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【摘 要】培养学生的创新意识是教育教学的重要目标，因此，教师可以通过自由探索氛围的营造，使学生想探索，培育创新意愿；保证充分自由探索的时间，静待创新之花的盛开；提供指向本源的可选择的自由探索材料，结出创新之果；形成氛围、时间、空间的“创新场”，让学生的创新意识生根发芽。
【关键词】创新意识 自由探索 氛围 时间 空间
数学学习中，“唤起学生的创新欲望，激发学生的创新思维，经历创新性学习的过程”已成为当下数学教师的普遍共识。“营造独立思考、自由探索的良好环境” 能有效培养学生的创新意识，这俨然成为一线教师的普遍教学意识。怎样从操作层面使学生在课堂上自由探索，让创新意识在学习中生根发芽，进而开花结果？笔者结合自己的教学实践谈些具体做法。
一、营“自由探索”氛围，育创新之意
教师在数学教学时应创设一种能让学生自由探索的教学氛围，并适当鼓励以激发学生创新的欲望与兴趣。
首先，创设不唯师、不唯书的氛围。创新的核心要素是质疑的品质与意识。在课堂学习过程中，当学生的认识与教师、教材答案产生冲突时，是全盘接受还是在挑战权威中学习，这既关系到学生对知识的真理解，更关系到学生质疑品质的培养。
其次，鼓励争论自由。表现在数学课堂上的自由争论，既可以和教师争论，也可以和同伴争论。通过争论，形成共鸣，或相同，或相异，都已不是主要目的，争论过程中学生养成自由探索意识，提升自由思维品质尤显重要。
例如，五年级下册的单式折线统计图，我们改编材料（如图1）。
课后，李同学对这道题兴趣高漲，主动请笔者再出题考考他。笔者先出一个：第20幅图是什么动作？他想了一会儿，回答与第二幅图相同，又要笔者出更难的题目。再出了个61，他回到座位上，写写、画画，也正确地解决了问题。
笔者接着问他第88幅、第123幅、第800幅分别是什么动作。虽然他探索的时间都较长，但在耐心等待下，除第123幅图的动作错了，其他都对。
他是怎么探索的？首先在探索的过程中找到整十、整百时图形的变化规律，再从最接近的整十、整百开始快速解决问题。如10、20、30分别与1、2、3的动作一样，100、200、300也分别与1、2、3的动作相同。找到了1到9的动作变化规律，就找到了10到90及100到900的变化规律。
实际上他在头脑里创造了一张“3的倍数”（虽然他并不知3的倍数）与余数模型图，如同一张数的网格图（如图3，笔者依据该学生的描述所画），再在头脑里运用这个模型图快速检索得到答案。
如883，先从880开始确定与第一幅图的动作一样，则881、882幅图分别对应的是第二、三两幅图，这样依次重复下去。
笔者惊叹他的创新性思维，也暗暗庆幸自己不暗示、不提示，让他有充分的自由探索时间，才开出如此美丽的创新之花。
（二）留足学生自由展示的时间
展示学生的探索成果，有利于学生之间开展有针对性的自由争论，从而激发学生的学习兴趣，进而借鉴同伴间解决问题的创新性方法与过程，提高学习成效。
如教学人教版二年级上册“乘法初步认识”时，课后练习有这样一道题： “请任意写一道乘法算式，并画图表示所写乘法算式的意思。”在学生自由写乘法算式、画乘法意义后，笔者留足展示学生作品的时间，课上出现了许多精彩的想法。
生：我写的乘法算式是“4×5=20”，我先一行画了4个圆圈，画了5行，表示5个4的和是20；也可以理解成一竖（列）有5个，有4竖（列），表示4个5的和是20。
生：我写的乘法算式是“9×9=81”，我是结合买玩具来理解的，我买跳跳球，一个9元钱，我买了9个，要付的钱是9个9元。
生：我寫的乘法算式是“1×1=1”，我是用圆圈表示的，就在本子上画出1个圆圈就行了，最简单，表示1个1是1。
生：我是用叉叉表示的，一行先画几个叉叉，在中间用省略号表示，我就表示100个叉叉；再竖着也用省略号表示，表示100行，这个算式的意思是有100个100。也可以这样想，这个叉表示一种外星文字，一行是100个，有100行，一共有100个100等于10000个外星文。所以算式是“100×100=10000”。
生：我这个最有趣了，我是在这个方框内用圆圈表示0×0=0，你看到了什么吗？一个都没有，就表示0个0。
生：我表示的算式是0×3=0，今天3个人想吃大饼，每人0个大饼，这3个人共吃了3个0，还是0个大饼。
生：我写的算式是X×X=X，我的图有无数种画法，因为X可以代表3、代表0，也可以代表100，也就是不管代表什么数都可以的意思。所以我这个算式把你们刚才画的图与意思都包括在里面了。
……
因为留足了学生自由展示的时间，每个学生都有机会将自己个性化的想法展示出来。展示的过程既是建立乘法意义直观模型的过程，也是展示自己独特个性的过程。这样的过程有利于激发学生的学习兴趣，唤醒学生标新立异的创新性思维，这对培养学生的创新意识很有好处。
三、创“自由探索”空间，结创新之果
培养创新意识，除了有效的激励措施，充分的探索时间，还需要创设“自由探索”的空间，让学生能在富有弹性的自由探索的空间内产生个性化的解决方法，从而体会到创新之快乐。要做到这点，就要依赖教师所设计的开放性学习材料，主要有两点。
（一）呈现选择性探索材料，让学生有自由选择的机会
尊重学生的自由选择权能激发学生的探索动力，进而促进学生去主动创新。而尊重学生的选择权，首先教师必须要提供让学生有选择机会的开放性、富有弹性的学习材料，学生再结合自身的学习能力、知识基础选择适合自己探索的材料开展研究。
例如三角形内角和的教学，笔者是这样进行的。
（1）师生交流学法。课始通过师生交流，了解到运用与新课相关的旧知识通过转化的方法学习新知，是常用的学习方法。
（2）揭示学习内容“三角形的内角和”，并指出三角形内角和分别所在位置与意思。讨论与本课新知有关的旧知识分别有哪些，共同推测可能有如下相关知识：用量角器量角、特殊角度数（平角180°，直角90°，周角360°）、长方形内角和90°×4=360°。
（3）呈现材料。
材料一：呈现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等图形各一个。
材料二：呈现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片若干个。
（4）选择材料和探索方法。
任选两组材料中的一个或几个三角形，再任选所运用的一种或两种旧知识探索其内角和。
（5）学生自由探索（过程略）。
在上例中，学生探索的材料是自己选择的，探索的方法也是自己选择的，因为选择，所以喜欢，因为喜欢才使学生的探索富有成效，有通过量内角和解决问题的，也有拼成长方形研究直角三角形内角和的，还有把三个内容拼成平角研究内角和的……每位学生都有了自己独特的创造性的想法，课堂也结满了创新之果。
（二）呈现本源性探索材料，让学生有自由思维的空间
促进学生学习的材料主要有两类。一是基于包含其前位知识的带有暗示探索过程的学习材料，这种学习材料主要指向于学生新知的获得（详见下例材料一）。优点是知识掌握得较扎实，不足的是学生的思维空间较小，往往按材料的暗示方向进行探索。另一类直达新知识本源的不暗示、富有想象空间的学习材料，其能使学生在探索中有充分的自由思维的时间与空间（详见下例材料二）。学生学习主动性较高，思维的挑战性更强，易激发学生的创新欲望，易出现富有创新性的探索结果。
例如，人教版五年级“三角形的面积”两种不同的学习材料。
1.暗示性的材料。
材料一及简要过程：
（2）将上图沿一条对角线平均分成两个三角形，求阴影部分的面积（如图5）。
（3）对三角形面积计算方法进行猜测，再验证。（过程略）
学生能证明三角形面积的计算，但都是用两个全等三角形拼成平行四边形的方法，结果较单一。
2.本源性的材料。
材料二及简要过程：
（1）呈现如图6材料，让学生想办法得到三角形的面积，再将自己的想法画出来，使别人能一眼看出他们的想法。
（2）学生独立画图，再展示思维过程，介绍自己的想法。具体如图7～11所示。
（3）学生猜测三角形面积计算方式及验证。（过程略）
从上例的探索过程与结果可以看出，我们把三角形的面积放到面积单位这一知识的源头，打开了学生自由思维的空间，学生的探索过程不再单一，个性化想法非常丰富。
总之，在小学数学课堂上发展学生的创新意识是一个长期的、复杂的过程。学生创新意识的发展是一个由多种因素综合起作用的整体性过程。既需要有自由探索的良好氛围、充足时间及空间，还需要学生具有广博的知识面，不畏艰险、勇于探索的精神，更需要学生具有善于提出问题、发现问题的能力。因此，培养学生的创新意识，我们还有许多问题要解决，还有许多做法有待研究。
参考文献：
[1]曹培英.跨越断层，走出误区“数学课程标准”核心词的实践解读之十——创新意识[M].上海：上海教育出版社，2015.
[2]陈选峰.基于“学”的课本材料有效的开发与实践[J].教学月刊·小学版（数学），2014（6）.
（浙江省临海市邵家渡中心校 317000）
【关键词】创新意识 自由探索 氛围 时间 空间
数学学习中，“唤起学生的创新欲望，激发学生的创新思维，经历创新性学习的过程”已成为当下数学教师的普遍共识。“营造独立思考、自由探索的良好环境” 能有效培养学生的创新意识，这俨然成为一线教师的普遍教学意识。怎样从操作层面使学生在课堂上自由探索，让创新意识在学习中生根发芽，进而开花结果？笔者结合自己的教学实践谈些具体做法。
一、营“自由探索”氛围，育创新之意
教师在数学教学时应创设一种能让学生自由探索的教学氛围，并适当鼓励以激发学生创新的欲望与兴趣。
首先，创设不唯师、不唯书的氛围。创新的核心要素是质疑的品质与意识。在课堂学习过程中，当学生的认识与教师、教材答案产生冲突时，是全盘接受还是在挑战权威中学习，这既关系到学生对知识的真理解，更关系到学生质疑品质的培养。
其次，鼓励争论自由。表现在数学课堂上的自由争论，既可以和教师争论，也可以和同伴争论。通过争论，形成共鸣，或相同，或相异，都已不是主要目的，争论过程中学生养成自由探索意识，提升自由思维品质尤显重要。
例如，五年级下册的单式折线统计图，我们改编材料（如图1）。
课后，李同学对这道题兴趣高漲，主动请笔者再出题考考他。笔者先出一个：第20幅图是什么动作？他想了一会儿，回答与第二幅图相同，又要笔者出更难的题目。再出了个61，他回到座位上，写写、画画，也正确地解决了问题。
笔者接着问他第88幅、第123幅、第800幅分别是什么动作。虽然他探索的时间都较长，但在耐心等待下，除第123幅图的动作错了，其他都对。
他是怎么探索的？首先在探索的过程中找到整十、整百时图形的变化规律，再从最接近的整十、整百开始快速解决问题。如10、20、30分别与1、2、3的动作一样，100、200、300也分别与1、2、3的动作相同。找到了1到9的动作变化规律，就找到了10到90及100到900的变化规律。
实际上他在头脑里创造了一张“3的倍数”（虽然他并不知3的倍数）与余数模型图，如同一张数的网格图（如图3，笔者依据该学生的描述所画），再在头脑里运用这个模型图快速检索得到答案。
如883，先从880开始确定与第一幅图的动作一样，则881、882幅图分别对应的是第二、三两幅图，这样依次重复下去。
笔者惊叹他的创新性思维，也暗暗庆幸自己不暗示、不提示，让他有充分的自由探索时间，才开出如此美丽的创新之花。
（二）留足学生自由展示的时间
展示学生的探索成果，有利于学生之间开展有针对性的自由争论，从而激发学生的学习兴趣，进而借鉴同伴间解决问题的创新性方法与过程，提高学习成效。
如教学人教版二年级上册“乘法初步认识”时，课后练习有这样一道题： “请任意写一道乘法算式，并画图表示所写乘法算式的意思。”在学生自由写乘法算式、画乘法意义后，笔者留足展示学生作品的时间，课上出现了许多精彩的想法。
生：我写的乘法算式是“4×5=20”，我先一行画了4个圆圈，画了5行，表示5个4的和是20；也可以理解成一竖（列）有5个，有4竖（列），表示4个5的和是20。
生：我写的乘法算式是“9×9=81”，我是结合买玩具来理解的，我买跳跳球，一个9元钱，我买了9个，要付的钱是9个9元。
生：我寫的乘法算式是“1×1=1”，我是用圆圈表示的，就在本子上画出1个圆圈就行了，最简单，表示1个1是1。
生：我是用叉叉表示的，一行先画几个叉叉，在中间用省略号表示，我就表示100个叉叉；再竖着也用省略号表示，表示100行，这个算式的意思是有100个100。也可以这样想，这个叉表示一种外星文字，一行是100个，有100行，一共有100个100等于10000个外星文。所以算式是“100×100=10000”。
生：我这个最有趣了，我是在这个方框内用圆圈表示0×0=0，你看到了什么吗？一个都没有，就表示0个0。
生：我表示的算式是0×3=0，今天3个人想吃大饼，每人0个大饼，这3个人共吃了3个0，还是0个大饼。
生：我写的算式是X×X=X，我的图有无数种画法，因为X可以代表3、代表0，也可以代表100，也就是不管代表什么数都可以的意思。所以我这个算式把你们刚才画的图与意思都包括在里面了。
……
因为留足了学生自由展示的时间，每个学生都有机会将自己个性化的想法展示出来。展示的过程既是建立乘法意义直观模型的过程，也是展示自己独特个性的过程。这样的过程有利于激发学生的学习兴趣，唤醒学生标新立异的创新性思维，这对培养学生的创新意识很有好处。
三、创“自由探索”空间，结创新之果
培养创新意识，除了有效的激励措施，充分的探索时间，还需要创设“自由探索”的空间，让学生能在富有弹性的自由探索的空间内产生个性化的解决方法，从而体会到创新之快乐。要做到这点，就要依赖教师所设计的开放性学习材料，主要有两点。
（一）呈现选择性探索材料，让学生有自由选择的机会
尊重学生的自由选择权能激发学生的探索动力，进而促进学生去主动创新。而尊重学生的选择权，首先教师必须要提供让学生有选择机会的开放性、富有弹性的学习材料，学生再结合自身的学习能力、知识基础选择适合自己探索的材料开展研究。
例如三角形内角和的教学，笔者是这样进行的。
（1）师生交流学法。课始通过师生交流，了解到运用与新课相关的旧知识通过转化的方法学习新知，是常用的学习方法。
（2）揭示学习内容“三角形的内角和”，并指出三角形内角和分别所在位置与意思。讨论与本课新知有关的旧知识分别有哪些，共同推测可能有如下相关知识：用量角器量角、特殊角度数（平角180°，直角90°，周角360°）、长方形内角和90°×4=360°。
（3）呈现材料。
材料一：呈现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等图形各一个。
材料二：呈现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片若干个。
（4）选择材料和探索方法。
任选两组材料中的一个或几个三角形，再任选所运用的一种或两种旧知识探索其内角和。
（5）学生自由探索（过程略）。
在上例中，学生探索的材料是自己选择的，探索的方法也是自己选择的，因为选择，所以喜欢，因为喜欢才使学生的探索富有成效，有通过量内角和解决问题的，也有拼成长方形研究直角三角形内角和的，还有把三个内容拼成平角研究内角和的……每位学生都有了自己独特的创造性的想法，课堂也结满了创新之果。
（二）呈现本源性探索材料，让学生有自由思维的空间
促进学生学习的材料主要有两类。一是基于包含其前位知识的带有暗示探索过程的学习材料，这种学习材料主要指向于学生新知的获得（详见下例材料一）。优点是知识掌握得较扎实，不足的是学生的思维空间较小，往往按材料的暗示方向进行探索。另一类直达新知识本源的不暗示、富有想象空间的学习材料，其能使学生在探索中有充分的自由思维的时间与空间（详见下例材料二）。学生学习主动性较高，思维的挑战性更强，易激发学生的创新欲望，易出现富有创新性的探索结果。
例如，人教版五年级“三角形的面积”两种不同的学习材料。
1.暗示性的材料。
材料一及简要过程：
（2）将上图沿一条对角线平均分成两个三角形，求阴影部分的面积（如图5）。
（3）对三角形面积计算方法进行猜测，再验证。（过程略）
学生能证明三角形面积的计算，但都是用两个全等三角形拼成平行四边形的方法，结果较单一。
2.本源性的材料。
材料二及简要过程：
（1）呈现如图6材料，让学生想办法得到三角形的面积，再将自己的想法画出来，使别人能一眼看出他们的想法。
（2）学生独立画图，再展示思维过程，介绍自己的想法。具体如图7～11所示。
（3）学生猜测三角形面积计算方式及验证。（过程略）
从上例的探索过程与结果可以看出，我们把三角形的面积放到面积单位这一知识的源头，打开了学生自由思维的空间，学生的探索过程不再单一，个性化想法非常丰富。
总之，在小学数学课堂上发展学生的创新意识是一个长期的、复杂的过程。学生创新意识的发展是一个由多种因素综合起作用的整体性过程。既需要有自由探索的良好氛围、充足时间及空间，还需要学生具有广博的知识面，不畏艰险、勇于探索的精神，更需要学生具有善于提出问题、发现问题的能力。因此，培养学生的创新意识，我们还有许多问题要解决，还有许多做法有待研究。
参考文献：
[1]曹培英.跨越断层，走出误区“数学课程标准”核心词的实践解读之十——创新意识[M].上海：上海教育出版社，2015.
[2]陈选峰.基于“学”的课本材料有效的开发与实践[J].教学月刊·小学版（数学），2014（6）.
（浙江省临海市邵家渡中心校 317000）