点M坐标是（42，15）.
例2直线解析式为y=34x 3，点A坐标是（8，0）），其余条件不变，也可以运用例1的方法求出点P坐标为（594，0），圆心M坐标是（918，92）.
运用一般结论，直线解析式y=34x 3，则b=3，k=34，bk=4，点A坐标是（8，0），所以n=2.则（k2n n k2）bk=594，（k2n 2n k2）b2k=918，（n 1）b2=92.
例3直线解析式为y=34x 3，点A坐标是（1，0），其余条件不变，确定点P与圆心M的坐标.
方法1可以运用一般结论：直线解析式y=34x 3，则b=3，k=34，bk=4，点A坐标是（1，0），所以n=14.则（k2n n k2）bk=6116，（k2n 2n k2）b2k=7732，（n 1）b2=158，
所以点P坐标为（6116，0），圆心M坐标是（7732，158）.
方法2运用直接求解方法：如所示，直线解析式是y=34x 3，OD=4，OC=3，點A坐标是（1，0），所以点B坐标是（1，154），则BC=54，DC=5，BD=254，AD=5，设AP=x，
AB=154，运用勾股定理列方程为：（5 x）2=（254）2 （154）2 x2，解得x=4516，OA=1，OP=6116，点P坐标为（6116，0），AH=12x=4532，OH=1 4532=7732，MH=12AB=158.与运用一般结论计算结果同.
特殊情况下，当n=k时，
即直线y=kx b（k>0，b>0）与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（nbk，0）（其中n=k），即点A坐标是（b，0），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（（k2 k 1）b，0），圆心M坐标是（k2 k 2）b2，（k 1）b2.
如直线y=5-12x 1与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（1，0）（其中n=k=5-12，b=1，则nbk=1），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（（k2 k 1）b，0），圆心M坐标是（k2 k 2）b2，（k 1）b2.由于k=5-12，b=1，（k2 k 1）b=2，（k2 k 2）b2=32，（k 1）b2=5 14，则点P坐标是（2，0），圆心M坐标是（32，5 14）.
作者简介魏祥勤，男，河南商丘市人，1964年10月出生.中学高级教师.在《中学数学杂志》等发表文章130余篇，参编图书20余部.
例1如，在平面直角坐标系中，直线BC的函数解析式是y=12x 2，且BA⊥x轴于点A，A点坐标是（4，0），点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，确定点P与圆心M的坐标.
解析设直线BC与x轴交于点D，过点B引BN⊥BC交x轴于点N，如，则以BN为直径作圆，这个圆即与直线BC相切于点B，易得点D坐标是（-4，0），点A坐标是（4，0），因此点B坐标是（4，4），根据已知，AD=8，AB=4，可以计算BD长度是82 42，设AN=x，因此DN=8 x，而BN⊥BC，BA⊥AN，由勾股定理，则BN2=BA2 AN2，DN2=BD2 BN2，因此DN2=BD2 BA2 AN2，（8 x）2=82 42 42 x2，解得x=2，因此ON=OA AN=6，所以点N坐标是（6，0），因此当点P运动到与点N重合时，⊙M与直线BC相切.
作MH⊥x轴于点H，如，点M是BN中点，则MH=12AB=2，
AH=HN=12AN=1，则OH=OA AH=5，因此圆心M的坐标是（5，2）.
点评上面解法在确定线段AN长度时，运用了勾股定理，通过直角三角形三边的关系，构造方程进行计算，也可以运用相似三角形的性质直接求值.
改变直线解析式为y=33x 23，点A坐标是（6，0），其余条件不变，也可以运用例题的方法求出点P坐标为（10，0），圆心M坐标是（8，23）.
一般结论直线y=kx b（k>0，b>0）与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（nbk，0），（n是正实数），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，
点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（k2n n k2）bk，0，圆心M坐标是（k2n 2n k2）b2k，（n 1）b2，如当k=1，b=3，n=9时，易得点P坐标是（57，0），点M坐标是（42，15）.
例2直线解析式为y=34x 3，点A坐标是（8，0）），其余条件不变，也可以运用例1的方法求出点P坐标为（594，0），圆心M坐标是（918，92）.
运用一般结论，直线解析式y=34x 3，则b=3，k=34，bk=4，点A坐标是（8，0），所以n=2.则（k2n n k2）bk=594，（k2n 2n k2）b2k=918，（n 1）b2=92.
例3直线解析式为y=34x 3，点A坐标是（1，0），其余条件不变，确定点P与圆心M的坐标.
方法1可以运用一般结论：直线解析式y=34x 3，则b=3，k=34，bk=4，点A坐标是（1，0），所以n=14.则（k2n n k2）bk=6116，（k2n 2n k2）b2k=7732，（n 1）b2=158，
所以点P坐标为（6116，0），圆心M坐标是（7732，158）.
方法2运用直接求解方法：如所示，直线解析式是y=34x 3，OD=4，OC=3，點A坐标是（1，0），所以点B坐标是（1，154），则BC=54，DC=5，BD=254，AD=5，设AP=x，
AB=154，运用勾股定理列方程为：（5 x）2=（254）2 （154）2 x2，解得x=4516，OA=1，OP=6116，点P坐标为（6116，0），AH=12x=4532，OH=1 4532=7732，MH=12AB=158.与运用一般结论计算结果同.
特殊情况下，当n=k时，
即直线y=kx b（k>0，b>0）与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（nbk，0）（其中n=k），即点A坐标是（b，0），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（（k2 k 1）b，0），圆心M坐标是（k2 k 2）b2，（k 1）b2.
如直线y=5-12x 1与x轴y轴分别交于点D、C，点A是x轴上一点，且点A坐标是（1，0）（其中n=k=5-12，b=1，则nbk=1），过点A作x轴的垂线，交DC于点B，点P是x轴上一点，以BP长为直径作⊙M，当⊙M与直线BC相切时，点P坐标是（（k2 k 1）b，0），圆心M坐标是（k2 k 2）b2，（k 1）b2.由于k=5-12，b=1，（k2 k 1）b=2，（k2 k 2）b2=32，（k 1）b2=5 14，则点P坐标是（2，0），圆心M坐标是（32，5 14）.
作者简介魏祥勤，男，河南商丘市人，1964年10月出生.中学高级教师.在《中学数学杂志》等发表文章130余篇，参编图书20余部.