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摘要： 近年来，笔者根据目前工程经验或简单的技术经济指标来设计无源滤波器的现状，以及现有优化设计方法中假设条件较多、寻优空间较小、寻优能力不强、对实际因素考虑不全面等问题，提出了一种无源滤波器的多目标优化设计方法。将无源滤波器的初期投资、无功功率补偿容量、滤波后电网谐波含量作为3个目标，利用遗传算法对无源滤波器的参数进行优化设计。
关键词： 无源滤波器；改进遗传算法；多目标；设计
0 引 言
随着电力电子器件在工业中的广泛应用，电网的谐波污染问题日趋严重。谐波不仅影响电气设备的正常工作， 还给电网的安全经济运行带来了隐患[ 1]。
1 PPF 的工作原理
P PF 结构简单、成本低廉、运行可靠性较高、运行费用较低，至今仍是应用广泛的被动谐波治理方法。PPF 的基本类型（ 见图 1） 可分为两大类：调谐滤波器和高通滤波器。调谐滤波器包括单调谐滤波器和双调谐滤波器（ 分别见图 1（ a） 和（ b） ） ，可以滤除某一次（ 单调谐） 或两次（ 双调谐） 谐波， 该谐波的频率称为调谐滤波器的谐振频率。高通滤波器也称
为减幅滤波器， 主要包括 1 阶高通滤波器、2 阶高通滤波器、3 阶高通滤波器和 C 型滤波器（ 分别见图 1（ c） ～ （ f ） ） ， 是用来大幅衰减高于某一频率的谐波，该频率称为高通滤波器的截止频率。
調谐滤波器中， 实际应用较多的是单调谐滤波器， 它是利用电感、电容的串联谐振原理构成（ 见图1（ a） ） 。单调谐滤波器对 n 次谐波的阻抗 ZT n为：
式中， 为基波角频率； Rs、Ls、Cs为s 次单调谐波器的电阻、电感、电容； s 为所设计的单调谐无源滤波器的谐振频率次数。该调谐滤波器阻抗的频率响应曲线见图 2， 图中，fs为谐振频率。
2阶高通滤波器阻抗频率响应曲线见图 3。图中， fH为截止频率。由图可见，2 阶高通滤波器在高于 fH时呈< RH的低阻抗， 形成对高次谐波电流的较低阻抗支路， 这些谐波电流流入滤波器， 而流入电网的较少。
2 PPF的一般性设计原则与要求
因 PPF 是由各种不同形式的滤波器组合而成，结构和参数并非唯一， 在满足技术要求（谐波治理和无功补偿） 的前提下， 可有多种不同的设置方案， 在工程上往往选择最经济的方案。无功补偿容量根据系统要求而定， 谐波治理要求则需要按相应的国家标准确定。我国的谐波标准包括对谐波电压和电流的含量以及畸变率的限制。
3. 1 优化目标
PPF 参数的优化设计应基于 PPF 设计原则， 重点考虑成本、无功补偿和补偿后的效果。
1） PPF 的成本 F 包括初期投资成本和运行后每年的维护成本两部分：
式中，N 为 PPF 的组数； K1、K2、K3分别为无源滤波器的电阻 Rj、电感 Lj、电容 Cj（ j 为无源滤波器组的序号） 所对应的单位价格因子； T 为滤波器使用的年限； Ka为滤波器年单位维护费用； PQ为 PPF 所能提供的总的无功补偿功率； Kβ为损耗价格因子； ΔP为滤波器年电量损耗。
2） 加装 PPF 后，使系统的功率因数尽量接近 1，但不能使系统出现无功功率过补偿现 象，即
式中，PQ， min 、PQ， max为 PPF 提供基波无功功率的上下限。
3. 2 染色体编码
染色体代表解的形式， 包含所有的遗传信息。根据 PPF 设计原则（ 1） 来构造个体的基因链。本文采用实数编码， 对于单调谐滤波器， 有：
对于2 阶高通滤波器， 有：
式中 ， ωs和Qs分别为s 次单调谐滤波器的谐振频率和品质因素； ωH和 m 分别为 2阶高通滤波器的谐振频率和调谐曲线形状参数。
ωsωH是由谐波源的特定谐波确定的常数， 故每组PPF的各个参数均可由电阻和电感两个变量来表示， 因此， 染色体 X 可表示为一个2N 维向量的基因链：X = [ R1， L1，...，Rj， Lj，...RN ， LN ]T。
根据 PPF 设计原则（ 3） ， 为保证系统的稳定性，建立染色体的取值论域， 该论域满足下列边界条件：
式中， ZHS、YHP为 PPF 与电网总的串联阻抗、并联导纳； 和 是预先确定较小的正数。
3. 3 适应度函数
适应度函数的设计非常重要， 直接影响算法的收敛速度。根据上述的优化目标， 得到各自的适应度函数 F1（ X） 、F2（ X ） 和 F3（ X） ：
式中， c1、c2是较大的正数， 用来保证 F1（ X ） 、F3（ X）总为正数， c1根据经验确定， c2根据电网谐波状况确定以使适应度值非负； aU、aI均为> 0 的常数， 用来匹配 THDU、THDI的权重， 一般 AU：AI= 1： 10。
3.4 染色体选择
理论已证明， 简单的遗传算法不能满足解的全局收敛性， 即为了使 3 个适应度函数的解同时最大是不可能的。本文引入动态 制约法， 即对染色体进行比较、分类和选择， 同时选择的概率随进化的进行而变化， 给两个适应度函数 F2
（ X） 、F3（ X ） 设定阈值常数进行制约。即：
式中， f2、f3分别为 F2（ X） 、F3（ X ） 的适应度值。
将 F1（ X） 的寻优问题假定在一个约束空间内，即 maxF1（ X） ，
式中， f1为 F1（ X ） 的适应度值； εi， min和 εi， max为对应Fi （ X ） 的最小值和最大值。这样就可以使种群向 f1较大的方向进化时， 兼顾使 f2和 f3较好的基因， 避免算法陷入 F1（X）的局部最优解。 具体到第 x 代染色体进行如下操作：
1） 将 ft1或 ft2或 ft3（ f t1 、ft2、ft3为第 t 个染色体对应的 f 1、f 2、f 3） 中最大的染色体 t 以 100% 遗传给下一代。
2） 保留满足ε2， min≤f t2≤ε2， max和ε3， m in≤ft3≤ε3， max的染色体 t， 即保持f2和 f3较好的染色体， 经遗传操作出现 f1更大的染色体， 使得在该条件下 f1较大的染色体随着进化过程优化。
3） 对满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max但不满足 ε3， m in≤ft3≤ε3， max的染色体按概率 pk2选择， 使得满足 f2阈值条件的染色体朝着 f 1、f 3更好的方向进化。
4） 对满足ε3， min≤f t3≤ε3， max 但不满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max的染色体按概率 pk3选择， 使得满足 f3阈值条件的染色体朝着 f1、f2更好的方向进化。
5） 對既不满足 ε3， m in≤ft3≤ε3， max又不满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max的染色体按概率 pm选择， 为产生满足阈值条件或良种条件的染色体创造条件。其中：
式中， M 为染色体的数目。
4 结论
综上所述，无源滤波器的初期投资、无功功率补偿容量和滤波后电网谐波含量3个因素进行综合考虑，采用一种改进的多目标遗传算法对无源滤波器的参数进行优化设计。利用阈值对两个适应度函数进行制约，既使得种群进化逐步进入约束空间，又保证具有潜力的染色体不会过早地被淘汰。同时，以不同概率进行染色体选择操作，使得种群朝3个目标最佳协调点的方向进化。并引入混沌算子克服算法的早熟收敛。通过实例证明，采用该算法具有性能优越，可操作性强，设计出的无源滤波器综合性能较好，工程应用价值较高。
参考文献
[1] 王兆安， 杨 君， 刘进军. 谐波抑制与无功功率补偿[ M ] .北京：机械工业出版社， 1998.
[ 2] 罗安.电网谐波治理和无功补偿技术及装备[ M ].北京： 中国电力出版社， 2006.
[3] 林海雪， 孙树勤. 电力网中的谐波[ M ] .北京： 中国电力出版社，1998.
[4] 李圣清， 朱英浩， 周有庆， 等. 基于交互式多目标遗传算法的无源滤波器优化设计[ J].电工技术学报， 2003， 18（ 6） ： 1-6.
关键词： 无源滤波器；改进遗传算法；多目标；设计
0 引 言
随着电力电子器件在工业中的广泛应用，电网的谐波污染问题日趋严重。谐波不仅影响电气设备的正常工作， 还给电网的安全经济运行带来了隐患[ 1]。
1 PPF 的工作原理
P PF 结构简单、成本低廉、运行可靠性较高、运行费用较低，至今仍是应用广泛的被动谐波治理方法。PPF 的基本类型（ 见图 1） 可分为两大类：调谐滤波器和高通滤波器。调谐滤波器包括单调谐滤波器和双调谐滤波器（ 分别见图 1（ a） 和（ b） ） ，可以滤除某一次（ 单调谐） 或两次（ 双调谐） 谐波， 该谐波的频率称为调谐滤波器的谐振频率。高通滤波器也称
为减幅滤波器， 主要包括 1 阶高通滤波器、2 阶高通滤波器、3 阶高通滤波器和 C 型滤波器（ 分别见图 1（ c） ～ （ f ） ） ， 是用来大幅衰减高于某一频率的谐波，该频率称为高通滤波器的截止频率。
調谐滤波器中， 实际应用较多的是单调谐滤波器， 它是利用电感、电容的串联谐振原理构成（ 见图1（ a） ） 。单调谐滤波器对 n 次谐波的阻抗 ZT n为：
式中， 为基波角频率； Rs、Ls、Cs为s 次单调谐波器的电阻、电感、电容； s 为所设计的单调谐无源滤波器的谐振频率次数。该调谐滤波器阻抗的频率响应曲线见图 2， 图中，fs为谐振频率。
2阶高通滤波器阻抗频率响应曲线见图 3。图中， fH为截止频率。由图可见，2 阶高通滤波器在高于 fH时呈< RH的低阻抗， 形成对高次谐波电流的较低阻抗支路， 这些谐波电流流入滤波器， 而流入电网的较少。
2 PPF的一般性设计原则与要求
因 PPF 是由各种不同形式的滤波器组合而成，结构和参数并非唯一， 在满足技术要求（谐波治理和无功补偿） 的前提下， 可有多种不同的设置方案， 在工程上往往选择最经济的方案。无功补偿容量根据系统要求而定， 谐波治理要求则需要按相应的国家标准确定。我国的谐波标准包括对谐波电压和电流的含量以及畸变率的限制。
3. 1 优化目标
PPF 参数的优化设计应基于 PPF 设计原则， 重点考虑成本、无功补偿和补偿后的效果。
1） PPF 的成本 F 包括初期投资成本和运行后每年的维护成本两部分：
式中，N 为 PPF 的组数； K1、K2、K3分别为无源滤波器的电阻 Rj、电感 Lj、电容 Cj（ j 为无源滤波器组的序号） 所对应的单位价格因子； T 为滤波器使用的年限； Ka为滤波器年单位维护费用； PQ为 PPF 所能提供的总的无功补偿功率； Kβ为损耗价格因子； ΔP为滤波器年电量损耗。
2） 加装 PPF 后，使系统的功率因数尽量接近 1，但不能使系统出现无功功率过补偿现 象，即
式中，PQ， min 、PQ， max为 PPF 提供基波无功功率的上下限。
3. 2 染色体编码
染色体代表解的形式， 包含所有的遗传信息。根据 PPF 设计原则（ 1） 来构造个体的基因链。本文采用实数编码， 对于单调谐滤波器， 有：
对于2 阶高通滤波器， 有：
式中 ， ωs和Qs分别为s 次单调谐滤波器的谐振频率和品质因素； ωH和 m 分别为 2阶高通滤波器的谐振频率和调谐曲线形状参数。
ωsωH是由谐波源的特定谐波确定的常数， 故每组PPF的各个参数均可由电阻和电感两个变量来表示， 因此， 染色体 X 可表示为一个2N 维向量的基因链：X = [ R1， L1，...，Rj， Lj，...RN ， LN ]T。
根据 PPF 设计原则（ 3） ， 为保证系统的稳定性，建立染色体的取值论域， 该论域满足下列边界条件：
式中， ZHS、YHP为 PPF 与电网总的串联阻抗、并联导纳； 和 是预先确定较小的正数。
3. 3 适应度函数
适应度函数的设计非常重要， 直接影响算法的收敛速度。根据上述的优化目标， 得到各自的适应度函数 F1（ X） 、F2（ X ） 和 F3（ X） ：
式中， c1、c2是较大的正数， 用来保证 F1（ X ） 、F3（ X）总为正数， c1根据经验确定， c2根据电网谐波状况确定以使适应度值非负； aU、aI均为> 0 的常数， 用来匹配 THDU、THDI的权重， 一般 AU：AI= 1： 10。
3.4 染色体选择
理论已证明， 简单的遗传算法不能满足解的全局收敛性， 即为了使 3 个适应度函数的解同时最大是不可能的。本文引入动态 制约法， 即对染色体进行比较、分类和选择， 同时选择的概率随进化的进行而变化， 给两个适应度函数 F2
（ X） 、F3（ X ） 设定阈值常数进行制约。即：
式中， f2、f3分别为 F2（ X） 、F3（ X ） 的适应度值。
将 F1（ X） 的寻优问题假定在一个约束空间内，即 maxF1（ X） ，
式中， f1为 F1（ X ） 的适应度值； εi， min和 εi， max为对应Fi （ X ） 的最小值和最大值。这样就可以使种群向 f1较大的方向进化时， 兼顾使 f2和 f3较好的基因， 避免算法陷入 F1（X）的局部最优解。 具体到第 x 代染色体进行如下操作：
1） 将 ft1或 ft2或 ft3（ f t1 、ft2、ft3为第 t 个染色体对应的 f 1、f 2、f 3） 中最大的染色体 t 以 100% 遗传给下一代。
2） 保留满足ε2， min≤f t2≤ε2， max和ε3， m in≤ft3≤ε3， max的染色体 t， 即保持f2和 f3较好的染色体， 经遗传操作出现 f1更大的染色体， 使得在该条件下 f1较大的染色体随着进化过程优化。
3） 对满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max但不满足 ε3， m in≤ft3≤ε3， max的染色体按概率 pk2选择， 使得满足 f2阈值条件的染色体朝着 f 1、f 3更好的方向进化。
4） 对满足ε3， min≤f t3≤ε3， max 但不满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max的染色体按概率 pk3选择， 使得满足 f3阈值条件的染色体朝着 f1、f2更好的方向进化。
5） 對既不满足 ε3， m in≤ft3≤ε3， max又不满足 ε2， min≤f t2≤ε2， max的染色体按概率 pm选择， 为产生满足阈值条件或良种条件的染色体创造条件。其中：
式中， M 为染色体的数目。
4 结论
综上所述，无源滤波器的初期投资、无功功率补偿容量和滤波后电网谐波含量3个因素进行综合考虑，采用一种改进的多目标遗传算法对无源滤波器的参数进行优化设计。利用阈值对两个适应度函数进行制约，既使得种群进化逐步进入约束空间，又保证具有潜力的染色体不会过早地被淘汰。同时，以不同概率进行染色体选择操作，使得种群朝3个目标最佳协调点的方向进化。并引入混沌算子克服算法的早熟收敛。通过实例证明，采用该算法具有性能优越，可操作性强，设计出的无源滤波器综合性能较好，工程应用价值较高。
参考文献
[1] 王兆安， 杨 君， 刘进军. 谐波抑制与无功功率补偿[ M ] .北京：机械工业出版社， 1998.
[ 2] 罗安.电网谐波治理和无功补偿技术及装备[ M ].北京： 中国电力出版社， 2006.
[3] 林海雪， 孙树勤. 电力网中的谐波[ M ] .北京： 中国电力出版社，1998.
[4] 李圣清， 朱英浩， 周有庆， 等. 基于交互式多目标遗传算法的无源滤波器优化设计[ J].电工技术学报， 2003， 18（ 6） ： 1-6.