论文部分内容阅读
[摘要] 由于计算机字长及模型误差的影响，舰载导弹在长时间传递对准时存在滤波器发散的问题。文章首先在考虑甲板面变形等干扰条件下，采用“速度+姿态”的匹配模式，推导出21阶滤波模型；接着结合平方根滤波和衰减记忆滤波算法，推导出具有较好数值计算稳定性和较强抗干扰能力的组合滤波算法。仿真结果表明，采用“速度+姿态”的匹配模式和组合滤波算法，能够较好地解决长时传递对准引发的问题。
[关键词] 长时传递对准 平方根滤波 衰减记忆滤波 “速度+姿态”匹配
引言
舰载导弹在发射前需要进行传递对准，但长时间对准容易引起滤波器发散，其主要原因有：（1）对准后期失准角变大，使得基于小角度假设建模的误差变大，从而引起滤波模型不准确；（2）由于弹载计算机的舍入误差以及数值计算方法的不稳定性，随着滤波步数的增加，舍入误差逐渐积累，可能造成滤波器计算发散。
解决长时传递对准问题的主要途径有三种：(1)推导更准确的滤波模型，需要考虑甲板面的变形；(2)改进传递匹配模式，常用的有速度、角速率、姿态匹配等，“速度+姿态”的匹配模式是实现快速传递对准最有效办法之一；(3)采用具有较好的数值计算稳定性的kalman滤波算法，如平方根滤波算法和衰减记忆法滤波算法。
文中针对长时传递对准出现的问题，采用“速度+姿态”的匹配模式，考虑甲板面变形的影响，结合平方根滤波和衰减记忆滤波算法，推导出适合长时传递对准的组合滤波算法。该组合算法具有很好的数值计算稳定性和较好的模型抗干扰能力，可以较好地解决舰载导弹长时传递对准出现的问题。
1.长时传递对准滤波模型
1.1甲板变形数学模型
甲板变形角可采用马尔科夫过程进行建模，数学方程为：
（1）
式中：和分别表示i轴上机翼弹性变形角和变形角速率；，为机体i轴上弹性变形的相关时间常数；是具有一定方差驱动白噪声，其方差满足，其中为i方向变形角的方差。
1.2子惯导误差模型
失准角误差方程为：
（2）
速度误差方程为：
（3）
式中：为子惯导导航坐标系（称子惯导）与主惯导导航坐标系（称主惯导）之间的失准角；为子惯导与主惯导的速度差；为子惯导到主惯导的姿态转移矩阵；为主惯导的速度矢量；为地球自转角速度；为主惯导坐标系相对于惯性坐标系的旋转角速度；为主惯导所感受的加速度；、分别为子惯导系统的陀螺漂移和加速度计偏置；、分别为子惯导系统的陀螺和加速度计的测量噪声；、分别为和的计算误差。
1.3滤波方程
考虑载机机翼的变形和弹体安装误差角的影响，取滤波状态变量为
其中：,,分别为东、北、天方向的失准角；,,分别为东、北、天方向的速度误差；为陀螺漂移；表示加速度计常值偏置；表示导弹安装误差角，为一随机常数。
根据式(1)、(2)和(3)式可推导出滤波状态方程为：
（4）
式中A、B为系统矩阵，均可由已知参数实时求解，为,和组成的系统噪声。
采用“速度+姿态”的匹配方式，滤波量测方程可写成：
（5）
式中C为量测矩阵，均可由已知参数实时求解，v为测量噪声。
2.组合滤波算法
平方根滤波算法具有较强的数值计算稳定性，衰减记忆滤波算法具有较强的抗模型误差干扰能力，将这两种算法结合起来，可以得到一种同时具备两者优点的组合滤波算法。
在Carlson平方根滤波算法推导过程中，协方差矩阵预测及更新由下两式完成：
（6）
式中、均为上三角矩阵。
在衰减记忆滤波算法中，在均方误差一步预测时多了一个衰减因子：
（7）
组合滤波算法基于Carlson平方根滤波算法和衰减记忆滤波算法融合得到，在数值计算稳定性和模型抗干扰能力上均比基本的kalman滤波算法强，下面进行算法的推导。
将式(6)式代入(7) 式，得到：
（8）
由于 为标量或者对角矩阵，因此
（9）
如果存在单位正交变换矩阵，使下式成立
（10）
式中为上三角分解的平方根，为某一上三角阵，则
（11）
比较式(10)式和(11) 式知：。因此要求取，只需对矩阵作适当的变换。
下面给出组合滤波算法的基本方程：
(1)状态进一步预测：
(2)计算衰减因子
求取新息,判断下式
（12）
式中：表示的迹，为大于1的储备因子。若判据 (12) 式成立，按 (13) 式求取；若(12) 式不成立，则。
（13）
(3)估计均方误差一步预测
记，对于
式中表示矩阵的第列。完成上述步递推后，有。
(4)滤波量测更新：
令，。对于，迭代计算下述方程：
式中表示矩阵的第行,为对角阵（可通过序惯处理技术得到），为其对角线上第个元素。完成上述步迭代后，即获得时刻的量测更新结果和。
3.仿真验证
3.1仿真参数
系统参数：陀螺仪常值漂移为0.2º/s，测量噪声为0.01º/s；加速度计常值偏置为0.002g，测量噪声为0.0005g；主惯导速度误差为0.1m/s，角度误差为1º；速度和姿态的初始协方差分别为(1m/s)²和(1º)²；三个方向安装误差角为1º以内的随机常数。甲板面变形参数：弹性变形角的方差为(1.2º)²;时间常数分别为；；；
3.2 低精度数值仿真
由图1和表1可见：当计算机计算精度较低、舍入误差较大的情况下，100s以前两种滤波算法都稳定，状态估计精度相当；随着滤波步数的增加，误差不断积累，基本kalman滤波算法发散趋势明显，组合滤波算法仍能保持高精度。
图1a 低精度东向失准角估计误差曲线
图1b 低精度北向失准角估计误差曲线
图1c 低精度天向失准角估计误差曲线
表1 低精度条件下失准角估计精度（1值）
东向失准角 北向失准角 天向失准角
基本kalman滤波 前期估计正常，后期已发散
衰减记忆滤波 前期估计正常，后期已发散
Carlson滤波算法 1.5941 0.9318 1.7752
组合滤波算法(´) 1.5739 1.0206 1.9955
3.3 模型误差仿真
建模误差部分对滤波器的影响，可通过增加系统噪声和测量噪声的方法来实现。仿真条件如下：(1) 150s后，机翼弹性变形强度由0.02rad增加到0.05rad；(2)在整个传递对准过程中，系统噪声强度变为原来10倍；(3)从100s后，增大测量噪声方差至原来50倍。由图2和表2可见：同时考虑系统和噪声统计误差时，组合算法滤波精度在东向和北向通道上明显优于基本kalman滤波；在天向失准角估计精度上，组合算法略好，但比其它两个通道要差。
图2a 东向失准角估计误差曲线
图2b 北向失准角估计误差曲线
图2c 天向失准角估计误差曲线
表3 存在模型误差时失准角估计精度（1值）
东向失准角 北向失准角 天向失准角
基本kalman滤波 2.2125 1.3467 3.9395
衰减记忆滤波 1.0161 0.6310 3.5946
平方根滤波 2.2125 1.3467 3.9395
组合滤波算法 1.0162 0.6313 3.5944
4.结论
文中针对舰载导弹长时传递对准时，由算法数值计算不稳定性和模型误差引起的滤波发散问题，提出了“速度+姿态匹配和组合算法”的解决方案。仿真结果的比较表明，该方案能有效地解决长时传递对准时的滤波发散问题。组合算法在数值计算稳定性上与平方根滤波算法相当，在模型抗干扰能力上与衰减记忆法相当，全面优于基本kalman滤波算法。
参考文献：
[1]期刊：Kain J E, Cloutier J R. Rapid transfer alignment for tactical weapon applications.AIAA-89-3581,1989.
[2]期刊：Spalding K, Missouri S L. An efficient rapid transfer alignment filter.AIAA-92-4598,1992.
[3]会议：Carlson N A. Federated square root filter for decentralized parallel processes. Proceedings of NAECON. 1987：1448-1456.
[4]著作：Bierman G J. Factorization methods for discrete sequential estimation. Academic Press, New York, 1977.
[5]著作：秦永元，张洪钺，王叔华．卡尔曼滤波与组合导航原理．西安：西北工业大学出版社，1998.
[6]著作：朱海，莫军．水下导航信息融合技术．北京：国防工业出版社，2002.
[关键词] 长时传递对准 平方根滤波 衰减记忆滤波 “速度+姿态”匹配
引言
舰载导弹在发射前需要进行传递对准，但长时间对准容易引起滤波器发散，其主要原因有：（1）对准后期失准角变大，使得基于小角度假设建模的误差变大，从而引起滤波模型不准确；（2）由于弹载计算机的舍入误差以及数值计算方法的不稳定性，随着滤波步数的增加，舍入误差逐渐积累，可能造成滤波器计算发散。
解决长时传递对准问题的主要途径有三种：(1)推导更准确的滤波模型，需要考虑甲板面的变形；(2)改进传递匹配模式，常用的有速度、角速率、姿态匹配等，“速度+姿态”的匹配模式是实现快速传递对准最有效办法之一；(3)采用具有较好的数值计算稳定性的kalman滤波算法，如平方根滤波算法和衰减记忆法滤波算法。
文中针对长时传递对准出现的问题，采用“速度+姿态”的匹配模式，考虑甲板面变形的影响，结合平方根滤波和衰减记忆滤波算法，推导出适合长时传递对准的组合滤波算法。该组合算法具有很好的数值计算稳定性和较好的模型抗干扰能力，可以较好地解决舰载导弹长时传递对准出现的问题。
1.长时传递对准滤波模型
1.1甲板变形数学模型
甲板变形角可采用马尔科夫过程进行建模，数学方程为：
（1）
式中：和分别表示i轴上机翼弹性变形角和变形角速率；，为机体i轴上弹性变形的相关时间常数；是具有一定方差驱动白噪声，其方差满足，其中为i方向变形角的方差。
1.2子惯导误差模型
失准角误差方程为：
（2）
速度误差方程为：
（3）
式中：为子惯导导航坐标系（称子惯导）与主惯导导航坐标系（称主惯导）之间的失准角；为子惯导与主惯导的速度差；为子惯导到主惯导的姿态转移矩阵；为主惯导的速度矢量；为地球自转角速度；为主惯导坐标系相对于惯性坐标系的旋转角速度；为主惯导所感受的加速度；、分别为子惯导系统的陀螺漂移和加速度计偏置；、分别为子惯导系统的陀螺和加速度计的测量噪声；、分别为和的计算误差。
1.3滤波方程
考虑载机机翼的变形和弹体安装误差角的影响，取滤波状态变量为
其中：,,分别为东、北、天方向的失准角；,,分别为东、北、天方向的速度误差；为陀螺漂移；表示加速度计常值偏置；表示导弹安装误差角，为一随机常数。
根据式(1)、(2)和(3)式可推导出滤波状态方程为：
（4）
式中A、B为系统矩阵，均可由已知参数实时求解，为,和组成的系统噪声。
采用“速度+姿态”的匹配方式，滤波量测方程可写成：
（5）
式中C为量测矩阵，均可由已知参数实时求解，v为测量噪声。
2.组合滤波算法
平方根滤波算法具有较强的数值计算稳定性，衰减记忆滤波算法具有较强的抗模型误差干扰能力，将这两种算法结合起来，可以得到一种同时具备两者优点的组合滤波算法。
在Carlson平方根滤波算法推导过程中，协方差矩阵预测及更新由下两式完成：
（6）
式中、均为上三角矩阵。
在衰减记忆滤波算法中，在均方误差一步预测时多了一个衰减因子：
（7）
组合滤波算法基于Carlson平方根滤波算法和衰减记忆滤波算法融合得到，在数值计算稳定性和模型抗干扰能力上均比基本的kalman滤波算法强，下面进行算法的推导。
将式(6)式代入(7) 式，得到：
（8）
由于 为标量或者对角矩阵，因此
（9）
如果存在单位正交变换矩阵，使下式成立
（10）
式中为上三角分解的平方根，为某一上三角阵，则
（11）
比较式(10)式和(11) 式知：。因此要求取，只需对矩阵作适当的变换。
下面给出组合滤波算法的基本方程：
(1)状态进一步预测：
(2)计算衰减因子
求取新息,判断下式
（12）
式中：表示的迹，为大于1的储备因子。若判据 (12) 式成立，按 (13) 式求取；若(12) 式不成立，则。
（13）
(3)估计均方误差一步预测
记，对于
式中表示矩阵的第列。完成上述步递推后，有。
(4)滤波量测更新：
令，。对于，迭代计算下述方程：
式中表示矩阵的第行,为对角阵（可通过序惯处理技术得到），为其对角线上第个元素。完成上述步迭代后，即获得时刻的量测更新结果和。
3.仿真验证
3.1仿真参数
系统参数：陀螺仪常值漂移为0.2º/s，测量噪声为0.01º/s；加速度计常值偏置为0.002g，测量噪声为0.0005g；主惯导速度误差为0.1m/s，角度误差为1º；速度和姿态的初始协方差分别为(1m/s)²和(1º)²；三个方向安装误差角为1º以内的随机常数。甲板面变形参数：弹性变形角的方差为(1.2º)²;时间常数分别为；；；
3.2 低精度数值仿真
由图1和表1可见：当计算机计算精度较低、舍入误差较大的情况下，100s以前两种滤波算法都稳定，状态估计精度相当；随着滤波步数的增加，误差不断积累，基本kalman滤波算法发散趋势明显，组合滤波算法仍能保持高精度。
图1a 低精度东向失准角估计误差曲线
图1b 低精度北向失准角估计误差曲线
图1c 低精度天向失准角估计误差曲线
表1 低精度条件下失准角估计精度（1值）
东向失准角 北向失准角 天向失准角
基本kalman滤波 前期估计正常，后期已发散
衰减记忆滤波 前期估计正常，后期已发散
Carlson滤波算法 1.5941 0.9318 1.7752
组合滤波算法(´) 1.5739 1.0206 1.9955
3.3 模型误差仿真
建模误差部分对滤波器的影响，可通过增加系统噪声和测量噪声的方法来实现。仿真条件如下：(1) 150s后，机翼弹性变形强度由0.02rad增加到0.05rad；(2)在整个传递对准过程中，系统噪声强度变为原来10倍；(3)从100s后，增大测量噪声方差至原来50倍。由图2和表2可见：同时考虑系统和噪声统计误差时，组合算法滤波精度在东向和北向通道上明显优于基本kalman滤波；在天向失准角估计精度上，组合算法略好，但比其它两个通道要差。
图2a 东向失准角估计误差曲线
图2b 北向失准角估计误差曲线
图2c 天向失准角估计误差曲线
表3 存在模型误差时失准角估计精度（1值）
东向失准角 北向失准角 天向失准角
基本kalman滤波 2.2125 1.3467 3.9395
衰减记忆滤波 1.0161 0.6310 3.5946
平方根滤波 2.2125 1.3467 3.9395
组合滤波算法 1.0162 0.6313 3.5944
4.结论
文中针对舰载导弹长时传递对准时，由算法数值计算不稳定性和模型误差引起的滤波发散问题，提出了“速度+姿态匹配和组合算法”的解决方案。仿真结果的比较表明，该方案能有效地解决长时传递对准时的滤波发散问题。组合算法在数值计算稳定性上与平方根滤波算法相当，在模型抗干扰能力上与衰减记忆法相当，全面优于基本kalman滤波算法。
参考文献：
[1]期刊：Kain J E, Cloutier J R. Rapid transfer alignment for tactical weapon applications.AIAA-89-3581,1989.
[2]期刊：Spalding K, Missouri S L. An efficient rapid transfer alignment filter.AIAA-92-4598,1992.
[3]会议：Carlson N A. Federated square root filter for decentralized parallel processes. Proceedings of NAECON. 1987：1448-1456.
[4]著作：Bierman G J. Factorization methods for discrete sequential estimation. Academic Press, New York, 1977.
[5]著作：秦永元，张洪钺，王叔华．卡尔曼滤波与组合导航原理．西安：西北工业大学出版社，1998.
[6]著作：朱海，莫军．水下导航信息融合技术．北京：国防工业出版社，2002.