【摘要】数学的解题过程是从未知向已知、从复杂到简单、从难题向常规题的转化过程，数学的解题能力就是运用知识和类化经验，将所要解决的新问题转化为已解决过的问题的本领.这里举出在高等数学中几个利用转化思想解决的数学问题.
　　【关键词】转化；二阶常系数线性微分方程；积分判别法
　　
　　在解决数学问题时，我们可以借助已有的数学知识和解题经验.转化是一种数学思想，是一种处理问题的方法.在高等数学中，有一些定义或定理，用转化的思想可更好地解决问题.
　　一、二阶常系数线性微分方程
　　定义1 形如y″+py′+qy=0（1）
　　的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
　　定义2 形如y″+py′+qy=f(x)（2）
　　的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.（1）称为（2）所对应的齐次方程，f(x)称为非齐次项.
　　定理1 （非齐次线性方程解的结构）若yp是非齐次线性方程（2）的某个特解，yc是方程（2）对应的齐次方程y″+py′+qy=0的通解，则y=yp+yc是二阶常系数非齐次线性微分方程（2）的通解.
　　证明 将y=yp+yc代入方程（2）的左端有(yp+yc)″+p(yp+yc)′+q(yp+yc)=(y″p+py′p+qyp)+(y″c+py′c+qyc)=f(x)+0=f(x).
　　这就是说，y=yp+yc确为方程（2）的解.
　　又因为yc中含有两个独立的任意常数，所以y=yp+yc中也含有两个独立的任意常数，故y=yp+yc为方程（2）的通解.
　　说明 定理1告诉我们，要想求得方程（2）的通解，得求出方程（2）对应的齐次方程y″+py′+qy=0的通解和方程（2）的某个特解，上述解求得后，二者做加法运算，才得到方程（2）的通解.
　　例1 求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解.
　　解 方程对应的齐次方程为y″-5y′+6y=0.
　　特征方程为r2-5r+6=0.
　　特征方程有两个实根r1=2，r2=3.
　　所给方程对应的齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e3x.
　　设方程的特解为yp=x(b0x+b1)e2x.
　　把它代入所给方程，得-2b0x+2b0-b1=x.
　　比较两端x同次幂的系数，得-2b0=1，2b0-b1=0，
　　由此求得b0=-12，b1=-1.
　　于是求得所给方程的一个特解为
　　yp=x-12x-1e2x.
　　从而所给方程的通解为
　　y=C1e2x+C2e3x-12(x2+2x)e2x.
　　二、正项级数的积分判别法
　　定义3 级数∑∞n=1un(un≥0，n=1,2,3,…)称为正项级数.
　　定理2 设定义在［a,+∞)上的两个函数f(x)和g(x)都在任何有限区间［a,u］上可积，且满足|f(x)|≤g(x)，x∈［a,+∞)，则当∫+∞ag(x)dx收敛时，∫+∞a|f(x)|dx必收敛（或者当∫+∞a|f(x)|dx发散时，∫+∞ag(x)dx必发散）.
　　定理3 正项级数∑∞n=1un收敛的充要条件是：部分和数列{Sn}有界，即存在某正数M，对一切正整数n有Sn　　定理4 设f(x)为［1,+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积分∫+∞1f(x)dx同时收敛或发散.
　　证明 由假设f(x)为［1,+∞)上非负减函数，对任何正数A，f(x)在［1,A］上可积，从而有f(n)≤∫nn-1f(x)dx≤f(n-1)，n=2,3,…
　　依次相加，可得
　　∑mn=2f(n)≤∫m1f(x)dx≤∑mn=2f(n-1)=∑m-1n=1f(n).（3）
　　若反常积分收敛，则由（3）式左边，对任何正整数m，有
　　Sm=∑mn=1f(n)≤f(1)+∫m1f(x)dx≤f(1)+∫+∞1f(x)dx.
　　根据定理3，级数∑f(n)收敛.
　　反之，若∑f(n)为收敛级数，则由（3）式右边，对任一正整数m>1有
　　∫m1f(x)dx≤Sm-1≤∑f(n)=S.（4）
　　因为f(x)为［1,+∞)上非负减函数，故对任何正数A，都有0≤∫A1f(x)dx≤Sn　　联系（4）式及定理2，得反常积分∫+∞1f(x)dx收敛.
　　同理可证，∑f(n)与反常积分∫+∞1f(x)dx是同时发散的.
　　说明 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.
　　例2 讨论级数∑∞n=21n(lnn)p的敛散性.
　　解 研究反常积分∫+∞2dxx(lnx)p，由于
　　∫+∞2dxx(lnx)p=∫+∞2d(lnx)(lnx)p=∫+∞ln2duup，
　　当p>1时收敛，p≤1时发散.
　　根据定理4知级数∑∞n=21n(lnn)p在p>1时收敛，p≤1时发散.
　　【参考文献】
　　［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社,2001.
　　［2］侯风波.工科高等数学［M］.沈阳：辽宁大学出版社，2006.
　　［3］吕晓辉.在高中解题教学中培养学生转化意识［J］.数学教学，2009.