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“带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动”是新课标的一个重点内容，它除了涉及匀速圆周运动的有关规律外，还涉及与圆有关的平面几何知识，由于同学们在处理几何图形及物理知识应用上存在一些障碍，使得本来并不复杂的问题却难以把握.
下面就这一主题谈谈针对该类试题的一种程序解题法——画轨迹、找关系、用规律.
第一步 画轨迹
画出带电粒子在磁场中的运动轨迹并确定圆心和半径，常见的方法有以下两种：
（1）已知轨迹上两点位置及其中一点的速度方向
如图1，[A、B]是某带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹上的两点，[v0]是粒子在[A]点的速度方向，求该粒子由[A]到[B]的运动轨迹.
[图1]
分析 如图1，过[A]作[v0]的垂线（是一条半径所在直线）；连接[A、B]，作线段[AB]的中垂线，与过[A]点与[v0]垂直的直线交于[O]点（即为圆心）；以[O]为圆心，以线段[AO]为半径做圆弧，则弧[AB]便是该粒子由[A]到[B]的运动轨迹.
这里用到了做曲线运动的物体在某点的速度与轨迹相切的关系和过圆的切点的法线、圆内弦的中垂线必过圆心的性质.
（2）已知轨迹上的一点的位置及其速度方向和另外一条速度方向线，如图2，已知虚线[MN]上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，有一带正电的粒子由[A]点垂直射入匀强磁场中，[A]是某带电粒子的入射点，[v1]是粒子过[A]点的速度方向，[v2]是粒子运动过程中的另一方向线.忽略该粒子的重力，确定该粒子运动轨道的圆心.
[图2]
分析 在图2中，过[A]作[v1]的垂线；作[v1]、[v2]所成角的平分线，与过[A]垂直于[v1]的直线交于点[O]；则[O]即为该粒子运动轨道的圆心.
解答本题除了用到物体做曲线运动的性质和圆的性质外，作图还得认真.
第二步 找关系
（1）线速度与轨道半径相联系：往往构成一个直角三角形，可用勾股定理或用三角函数.
（2）已知角度与圆心角相联系：常用的结论是“一个角两边分别与另一个角的两边垂直，则这两角相等或互余”.
（3）时间与周期相联系：由[tT=θ2π]得[t=θ2πT].
如图3，一束带负电粒子，电量为[q]，以速度[v]垂直射入磁感应强度为[B]，宽度为[d]的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与粒子原来的入射方向夹角是[30°].粒子的重力忽略不计，求粒子在磁场中运动的轨道半径[r].
[× ×
× ×
× ×
× ×] [图3]
分析 带电粒子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，则其轨迹是圆周的一部分，利用图2的方法作出该粒子由[A]到[B]的运动轨迹如上图所示. 由几何知识知：圆心角[∠AOB=30°]，在[Rt△OCB]中：[r=dsin30°][=2d]即为所求.
可见，解答本类物理试题要充分利用数学中的几何知识和三角函数知识帮助求解.
第三步 用规律
（1）带电粒子只受洛仑兹力时做匀速圆周运动，则洛仑兹力提供向心力，即[qBv=mv2r]
例1 长为[L]的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图4，磁感应强度为[B]，板间距也为[L]，板不带电，现有质量为[m]，电量为[q]的带正电的粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度[v]水平射入磁场，欲使粒子从极板的右侧打出，粒子速度大小应满足什么条件？并求出粒子恰好从极板右边界射出前在磁场中的运动时间.
[× ×
× ×][图4]
解析 本题中的粒子刚好从极板右边界射出时的轨迹，符合图1的条件，作入射点、出射点连线的中垂线，与过入射点的速度方向的垂线交于点[O]，即为其轨迹圆心，于是便可画出粒子的运动轨迹如图.
在[Rt△OMN]中，由勾股定理，有
[r2=L2+（r-—L2）2]
解得[r=5L4] ①
由三角函数知识得粒子在磁场中的偏转角[θ]满足[sinθ=Lr=45]， 进而得[θ=57°].
洛仑兹力提供向心力，有[qBv=mv2r] ②
联立①②，得[v=5BqL4m]
所以，要使粒子从右侧射出，速度[v>5BqL4m]
粒子在磁场中运动时间[t=θ2πT=53πm180Bq]
点拨 破解本题的关键在于抓住并理解“粒子恰好从极板右边界射出”这一临界条件.
（2）带电粒子在重力场、电场、磁场共存的复合场中做匀速匀速圆周运动时，洛仑兹力提供向心力，且[Eq=mg]
例2 如图5，竖直平面（纸面）内有直角坐标系[xOy]，[x]轴沿水平方向，在[x]≤0的区域内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为[B1]的匀强磁场.在第二象限紧贴[y]轴固定放置长为[L]，表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于[x]轴且与[x]轴相距[h]，在第一象限的某区域存在方向互相垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为[B2]，方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）. 一质量为[m]、不带电的小球[Q]从平板下侧[A]点沿[x]轴正向抛出；另一质量也为[m]、带电量为[q]的小球[P]从[A]点紧贴平板沿[x]轴正向运动，变为匀速运动后从[y]轴上的[D]点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经[14]圆周离开电磁场区域，沿[y]轴负方向运动，然后从[x]轴上的[k]点进入第四象限.小球[P、Q]相遇在第四象限某一点，且竖直方向速度相同，设运动过程中小球[P]电量不变，小球[P]和[Q]始终在纸面内运动，且均看作质点，重力加速度为[g]，求： [× × × ×
× × × ×
× × × ×
] [图5]
（1）匀强电场的场强大小，并判断[P]球所带电荷的正负；
（2）小球[Q]的抛出速度[v0]的取值范围；
（3）[B1]是[B2]的多少倍.
解析 （1）由题设条件可知，小球[P]在电磁场区域内做匀速圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为[E]，有
[Eq=mg，]即[E=mgq] ①
又小球[P]在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛仑兹力必竖直向上，故小球[P]带正电.
（2）设小球[P]紧贴平板匀速运动的速度为[v]，此时洛仑兹力与重力平衡，有
[B1qv=mg] ②
设小球[P]以速度[v]在电磁场区域内做圆周运动的半径为[R]，由牛顿第二定律，有
[B2qv=mv2R] ③
又小球[Q]与小球[P]在第四象限相遇，设小球[Q]运动到相遇点的时间为[t0]，则由平抛运动的规律，有
[v0t0=L+R] ④
[12gt02≥h] ⑤
由题意知[v0>0] ⑥
联立方程②～⑥得[0 （3）小球[Q]在空间做平抛运动，要满足题设要求，则运动到小球[P]穿出电磁场区域时，其竖直方向的速度[vy]与竖直位移[yQ]必须满足
[vy=v] ⑦
[yQ=R] ⑧
设小球[Q]在此过程中的运动时间为[t]，同理有
[vy=gt] ⑨
[yQ=12gt2] ⑩
联立②⑨11得[v=mgB1q=gt] 13
联立④⑩12得[R=m2gB1B2q2=12gt2] 14
联立1314方程得
[B1=12B2]，即[B1]是[B2]的[12]倍.
点拨 本题在解答过程中，虽然在解答本题的过程中没有像例1那样明确指出“画轨迹、找关系、用规律”这三步，实际上我们在理解题意、寻求解题的突破口时就必不可少地进行了第一步（画轨迹如图），另外两步均在解答过程中体现.
下面就这一主题谈谈针对该类试题的一种程序解题法——画轨迹、找关系、用规律.
第一步 画轨迹
画出带电粒子在磁场中的运动轨迹并确定圆心和半径，常见的方法有以下两种：
（1）已知轨迹上两点位置及其中一点的速度方向
如图1，[A、B]是某带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹上的两点，[v0]是粒子在[A]点的速度方向，求该粒子由[A]到[B]的运动轨迹.
[图1]
分析 如图1，过[A]作[v0]的垂线（是一条半径所在直线）；连接[A、B]，作线段[AB]的中垂线，与过[A]点与[v0]垂直的直线交于[O]点（即为圆心）；以[O]为圆心，以线段[AO]为半径做圆弧，则弧[AB]便是该粒子由[A]到[B]的运动轨迹.
这里用到了做曲线运动的物体在某点的速度与轨迹相切的关系和过圆的切点的法线、圆内弦的中垂线必过圆心的性质.
（2）已知轨迹上的一点的位置及其速度方向和另外一条速度方向线，如图2，已知虚线[MN]上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，有一带正电的粒子由[A]点垂直射入匀强磁场中，[A]是某带电粒子的入射点，[v1]是粒子过[A]点的速度方向，[v2]是粒子运动过程中的另一方向线.忽略该粒子的重力，确定该粒子运动轨道的圆心.
[图2]
分析 在图2中，过[A]作[v1]的垂线；作[v1]、[v2]所成角的平分线，与过[A]垂直于[v1]的直线交于点[O]；则[O]即为该粒子运动轨道的圆心.
解答本题除了用到物体做曲线运动的性质和圆的性质外，作图还得认真.
第二步 找关系
（1）线速度与轨道半径相联系：往往构成一个直角三角形，可用勾股定理或用三角函数.
（2）已知角度与圆心角相联系：常用的结论是“一个角两边分别与另一个角的两边垂直，则这两角相等或互余”.
（3）时间与周期相联系：由[tT=θ2π]得[t=θ2πT].
如图3，一束带负电粒子，电量为[q]，以速度[v]垂直射入磁感应强度为[B]，宽度为[d]的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与粒子原来的入射方向夹角是[30°].粒子的重力忽略不计，求粒子在磁场中运动的轨道半径[r].
[× ×
× ×
× ×
× ×] [图3]
分析 带电粒子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，则其轨迹是圆周的一部分，利用图2的方法作出该粒子由[A]到[B]的运动轨迹如上图所示. 由几何知识知：圆心角[∠AOB=30°]，在[Rt△OCB]中：[r=dsin30°][=2d]即为所求.
可见，解答本类物理试题要充分利用数学中的几何知识和三角函数知识帮助求解.
第三步 用规律
（1）带电粒子只受洛仑兹力时做匀速圆周运动，则洛仑兹力提供向心力，即[qBv=mv2r]
例1 长为[L]的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图4，磁感应强度为[B]，板间距也为[L]，板不带电，现有质量为[m]，电量为[q]的带正电的粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度[v]水平射入磁场，欲使粒子从极板的右侧打出，粒子速度大小应满足什么条件？并求出粒子恰好从极板右边界射出前在磁场中的运动时间.
[× ×
× ×][图4]
解析 本题中的粒子刚好从极板右边界射出时的轨迹，符合图1的条件，作入射点、出射点连线的中垂线，与过入射点的速度方向的垂线交于点[O]，即为其轨迹圆心，于是便可画出粒子的运动轨迹如图.
在[Rt△OMN]中，由勾股定理，有
[r2=L2+（r-—L2）2]
解得[r=5L4] ①
由三角函数知识得粒子在磁场中的偏转角[θ]满足[sinθ=Lr=45]， 进而得[θ=57°].
洛仑兹力提供向心力，有[qBv=mv2r] ②
联立①②，得[v=5BqL4m]
所以，要使粒子从右侧射出，速度[v>5BqL4m]
粒子在磁场中运动时间[t=θ2πT=53πm180Bq]
点拨 破解本题的关键在于抓住并理解“粒子恰好从极板右边界射出”这一临界条件.
（2）带电粒子在重力场、电场、磁场共存的复合场中做匀速匀速圆周运动时，洛仑兹力提供向心力，且[Eq=mg]
例2 如图5，竖直平面（纸面）内有直角坐标系[xOy]，[x]轴沿水平方向，在[x]≤0的区域内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为[B1]的匀强磁场.在第二象限紧贴[y]轴固定放置长为[L]，表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于[x]轴且与[x]轴相距[h]，在第一象限的某区域存在方向互相垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为[B2]，方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）. 一质量为[m]、不带电的小球[Q]从平板下侧[A]点沿[x]轴正向抛出；另一质量也为[m]、带电量为[q]的小球[P]从[A]点紧贴平板沿[x]轴正向运动，变为匀速运动后从[y]轴上的[D]点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经[14]圆周离开电磁场区域，沿[y]轴负方向运动，然后从[x]轴上的[k]点进入第四象限.小球[P、Q]相遇在第四象限某一点，且竖直方向速度相同，设运动过程中小球[P]电量不变，小球[P]和[Q]始终在纸面内运动，且均看作质点，重力加速度为[g]，求： [× × × ×
× × × ×
× × × ×
] [图5]
（1）匀强电场的场强大小，并判断[P]球所带电荷的正负；
（2）小球[Q]的抛出速度[v0]的取值范围；
（3）[B1]是[B2]的多少倍.
解析 （1）由题设条件可知，小球[P]在电磁场区域内做匀速圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为[E]，有
[Eq=mg，]即[E=mgq] ①
又小球[P]在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛仑兹力必竖直向上，故小球[P]带正电.
（2）设小球[P]紧贴平板匀速运动的速度为[v]，此时洛仑兹力与重力平衡，有
[B1qv=mg] ②
设小球[P]以速度[v]在电磁场区域内做圆周运动的半径为[R]，由牛顿第二定律，有
[B2qv=mv2R] ③
又小球[Q]与小球[P]在第四象限相遇，设小球[Q]运动到相遇点的时间为[t0]，则由平抛运动的规律，有
[v0t0=L+R] ④
[12gt02≥h] ⑤
由题意知[v0>0] ⑥
联立方程②～⑥得[0
[vy=v] ⑦
[yQ=R] ⑧
设小球[Q]在此过程中的运动时间为[t]，同理有
[vy=gt] ⑨
[yQ=12gt2] ⑩
联立②⑨11得[v=mgB1q=gt] 13
联立④⑩12得[R=m2gB1B2q2=12gt2] 14
联立1314方程得
[B1=12B2]，即[B1]是[B2]的[12]倍.
点拨 本题在解答过程中，虽然在解答本题的过程中没有像例1那样明确指出“画轨迹、找关系、用规律”这三步，实际上我们在理解题意、寻求解题的突破口时就必不可少地进行了第一步（画轨迹如图），另外两步均在解答过程中体现.