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一直以来，“乘法的初步认识”都是小学阶段比较重要的一节概念教学课。在新课改之前，教师和学生都纠结于写乘法算式时，要先写相同加数再写相同加数的个数，部分学生不理解算式的意义，机械记忆，造成了学习困难。自从2001年小学数学新教材使用以后，写乘法算式不再区分相同加数和相同加数的个数的先后顺序，降低了学生的学习难度，但是也导致小学阶段数学知识内部结构产生了逻辑问题。
近日读了张奠宙教授和戎松魁先生《正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法和乘法交换律的讨论》一文（下简称《讨论》），深受启发，尝试着重新设计“乘法的初步认识”的教学方案，试图尊重知识的内部结构，厘清知识间的脉络，通过学生数数的操作活动来理解乘法的意义。
一、设计意图
（一）通过数数，建立图与式的联系
人教版教材提供了三个不同的生活情境图片，分别呈现了5个3相加、4个6相加和7个2相加三个算式。我们通过数一数，摆一摆，写一写，画一画等活动，使学生在图和式之间建立了联系。“几个几相加”这样的表达比较直观地呈现了学生数的结果，又能突显图片中“同数相加”的本质特征，为引出乘法做好铺垫。加法算式和乘法算式的沟通也是通过数数来达成的。学生通过数数活动发现乘法算式中的第一个数就是加法算式中的相同加数，乘法算式中的第二个数就是相同加数的个数。这样就建立了图与加法算式和乘法算式之间的联系，乘法核心意义的理解就是通过数几个几完成的。
（二）通过数数，沟通式与式的关系
式与式的关系可以从两个维度来思考。其一，通过数数沟通加法算式和乘法算式之间的关系；其二，通过数数发现两个乘法算式之间的等值关系，从而拓展看图写算式的方法。因为是乘法内容的起始课，学生尚未学习乘法口诀，需要依靠对乘法意义的理解用加法来计算乘法，在这个过程中数数起到了很重要的作用。
（三）通过数数，厘清知识间的脉络
3.全班交流。
生：我的算式是2 2 2 2 2 2 2=14，过山车里一共有14个人。
师：这位同学说了这么多个2，老师都记不下来了，哪位同学有办法让老师不会多写，也不会少写？
生：老师你写7个2相加就可以了。
师：你是怎么知道是7个2相加呢？
生：我是数出来的。
师：那我们一起数一数吧。（出示过山车图，师生一起两个两个数，1个2，2个2，3个2，4个2，5个2，6个2，7个2，数完后老师写下算式）
师：还有其他算式吗？
生：3 3 3 3 3=15。
生：就是5个3相加等于15。
师：谢谢这位同学，知道了5个3相加，我就不会多写也不会少写了。我们也来数数到底有几个3。（出示飞机图，师生一起三个三个数）
生：我的算式是4个6相加等于24。
师：你们能像刚才这样数一数吗？（出示火车图，师生一起数）
生：我的算式是3 3 3 2=11。
师：你们明白这位同学的算式是求玩哪个项目的人数吗？
（二）算式分类，引出乘法
1.分类。
师：这么多算式，我们把它们编个号吧，你们是怎样分类的呢？
生：①②③分一类，④单独一类。
生：他的意思就是加数都相同的归一类，加数不相同的归另一类。
2.摆学具，写加法算式。
（1）学生活动。
师：像这样加数相同的算式，你还能写吗？请你拿出圆片摆一摆，写算式。
（2）根据圆片图猜算式。
呈现两位同学摆的圆片图，猜一猜算式怎样写？（交流中强调数一数相同的加数有几个，表示几个几相加）
（3）根据算式猜圆片的摆法。
师：有一位同学写的算式是3 3 3 3，猜猜他是怎样摆圆片的，请你摆一摆。
呈现几位学生不同的摆法（如图）。
师：这几位同学的摆法看起来一样吗？为什么都可以用3 3 3 3表示？ 生：每一堆都是3个圆，摆了4堆。
生：尽管摆出来的形状不同，但都是摆了4个3。
3.引出乘法。
师：这类加数相同的加法算式，我们还可以用乘法表示。（出示过山车图）坐过山车的小朋友人数可以用2 2 2 2 2 2 2=14来计算，还可以写成乘法算式：2×7=14。算式中的“×”是乘号。2和7都叫作“乘数”，14叫作“积”，这个算式读作：2乘7等于14。请你想一想，2表示什么，7又表示什么？
生：2就是相同加数，7就是有7个2相加。
师：很好，我们把相同加数2写在乘号的前面，再数一数，相同加数2有7个，把7写在乘号的后面。我们一起把算式②和③也改成乘法算式吧。
生： 6 6 6 6=24可以改成6×4=24。
生：3 3 3 3 3=15可以改成3×5=15。
师：你们是怎么把加法算式改成乘法算式的呢？
生：用相同的加数乘相同加数的个数就可以了。
（三）巩固练习，发现联系
1.独立练习：看图写算式。
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
2.反馈交流。（第一题和第二题略）
师：这位同学的加法算式和乘法算式写得对吗？你猜猜他是怎样想的。
生：对的。上面有4个，下面也有4个，一共是8个。4 4=8，4×2=8。
生：我写的算式是2 2 2 2=8。
师：你认为谁的算式对呢？两人一组进行讨论，说说理由。
生：都对。4 4=8是横着看的。2 2 2 2=8是竖着看的，每一条（指每一列）都有2个人，所以是2 2 2 2=8。
师：你听明白他的意思了吗？横着看，一排有4个，会有几个4呢？我们一起来数一数。
生：1个4，2个4。
师：所以是……
生：4 4=8，乘法算式是4×2=8。
师：那如果是竖着看，我们再来数一数。
生：1个2，2个2，3个2，4个2。
师：一共是4个2，加法算式是……
生：2 2 2 2=8，乘法算式是2×4=8。
师：这两种做法有什么相同和不同呢？
生：不同的是一个是2个4相加，一个是4个2相加，乘法算式正好相反。
生：它们的结果都相同，都是8。
师：很好，不管是4×2还是2×4，计算结果都是8，所以我们可以用等号连接这两个算式，得到4×2=2×4。这两种方法都可以用来计算这幅图中的人数。同样，在第一题中算气球的数量，我们也可以用4×5=20来计算，想一想第二题中求钥匙的数量，我们还可以怎样列算式呢？
（四）回顾小结，拓展提高（略）
三、课后反思
“乘法的初步认识”是数与代数领域学习内容的一次拓展，笔者力图从学生已有的知识经验基础入手，通过各种学习活动，逐步从加法运算上升到乘法运算。作为概念的学习，力图让学生通过观察、操作、交流来体验、感悟、掌握概念的本质属性。从课堂的实际效果来看，学生通过学习较好地掌握了乘法的概念，能用乘法解决同数连加的实际问题。
（一）有效的数学活动帮助学生建立乘法概念
乘法是求相同加数的和的简便运算，在学习口诀之前，学生还不能体会到乘法的简便之处，理解乘法的含义更多的是基于对相同加数的理解。因此本节课中花了较多的时间让学生理解相同加数相加。通过读一读，数一数，分一分，摆一摆，写一写，学生不仅能够辨别同数连加的算式，也能自己创造同数连加的算式。这些活动和体验对学生理解乘法的概念起到了关键的作用。
（二）适度的数学抽象帮助学生突破学习难点
仔细阅读教材可以发现，教材在飞机图、火车图和过山车图中分别标注了“5个3”“（）个6”和“（）个（）”，以此来引导学生的思考。对于基础好的学生，能比较快地提取出“几个几“，对于基础比较弱的学生，通过数数也能得到“几个几”的数学信息，相对“相同加数”而言，“几个几”略微抽象，但是更指向于乘法的意义。因此笔者在教学中就以“几个几”为核心，统领整节课的学习。情境图中数一数有几个几，加法算式中读一读有几个几，小圆片摆出几个几，为的就是得到乘法算式。由“几个几”入手，学生也更容易理解乘法意义，从而突破了本节课的学习难点。
（三）合理的逻辑体系帮助学生构建知识结构
从加法到同数连加再到乘法，从生活情境到圆片摆放再到写算式，整节课学生经历的是一个知识发生发展的过程，也是一个从具体到抽象的过程，学生学下来顺理成章。学生既明白了求相同加数的和可以用乘法来表示，也发现了2×4和4×2的等值关系，2×7和7×2的等值关系等，避免了“7个2相加还可以用乘法表示为2×7或7×2”的尴尬，为以后学习乘法交换律积累了经验。
（浙江省杭州天地实验小学 310016 ）
近日读了张奠宙教授和戎松魁先生《正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法和乘法交换律的讨论》一文（下简称《讨论》），深受启发，尝试着重新设计“乘法的初步认识”的教学方案，试图尊重知识的内部结构，厘清知识间的脉络，通过学生数数的操作活动来理解乘法的意义。
一、设计意图
（一）通过数数，建立图与式的联系
人教版教材提供了三个不同的生活情境图片，分别呈现了5个3相加、4个6相加和7个2相加三个算式。我们通过数一数，摆一摆，写一写，画一画等活动，使学生在图和式之间建立了联系。“几个几相加”这样的表达比较直观地呈现了学生数的结果，又能突显图片中“同数相加”的本质特征，为引出乘法做好铺垫。加法算式和乘法算式的沟通也是通过数数来达成的。学生通过数数活动发现乘法算式中的第一个数就是加法算式中的相同加数，乘法算式中的第二个数就是相同加数的个数。这样就建立了图与加法算式和乘法算式之间的联系，乘法核心意义的理解就是通过数几个几完成的。
（二）通过数数，沟通式与式的关系
式与式的关系可以从两个维度来思考。其一，通过数数沟通加法算式和乘法算式之间的关系；其二，通过数数发现两个乘法算式之间的等值关系，从而拓展看图写算式的方法。因为是乘法内容的起始课，学生尚未学习乘法口诀，需要依靠对乘法意义的理解用加法来计算乘法，在这个过程中数数起到了很重要的作用。
（三）通过数数，厘清知识间的脉络
3.全班交流。
生：我的算式是2 2 2 2 2 2 2=14，过山车里一共有14个人。
师：这位同学说了这么多个2，老师都记不下来了，哪位同学有办法让老师不会多写，也不会少写？
生：老师你写7个2相加就可以了。
师：你是怎么知道是7个2相加呢？
生：我是数出来的。
师：那我们一起数一数吧。（出示过山车图，师生一起两个两个数，1个2，2个2，3个2，4个2，5个2，6个2，7个2，数完后老师写下算式）
师：还有其他算式吗？
生：3 3 3 3 3=15。
生：就是5个3相加等于15。
师：谢谢这位同学，知道了5个3相加，我就不会多写也不会少写了。我们也来数数到底有几个3。（出示飞机图，师生一起三个三个数）
生：我的算式是4个6相加等于24。
师：你们能像刚才这样数一数吗？（出示火车图，师生一起数）
生：我的算式是3 3 3 2=11。
师：你们明白这位同学的算式是求玩哪个项目的人数吗？
（二）算式分类，引出乘法
1.分类。
师：这么多算式，我们把它们编个号吧，你们是怎样分类的呢？
生：①②③分一类，④单独一类。
生：他的意思就是加数都相同的归一类，加数不相同的归另一类。
2.摆学具，写加法算式。
（1）学生活动。
师：像这样加数相同的算式，你还能写吗？请你拿出圆片摆一摆，写算式。
（2）根据圆片图猜算式。
呈现两位同学摆的圆片图，猜一猜算式怎样写？（交流中强调数一数相同的加数有几个，表示几个几相加）
（3）根据算式猜圆片的摆法。
师：有一位同学写的算式是3 3 3 3，猜猜他是怎样摆圆片的，请你摆一摆。
呈现几位学生不同的摆法（如图）。
师：这几位同学的摆法看起来一样吗？为什么都可以用3 3 3 3表示？ 生：每一堆都是3个圆，摆了4堆。
生：尽管摆出来的形状不同，但都是摆了4个3。
3.引出乘法。
师：这类加数相同的加法算式，我们还可以用乘法表示。（出示过山车图）坐过山车的小朋友人数可以用2 2 2 2 2 2 2=14来计算，还可以写成乘法算式：2×7=14。算式中的“×”是乘号。2和7都叫作“乘数”，14叫作“积”，这个算式读作：2乘7等于14。请你想一想，2表示什么，7又表示什么？
生：2就是相同加数，7就是有7个2相加。
师：很好，我们把相同加数2写在乘号的前面，再数一数，相同加数2有7个，把7写在乘号的后面。我们一起把算式②和③也改成乘法算式吧。
生： 6 6 6 6=24可以改成6×4=24。
生：3 3 3 3 3=15可以改成3×5=15。
师：你们是怎么把加法算式改成乘法算式的呢？
生：用相同的加数乘相同加数的个数就可以了。
（三）巩固练习，发现联系
1.独立练习：看图写算式。
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
加法算式：____________________
乘法算式：____________________
2.反馈交流。（第一题和第二题略）
师：这位同学的加法算式和乘法算式写得对吗？你猜猜他是怎样想的。
生：对的。上面有4个，下面也有4个，一共是8个。4 4=8，4×2=8。
生：我写的算式是2 2 2 2=8。
师：你认为谁的算式对呢？两人一组进行讨论，说说理由。
生：都对。4 4=8是横着看的。2 2 2 2=8是竖着看的，每一条（指每一列）都有2个人，所以是2 2 2 2=8。
师：你听明白他的意思了吗？横着看，一排有4个，会有几个4呢？我们一起来数一数。
生：1个4，2个4。
师：所以是……
生：4 4=8，乘法算式是4×2=8。
师：那如果是竖着看，我们再来数一数。
生：1个2，2个2，3个2，4个2。
师：一共是4个2，加法算式是……
生：2 2 2 2=8，乘法算式是2×4=8。
师：这两种做法有什么相同和不同呢？
生：不同的是一个是2个4相加，一个是4个2相加，乘法算式正好相反。
生：它们的结果都相同，都是8。
师：很好，不管是4×2还是2×4，计算结果都是8，所以我们可以用等号连接这两个算式，得到4×2=2×4。这两种方法都可以用来计算这幅图中的人数。同样，在第一题中算气球的数量，我们也可以用4×5=20来计算，想一想第二题中求钥匙的数量，我们还可以怎样列算式呢？
（四）回顾小结，拓展提高（略）
三、课后反思
“乘法的初步认识”是数与代数领域学习内容的一次拓展，笔者力图从学生已有的知识经验基础入手，通过各种学习活动，逐步从加法运算上升到乘法运算。作为概念的学习，力图让学生通过观察、操作、交流来体验、感悟、掌握概念的本质属性。从课堂的实际效果来看，学生通过学习较好地掌握了乘法的概念，能用乘法解决同数连加的实际问题。
（一）有效的数学活动帮助学生建立乘法概念
乘法是求相同加数的和的简便运算，在学习口诀之前，学生还不能体会到乘法的简便之处，理解乘法的含义更多的是基于对相同加数的理解。因此本节课中花了较多的时间让学生理解相同加数相加。通过读一读，数一数，分一分，摆一摆，写一写，学生不仅能够辨别同数连加的算式，也能自己创造同数连加的算式。这些活动和体验对学生理解乘法的概念起到了关键的作用。
（二）适度的数学抽象帮助学生突破学习难点
仔细阅读教材可以发现，教材在飞机图、火车图和过山车图中分别标注了“5个3”“（）个6”和“（）个（）”，以此来引导学生的思考。对于基础好的学生，能比较快地提取出“几个几“，对于基础比较弱的学生，通过数数也能得到“几个几”的数学信息，相对“相同加数”而言，“几个几”略微抽象，但是更指向于乘法的意义。因此笔者在教学中就以“几个几”为核心，统领整节课的学习。情境图中数一数有几个几，加法算式中读一读有几个几，小圆片摆出几个几，为的就是得到乘法算式。由“几个几”入手，学生也更容易理解乘法意义，从而突破了本节课的学习难点。
（三）合理的逻辑体系帮助学生构建知识结构
从加法到同数连加再到乘法，从生活情境到圆片摆放再到写算式，整节课学生经历的是一个知识发生发展的过程，也是一个从具体到抽象的过程，学生学下来顺理成章。学生既明白了求相同加数的和可以用乘法来表示，也发现了2×4和4×2的等值关系，2×7和7×2的等值关系等，避免了“7个2相加还可以用乘法表示为2×7或7×2”的尴尬，为以后学习乘法交换律积累了经验。
（浙江省杭州天地实验小学 310016 ）