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[摘要]在《数值分析》实验教学中，通过引入教学案例，学生利用数值分析中所学知识，完成课程设计。教学实践表明，通过案例分析，不仅能有效提高学生对数值分析的理解，还能达到培养学生应用数值分析解决实际问题的创新能力。
[关键词]数值分析 Abel变换 案例教学 课程设计
[中图分类号] G420 [文献标识码]A
一、引言
《数值分析》课程是大学理工科的一门重要课程，不仅有深厚的数学理论，其数值算法还是解决实际问题的重要工具。由于该课程内容包含数值逼近、数值线性代数和微分方程数值解三部分，内容相对独立。由于在传统教学注重算法的理论性，而数值实验多为验证性的，导致学生对某一算法能够正确理解与应用，但是对若干算法综合应用却不甚了解，经分析原因在于缺乏合适的综合性教学案例。因此，探索教学改革，提高教学水平和质量已成为《数值分析》课程教学改的研究内容[1,2]。由于实践教学是新世纪高等教育改革方向是提高学生综合素质、培养学生创新精神与实践能力的重要手段[3,4]，因此设计出合适的教学案例，通过课程设计，组织学生讨论与实践，对提高教学质量，培养学生创新精神和创新素质将具有重要作用[5]。
教学中引入Abel逆变换作为综合案例，原因在于Abel逆变换的数值计算涵盖了《数值分析》的数值稳定性、数值积分、数值微分、函数的插值逼近、线性方程组求解、最小二乘法和离散化等教学内容，并且该积分变换易于理解，学生在学习时不至于陷入繁杂的数学理论中。
实验教学内容包括MathCAD软件的使用。这里选用MathCAD软件的目的在于，该软件的数值计算直观易懂，并且提供了数值计算、符号计算以及计算机作图等功能。
二、指导教师在实验中的作用
在课程设计期间，指导教师可安排一人一组或多人一组的形式进行实验。案例解决方案不设定标准方法，而是鼓励学生根据《数值分析》课程的方法和理论，以及问题的解决思路讨论研究和设计算法，同时为开拓视野，鼓励学生到学校图书馆查阅相应的科技论文。在整个设计过程中，指导教师既要在宏观方面起启发和引导作用，也要在课程设计的细节方面给与学生必要的讲解，但不能包办，否则的话学生会依按部就班葫芦画瓢地将实验完成，达不到培养学生的思维及动手能力。
通过课程设计，要求学生将反演Abel变换的思想、理论和解决方案写成实验报告。在课程设计结束后，指导教师应及时批阅学生的实验报告，将结果及时反馈给学生，必要时以课堂教学的形式对完成较好的论文加以点评和比较。
三、案例介绍
Abel积分变换在力学、光谱学、等离子物理以及散射理论等领域中有广泛应用。以电弧等离子体为例，对于非均匀柱对称光学薄的等离子体，其辐射强度 与发射系数 满足如下关系(Abel积分变换)[6]：
(1.1)
其中y∈[0,1],I(R)=0。在电弧等离子体温度场的研究中，需要根据等离子体的发射强度I(y)计算出其内部发射系数ε(r)。在数学上，当I(y)满足一定条件[7]时，ε(r)可通过如下形式(称Abel逆变换)：
(1.2)
求得，这里r∈[0,1]。由此引出案例如下：
教学案例 在实际应用中，我们只能得到I(y)在节点yi上的离散观测值I(yi)(i=0,1,...,n)，如何用式(1.2)计算出ε(r)的数值解，即计算ε(r)在节点 (i=0,1,...,n)处的值ε(ri)？
案例分析 由于(1.2)是连续问题，在数值计算中需要离散，以适合计算机计算。为方便起见取节点ri=yi，i=0,1,...,n，则(1.2)成为
(1.3)
因此如何计算积分(1.3)就是解决问题的关键。显然上述积分有两个问题需要解决：
问题(1) 积分(1.3)是奇异积分，这个问题如何解决？
问题(2) 积分(1.3)中的导函数I`(y)如何计算？
四、案例解决方案
通过案例分析，让学生知道求解Abel逆变换的关键所在，即如上两个问题。
对于问题(1)，这是奇异积分的计算。指导教师可以提示学生，《数值分析》课程虽然没有明确讲解，但是否可以用变量替换的方法来解决？另外能否通过奇异积分的定义计算？
例如用奇异积分的定义计算，即计算：
其中η是充分小的正数。如果使用变量代换，则令y=ri/cos(θ)代入(1.3)经简单推导有
显然上式的积分下限不再是积分奇点了。
对于问题(2)，指导教师可以提示学生，要计算I`(y)，须先得到I(y)的表达式。对于给定离散观测数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n，可以用拟合或者插值来逼近I(y)[6,8,9]。当I(y)的逼近函数p(y)计算好之后，积分(1.3)就成为
(1.4)
于是ε(ri)(i=0,1,...,n)即可计算。
如果用m次多项式pm(y)拟合逼近函数I(y)，则要根据数据((yi,I(yi))，i=0,1,...,n构造法方程并求解，可得拟合多项式pm(y)。同时还需要提示学生的是，拟合多项式的次数m的确定方法。
如果用插值方法逼近I(y)，应提示《数值分析》中有拉格朗日插值、牛顿插值以及分段插值。对于节点个数较多的情况，应提示这时拉格朗日和牛顿插值多项式的次数会较高，可能会出现龙格现象。这可以通过实验来检验。因此分段插值是合理的逼近方法。常用的分段插值有分段线性插值、分段Hermite插值和三次样条插值，而且分段形式的插值易于计算，它们的计算公式可以参照《数值分析》教材[10]。
假设pk(y)=ak+bky+cky2+dky3是逼近I(y)的关于数据(yk,I(yk))，k=0,1,...,n的分段插值多项式(若ck=dk=0，则pk(y)为分段线性插值)，它定义在区间[yk,yk+1]上，则将式(1.4)需要进一步处理为：
由此就可以计算出ε(r)的数值解。
将上述解决方案整理如下：
算法１(Abel逆变换的数值算法，拟合)
(1)给定数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n；
(2)令j=1,2,...,n
(2.1)计算方程组BTBx=BTb，其中
B=(yij-1)n+1×j+1,b=(yi)n+1;
(2.2)用平方根方法求解BTBx=Bb
得多项式pj(y)；
(2.3)计算拟合误差：
(3)计算m=min{δ1，δ2，...δn}得pm(y)；
(4)令i=0,1,…,n计算奇异积分
令k=i+1,i+2,…,n-1计算
(5)令i=0,1,…,n输出-εi/π。
算法２(Abel逆变换的数值算法，插值)
(1)给定数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n；
(2)计算分段插值多项式(k=0,…,n-1)
pk(y)=ak+bky+cky2+dky3；
(3)令i=0,1,…,n计算奇异积分
(4)令i=0,1,…,n输出-εi/π。
五、实验数据的采集与实验结果
为模拟Abel逆变换得的数值计算，需要数据I(yi)(i=0,1,...,n)。假设ε(r)是如下两种典型分布[8]:
高斯分布：ε(r)=exp(-r2)，
双峰分布：ε(r)=1+4r2-5r4，
其中r∈[0,R]，这里假设R已单位化为1。
取n=30，区间[0,1]进行n等分，节点yi=i/n,i=0,1,…,n，模拟的两组测量数据I(yi)根据(1.1)计算。
Abel逆变换数值计算的任务是：根据数值I(yi),i=0,1,…,n，用(1.2)反演出ε(r)在节点rj(j=0,1,…,m)处的数值，这里为方便起见取j=i,因而有ri=yi。
根据算法1和算法2，对于高斯分布的反演结果如图1－图4所示，其中实线表示ε(r)的准确分布，“×”线表示用I(yi)计算的ε(r)分布：
图1算法1(拟合方法)的计算结果
图2 算法2(3次样条)的计算结果
对于双峰分布的反演结果如图所示:
图3算法1(拟合方法)的计算结果
图4 算法2(3次样条)的计算结果
从图1至图4可以看出，当取31个节点时，无论用3次样条还是用拟合方法，反演计算值与原分布准确值符合得相当好。这个结论可以作为课程设计的一个参考。
六、问题扩展
实验结果表明，选用合适方法反演ε(r)是可行的。应指出，实验结果光有图形还是不够的，还需要定量分析。例如，两者的误差是多少？反演结果的精度与n不同取值有何关系？
除此之外还可考虑有没有其他方法反演ε(r)？从案例解决方案可知，在数值反演ε(r)过程中，I(y)的逼近和(奇异)积分计算是关键，为此我们通过对《数值分析》教材中的方法进行组合形式，向学生展示几种可参考使用的求解思路。
表1：《数值分析》中的常用方法
组合的方法是：从表1第2行起，在每一列中各取一种方法，可得数值反演ε(r)的一个解题思路，这里可供组合的方案共有6×3×4=72种之多，因此作为课程设计，这个案例提供了足够多的可选方案了。
如果站在更高的层次来看待这个案例：当数据I(yi)(i=1,...,n)含有测量噪声时，反演效果会怎么样？由此将导出不适定以及正则化的概念[11]，指导教师可以提供一些相关的资料给学生阅读，开拓视野，重新认识《数值分析》基本算法的重要性。
七、结语
针对《数值分析》教学中面临理论联系实际和实习效果不佳的现状，采用综合案例作为课程设计内容，既培养了学生对问题探索的学习和思考能力，又增强了学生自主学习和实践的能力，达到学以致用之目的。同时案例教学对丰富教学内容、改进实践方法、提高实验教学质量亦有促进作用。
基金项目: 江苏科技大学教改基金(12508000408)
江苏科技大学教改基金(105040808)
[参考文献]
[1]曾繁慧,高雷阜等.基于MATLAB的《数值分析》教学改革研究[J].高教论坛,2008,3:60-61.
[2]杜廷松.数值分析实验课研究型教学模式探索[J].高等理科教育,2008,4:105-109.
[3]邱燕,宋艳.基于建构主义的电子商务实践教学改革,实验室研究与探索[J].2010, 29(11):129-131.
[4]教育部关于开展高等学校实验教学示范中心建设和评审工作的通知,教高[2005]8号.http://www.eol.cn.article/20051014/3155694,shtml,2005-10-14.
[5]汪春梅,杨敏等.利用开放性“数字信号处理”课程设计培养学生的创新精神[J].实验室研究与探索,2010,29(11):122-124.
[6]邵华,朱丹平等, 电弧等离子体温度场中Abel逆变换的数值算法分析[J].计算物 理, 2005,22(5):431-436.
[7]赵振宇,贺国强等, Abel变换的数值反演[J].上海大学学报(自然科学版),2008,14(3): 271-275.
[8]陈法新,郑坚等,三种逆阿贝尔变换方法比较[J].数值计算与计算机应用,2007,28(3):221-229.
[9]江少恩,刘忠礼,唐道源等,基于三次样条函数算法的逆阿贝尔变换[J].光学精密工程,2000,8(4):181-183.
[10]李庆扬,王能超等,数值分析[M]第5版,清华大学出版社,2008.
[11]肖庭延,宋金来,Abel变换数值反演的离散正则化方法[J].计算物理,2000, 17(6): 602- 610.
（作者单位：江苏科技大学数理学院 江苏镇江）
[关键词]数值分析 Abel变换 案例教学 课程设计
[中图分类号] G420 [文献标识码]A
一、引言
《数值分析》课程是大学理工科的一门重要课程，不仅有深厚的数学理论，其数值算法还是解决实际问题的重要工具。由于该课程内容包含数值逼近、数值线性代数和微分方程数值解三部分，内容相对独立。由于在传统教学注重算法的理论性，而数值实验多为验证性的，导致学生对某一算法能够正确理解与应用，但是对若干算法综合应用却不甚了解，经分析原因在于缺乏合适的综合性教学案例。因此，探索教学改革，提高教学水平和质量已成为《数值分析》课程教学改的研究内容[1,2]。由于实践教学是新世纪高等教育改革方向是提高学生综合素质、培养学生创新精神与实践能力的重要手段[3,4]，因此设计出合适的教学案例，通过课程设计，组织学生讨论与实践，对提高教学质量，培养学生创新精神和创新素质将具有重要作用[5]。
教学中引入Abel逆变换作为综合案例，原因在于Abel逆变换的数值计算涵盖了《数值分析》的数值稳定性、数值积分、数值微分、函数的插值逼近、线性方程组求解、最小二乘法和离散化等教学内容，并且该积分变换易于理解，学生在学习时不至于陷入繁杂的数学理论中。
实验教学内容包括MathCAD软件的使用。这里选用MathCAD软件的目的在于，该软件的数值计算直观易懂，并且提供了数值计算、符号计算以及计算机作图等功能。
二、指导教师在实验中的作用
在课程设计期间，指导教师可安排一人一组或多人一组的形式进行实验。案例解决方案不设定标准方法，而是鼓励学生根据《数值分析》课程的方法和理论，以及问题的解决思路讨论研究和设计算法，同时为开拓视野，鼓励学生到学校图书馆查阅相应的科技论文。在整个设计过程中，指导教师既要在宏观方面起启发和引导作用，也要在课程设计的细节方面给与学生必要的讲解，但不能包办，否则的话学生会依按部就班葫芦画瓢地将实验完成，达不到培养学生的思维及动手能力。
通过课程设计，要求学生将反演Abel变换的思想、理论和解决方案写成实验报告。在课程设计结束后，指导教师应及时批阅学生的实验报告，将结果及时反馈给学生，必要时以课堂教学的形式对完成较好的论文加以点评和比较。
三、案例介绍
Abel积分变换在力学、光谱学、等离子物理以及散射理论等领域中有广泛应用。以电弧等离子体为例，对于非均匀柱对称光学薄的等离子体，其辐射强度 与发射系数 满足如下关系(Abel积分变换)[6]：
(1.1)
其中y∈[0,1],I(R)=0。在电弧等离子体温度场的研究中，需要根据等离子体的发射强度I(y)计算出其内部发射系数ε(r)。在数学上，当I(y)满足一定条件[7]时，ε(r)可通过如下形式(称Abel逆变换)：
(1.2)
求得，这里r∈[0,1]。由此引出案例如下：
教学案例 在实际应用中，我们只能得到I(y)在节点yi上的离散观测值I(yi)(i=0,1,...,n)，如何用式(1.2)计算出ε(r)的数值解，即计算ε(r)在节点 (i=0,1,...,n)处的值ε(ri)？
案例分析 由于(1.2)是连续问题，在数值计算中需要离散，以适合计算机计算。为方便起见取节点ri=yi，i=0,1,...,n，则(1.2)成为
(1.3)
因此如何计算积分(1.3)就是解决问题的关键。显然上述积分有两个问题需要解决：
问题(1) 积分(1.3)是奇异积分，这个问题如何解决？
问题(2) 积分(1.3)中的导函数I`(y)如何计算？
四、案例解决方案
通过案例分析，让学生知道求解Abel逆变换的关键所在，即如上两个问题。
对于问题(1)，这是奇异积分的计算。指导教师可以提示学生，《数值分析》课程虽然没有明确讲解，但是否可以用变量替换的方法来解决？另外能否通过奇异积分的定义计算？
例如用奇异积分的定义计算，即计算：
其中η是充分小的正数。如果使用变量代换，则令y=ri/cos(θ)代入(1.3)经简单推导有
显然上式的积分下限不再是积分奇点了。
对于问题(2)，指导教师可以提示学生，要计算I`(y)，须先得到I(y)的表达式。对于给定离散观测数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n，可以用拟合或者插值来逼近I(y)[6,8,9]。当I(y)的逼近函数p(y)计算好之后，积分(1.3)就成为
(1.4)
于是ε(ri)(i=0,1,...,n)即可计算。
如果用m次多项式pm(y)拟合逼近函数I(y)，则要根据数据((yi,I(yi))，i=0,1,...,n构造法方程并求解，可得拟合多项式pm(y)。同时还需要提示学生的是，拟合多项式的次数m的确定方法。
如果用插值方法逼近I(y)，应提示《数值分析》中有拉格朗日插值、牛顿插值以及分段插值。对于节点个数较多的情况，应提示这时拉格朗日和牛顿插值多项式的次数会较高，可能会出现龙格现象。这可以通过实验来检验。因此分段插值是合理的逼近方法。常用的分段插值有分段线性插值、分段Hermite插值和三次样条插值，而且分段形式的插值易于计算，它们的计算公式可以参照《数值分析》教材[10]。
假设pk(y)=ak+bky+cky2+dky3是逼近I(y)的关于数据(yk,I(yk))，k=0,1,...,n的分段插值多项式(若ck=dk=0，则pk(y)为分段线性插值)，它定义在区间[yk,yk+1]上，则将式(1.4)需要进一步处理为：
由此就可以计算出ε(r)的数值解。
将上述解决方案整理如下：
算法１(Abel逆变换的数值算法，拟合)
(1)给定数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n；
(2)令j=1,2,...,n
(2.1)计算方程组BTBx=BTb，其中
B=(yij-1)n+1×j+1,b=(yi)n+1;
(2.2)用平方根方法求解BTBx=Bb
得多项式pj(y)；
(2.3)计算拟合误差：
(3)计算m=min{δ1，δ2，...δn}得pm(y)；
(4)令i=0,1,…,n计算奇异积分
令k=i+1,i+2,…,n-1计算
(5)令i=0,1,…,n输出-εi/π。
算法２(Abel逆变换的数值算法，插值)
(1)给定数据(yi,I(yi))，i=0,1,...,n；
(2)计算分段插值多项式(k=0,…,n-1)
pk(y)=ak+bky+cky2+dky3；
(3)令i=0,1,…,n计算奇异积分
(4)令i=0,1,…,n输出-εi/π。
五、实验数据的采集与实验结果
为模拟Abel逆变换得的数值计算，需要数据I(yi)(i=0,1,...,n)。假设ε(r)是如下两种典型分布[8]:
高斯分布：ε(r)=exp(-r2)，
双峰分布：ε(r)=1+4r2-5r4，
其中r∈[0,R]，这里假设R已单位化为1。
取n=30，区间[0,1]进行n等分，节点yi=i/n,i=0,1,…,n，模拟的两组测量数据I(yi)根据(1.1)计算。
Abel逆变换数值计算的任务是：根据数值I(yi),i=0,1,…,n，用(1.2)反演出ε(r)在节点rj(j=0,1,…,m)处的数值，这里为方便起见取j=i,因而有ri=yi。
根据算法1和算法2，对于高斯分布的反演结果如图1－图4所示，其中实线表示ε(r)的准确分布，“×”线表示用I(yi)计算的ε(r)分布：
图1算法1(拟合方法)的计算结果
图2 算法2(3次样条)的计算结果
对于双峰分布的反演结果如图所示:
图3算法1(拟合方法)的计算结果
图4 算法2(3次样条)的计算结果
从图1至图4可以看出，当取31个节点时，无论用3次样条还是用拟合方法，反演计算值与原分布准确值符合得相当好。这个结论可以作为课程设计的一个参考。
六、问题扩展
实验结果表明，选用合适方法反演ε(r)是可行的。应指出，实验结果光有图形还是不够的，还需要定量分析。例如，两者的误差是多少？反演结果的精度与n不同取值有何关系？
除此之外还可考虑有没有其他方法反演ε(r)？从案例解决方案可知，在数值反演ε(r)过程中，I(y)的逼近和(奇异)积分计算是关键，为此我们通过对《数值分析》教材中的方法进行组合形式，向学生展示几种可参考使用的求解思路。
表1：《数值分析》中的常用方法
组合的方法是：从表1第2行起，在每一列中各取一种方法，可得数值反演ε(r)的一个解题思路，这里可供组合的方案共有6×3×4=72种之多，因此作为课程设计，这个案例提供了足够多的可选方案了。
如果站在更高的层次来看待这个案例：当数据I(yi)(i=1,...,n)含有测量噪声时，反演效果会怎么样？由此将导出不适定以及正则化的概念[11]，指导教师可以提供一些相关的资料给学生阅读，开拓视野，重新认识《数值分析》基本算法的重要性。
七、结语
针对《数值分析》教学中面临理论联系实际和实习效果不佳的现状，采用综合案例作为课程设计内容，既培养了学生对问题探索的学习和思考能力，又增强了学生自主学习和实践的能力，达到学以致用之目的。同时案例教学对丰富教学内容、改进实践方法、提高实验教学质量亦有促进作用。
基金项目: 江苏科技大学教改基金(12508000408)
江苏科技大学教改基金(105040808)
[参考文献]
[1]曾繁慧,高雷阜等.基于MATLAB的《数值分析》教学改革研究[J].高教论坛,2008,3:60-61.
[2]杜廷松.数值分析实验课研究型教学模式探索[J].高等理科教育,2008,4:105-109.
[3]邱燕,宋艳.基于建构主义的电子商务实践教学改革,实验室研究与探索[J].2010, 29(11):129-131.
[4]教育部关于开展高等学校实验教学示范中心建设和评审工作的通知,教高[2005]8号.http://www.eol.cn.article/20051014/3155694,shtml,2005-10-14.
[5]汪春梅,杨敏等.利用开放性“数字信号处理”课程设计培养学生的创新精神[J].实验室研究与探索,2010,29(11):122-124.
[6]邵华,朱丹平等, 电弧等离子体温度场中Abel逆变换的数值算法分析[J].计算物 理, 2005,22(5):431-436.
[7]赵振宇,贺国强等, Abel变换的数值反演[J].上海大学学报(自然科学版),2008,14(3): 271-275.
[8]陈法新,郑坚等,三种逆阿贝尔变换方法比较[J].数值计算与计算机应用,2007,28(3):221-229.
[9]江少恩,刘忠礼,唐道源等,基于三次样条函数算法的逆阿贝尔变换[J].光学精密工程,2000,8(4):181-183.
[10]李庆扬,王能超等,数值分析[M]第5版,清华大学出版社,2008.
[11]肖庭延,宋金来,Abel变换数值反演的离散正则化方法[J].计算物理,2000, 17(6): 602- 610.
（作者单位：江苏科技大学数理学院 江苏镇江）