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摘要：社会养老保险基金的收支平衡问题一直是争论的话题。文章在社会发展水平同等提高的前提下，基于多重损失因素模型讨论了企事业退休人员为保证生活水平不降低应缴纳的最低数额，并作出了算例。文章利用数学建模提出了在所有人都正常退休的情况下并保证每一位退休人员生活水平与整个社会发展水平同等提高的一套方案，并确定了一个由个人、企业和国家三方负担的比例。
关键词：养老金替代率；平均缴费指数；阻滞增长模型；三方负担比例
一、引言
分分合合的养老金并轨、巨额隐形债务以及延迟退休年龄等种种议题都反映出养老金精算收支平衡的重要性。养老金的精算平衡需要考虑政策、工资水平、社会发展水平等诸多因素，但目前由于很多参数的不确定给测算带来不便。本文以山东省2000年公布的数据为例倒推出个人账户的最低缴纳额，并算出三方分担的比例。模型的拟合优度均高于0.8，理论及实践意义较强。
研究方法上，高建伟（2004）利用改进的生存年金系数模型对老人养老金、中人过渡性 养老金债务进行了精算。于洪和钟和卿（2009）在三种假设下对统筹账户和个人账户下老人、 中人和新人的收支测算模型进行了可持续性分析。以上文章采用的测算方法较为科学详尽，但鲜有文章在现行政策下探讨个 人账户最低缴纳额，且大多数文章仅将人群分为老人、中人和新人却并没有考虑到不同年龄群体的差异。本文基于此首先计算养老金最低替代率与统筹账户替代率的差值作为个人账户替代率，推出四类人群个人账户的最低缴纳额，然后针对现行养老金缺口问题测算出个人、企业和国家分担的比例。
模型上，目前较多学者采取的是建立理论模型。王青梅（2013）利用logistic阻滞模型预测山东省职工年平均工资增长情况并推算养老金缺口。刘良（2014）建立人口规模模型和养老保险收支模型进行预测。以上模型能较好地推算养老金理论缺口，但是计算并未按照现行 的计发公式，且对于工资增长率等参数假定为常数。本文对此进行优化并做出算例。 本文首先利用logistic阻滞增长模型拟合不同年龄段的工资增长函数，再参考王婧和胡国晖（2013）提出的普惠金融指数构建方法，采用反欧几里得距离构建社会发展指数，最后用二次函数模型拟合不同年龄段的工资水平计算三方分担比例进行计算。
二、模型假设
1. 预测时以2000年为基准年。
2. 假设不同主体从2014年开始领取退休金。（以2014年退休者为例）
3. 假设个体户和自由职业者在退休前每一年都会缴纳养老金且缴纳的数额相等。
4. 假设个体户和自由职业者在退休后每月领取的养老金数额都相等。
5. 不考虑名义利率在长期的变化。设名义利率恒定为2.9%。
6. 养老金替代率为59.2%时退休后的生活水平将不会明显降低。（由国务院发改委信息）
7. 依据人口寿命的增长趋势，模型假设退休后25年主体不死亡，一直可以拿到养老金。
8. 假设在问题4中个体户（非企事业单位）能够自给自足，不考虑进国家统筹的范围。
三、在岗职工年均收入预测
、
上式符合Logistic阻滞增长模型函数。拟合指数函数得p = 0.1332。拟合效果非常好。在研究企业职工的养老金问题前，另一个重要的准备就是要知道不同年龄段职工的具体工资分布情况。在此做一个基于山东省情况的算例。本文根据相关资料利用线性移动平均的方法可估计出每个年龄段的上岗职工工资。表1 列出了2000 年的工资分布参照。
《中国现代化报告（2006）》推算在2050年左右，中等发达国家的最低月收入大约将达1300美元左右（约为98280人民币），平均月收入将达到196451元人民币。同时，考虑中国的发展情况，至2000 年前，职工工资的增长是较为缓慢的，而在2000年之后却有一个较大的提升。因此我们考虑建立logistic阻滞模型。gm可以根据2000年的人均收入、2050年的预测收入196451元以及之前拟合的p值0.1332求得。然后可以对不同年龄组的工资收入进行拟合，调整得到新的函数。如以25～29岁年龄组为例，拟合函数如下：
新函数R2>0.8。据此的部分预测结果如表2所示。
四、社会发展水平指数的构建与预测
本文参考国统局参考指标与RCDI 参考指标，选取人均GDP、失业率和人均可支配收入确定社会发展水平指数的增长率。由于估计社会发展水平所选取的指标的量纲不同，本文利用变异系数加权。其经济学意义不难想象，如果一个指标离中程度越大则它对社会发展水影响越大，因此它所占到的权数也应越大。
令各指标的对应的权重为该指标变异系数占3个变异系数的权重，再将不同的指标进行归一化处理。利用Min-MaxNormalization法进行归一化能将所有的数据映射到（0，1）之间，设归一化后的数据为x*。有
由此可以根据世界银行公布的实际数据得出社会发展水平指数。2011年和2012的指标值分别0.261772和0.293635。
实践表明，社会发展指数I是接近于呈现指数的变化。但是同样考虑资源禀赋的限制， 社会发展水平不会一直指数提升，实际上它具有一个最大值，因此我们也可以将它看成 是logistic增长函数去预测它将来的变动情况。同样，利用MATLAB软件可以求得指数的增长系数为0.1513。预测函数可以写成： I（t）=
R2>0.85。模型相对可靠。
五、企事业职工养老捐纳金精算模型
职工退休时的养老金由两部分组成：基础养老金（B）和个人账户养老金（C）。假设每年缴纳的保险金额数值是一定的（设为y），那么如果考虑时间价值的话，在岗职工往个人账户中缴纳的总额Y为：
Y=y
（7）
其中，n为缴纳的年数，N为缴纳的总年限，i与ρ分别是缴纳保费当年的贴现率和通货膨胀率。需要说明的是，鉴于自2000年来通货膨胀率一直稳定在2.9%附近，因此在后面的计算中，通货膨胀率都以2.9%为标准。
基于模型假设，个人60岁退休后领取25年定额养老金。则在考虑老金替代率kg后有领取总额A：
A=kg
（8）
根据国务院【2005】38号文件规定，养老金替代率要保持59.2%以上，因此取k=59.2%。由A=Y可知在不考虑其他因素时，职工要缴纳到个人账户的最低数额为：
y=kg
/
（9）
若要使得退休后生活水平与社会发展水平同等变化，则还需要对上式各项进行加权。权重为社会发展水平指数同比ηm。其中ηm为第m年的社会发展水平指数除以基准年（2000年）的社会发展水平指数。
y=kg（
*ηm+1）/
（10）
设本人平均缴费指数为β，第j年全国在岗职工年平均工资为θj，且因为有以下关系成立：
基础养老金（B）=（上年度职工平均工资+本人指数化平均缴费工资）÷2×年限×1%
本人指数化月均缴费工资=全国上年度在岗职工平均工资×本人平均缴费指数
个人账户养老金（C）=个人账户存储额÷计发月数
则能推出：
Bj=θj（1+β）÷2×N×1%（11）
由养老金替代率的定义（第j年新退休人员的平均养老金除以同一年度在岗职工的平均工资收入）可知
k=
基础养老金的替代率kc为Bj/θj，根据既定条件，就可以得到个人账户养老金的替代率为：
kg=k-kc=59.2%-（1+β）÷2×n×1%
对于平均缴费指数β来说，在处理数据时我们假设每个年龄段的权重是相等的，且假设社会保障基数与工资额相等。用每个年龄段的年平均工资估计数额比上上一年实际平均年工资算出的值再进行算术平均得出模型中所需要的β值。将实验数据代入式（10）， 可以得到处于不同年龄的人若现在加入养老计划所需要缴纳的月保险费。25、30、35、40岁加入养老计划月需缴最低数额分别为 716.45、1027.56、1504.72、2235.36元。
六、个人、企业与国家三方负担方案
假设人群中的每一个人都从23岁开始成为劳动人口，退休年龄为60岁，并且实际就业的人都要缴纳养老保险。这样不同年龄段的参保人数就可以作为计算全国总养老金基金的收入与支出的依据。以2000年25岁、30岁、35岁、40岁的人群为基准，下分4种情况来讨论不同情况下的养老金替代率k。
要计算养老金替代率必须先算出个人账户养老金和企事业单位缴纳的社会基本养老金。 已知个人账户养老金是按照工资的8%来收取的，设个人账户养老金为C，得：
C=0.08∑st
（12）
其中st表示了不同年龄分布段职工工资随年龄段变化的函数。为了准确的估计上式子中的st，在此本文做出一个算例，以2000 年不同年龄段的工资表为准（如表1），认为工资与年龄间的函数关系接近于二次函数。因此若假设年龄为x，则二者将近似满足以下关系式：
s=ax2+bx+c+ε
基于OLS有a=-5，b=487.2，c=-1586.5。
在得知年龄与工资得函数关系之后，便可以计算具体年龄所对应的年平均工资。 以25岁、30岁、35岁、40岁的人群为例，利用个人账户养老金的公式可以计算得出这四个年龄个人账户养老金积累额分别为197330.50、144697.10、97524.92、59668.00元。
至此讨论完了个人账户养老金的积累额，接下来讨论企业缴纳的基础养老金。基础养老金与上年度在岗职工年均工资、个人指数化年均工资以及缴费年限有关。由于个人指数化平均工资等于上年度职工年均工资乘以平均年缴指数，因此只要将每个年龄的当年工资比上上一年的职工年均工资并平均得平均年缴指数，便可求得不同年龄的基础养老金。基于不同年龄的平均年缴指数为0.8514、0.9330、0.9926、1.0326。
通过计算四个年龄分别到退休前一年的基础养老金，可以得到他们的养老金账户的在退休后每年支取的数额及养老金替代率。按规定，个人和企业总共缴纳工资的28%作为养老金，因此可以根据不同年龄每一年的具体工资估计值估计退休前养老金账户的总收入。同时，也可以用个人账户按时间价值的加总加上基础养老金算出退休后养老金账户的总支出。为使每一 位缴纳养老金的人退休后的生活水平和社会发展水平同等提高，设退休后第一年领取的总养老金为α，则养老金基金的总支出为：
OUT=α
*ηm=27.71α（13）
通常养老金的收入和支出是不相等的，我们把他们的差值称为养老金缺口，这个缺口就需要国家来财政补贴才能保证我国养老金机制的正常运行。假设国家担负了养老金缺口，那么间接地我们能得出国家、企业、个人需要支付的比例。本文利用国家统计局最新公布的就业人数初步估计了处于每个年龄段的在岗职工人数。并初步假设就业者的参保率为100%。由此计算得此时国家、企业、个人三方需要支付的份额为1：2.5：5.59。
七、结论与政策启示
其一，本文以山东省2000年公布的数据为例计算出了四类不同年龄的人群应缴纳的最低 数额。由于最低数额的计算较为精确，而且可以保证退休人群在今后可以享受与社会发展水 平相适应的养老金水平，因此建议今后在缴纳养老金时可将比例法和最低数值法相结合，这 样可以兼顾公平与效率。
其二，本文在测算三方分担比例的时候发现养老金目前仍存在较大缺口，个人、企业、 国家三方分担的比例为1：2.5：5.59。因此建议为保证养老金的收支平衡，国家可以以财政拨款、延长退休年龄或者提高缴费比例等方式解决缺口问题。
参考文献：
[1]高建伟.中国隐性养老金债务精算模型及其应用研究[J].经济数学，2004（02）.
[2]刘学良.中国养老保险的收支缺口和可持续性研究[J].中国工业经济，2014（09）.
[3]王婧，胡国晖.中国普惠金融的发展评价及影响因素分析[J].金融论坛，2013（06）.
[4]王青梅.养老保险基金收支平衡预测动态分析——基于山东省企业职工工资的数学模 型[J].吕梁学院学报，2013（02）.
[5]于洪，钟和卿.中国基本养老保险制度可持续运行能力分析——来自三种模拟条件的测算[J].财经研究，2009（09）.
（作者单位：浙江工商大学）
关键词：养老金替代率；平均缴费指数；阻滞增长模型；三方负担比例
一、引言
分分合合的养老金并轨、巨额隐形债务以及延迟退休年龄等种种议题都反映出养老金精算收支平衡的重要性。养老金的精算平衡需要考虑政策、工资水平、社会发展水平等诸多因素，但目前由于很多参数的不确定给测算带来不便。本文以山东省2000年公布的数据为例倒推出个人账户的最低缴纳额，并算出三方分担的比例。模型的拟合优度均高于0.8，理论及实践意义较强。
研究方法上，高建伟（2004）利用改进的生存年金系数模型对老人养老金、中人过渡性 养老金债务进行了精算。于洪和钟和卿（2009）在三种假设下对统筹账户和个人账户下老人、 中人和新人的收支测算模型进行了可持续性分析。以上文章采用的测算方法较为科学详尽，但鲜有文章在现行政策下探讨个 人账户最低缴纳额，且大多数文章仅将人群分为老人、中人和新人却并没有考虑到不同年龄群体的差异。本文基于此首先计算养老金最低替代率与统筹账户替代率的差值作为个人账户替代率，推出四类人群个人账户的最低缴纳额，然后针对现行养老金缺口问题测算出个人、企业和国家分担的比例。
模型上，目前较多学者采取的是建立理论模型。王青梅（2013）利用logistic阻滞模型预测山东省职工年平均工资增长情况并推算养老金缺口。刘良（2014）建立人口规模模型和养老保险收支模型进行预测。以上模型能较好地推算养老金理论缺口，但是计算并未按照现行 的计发公式，且对于工资增长率等参数假定为常数。本文对此进行优化并做出算例。 本文首先利用logistic阻滞增长模型拟合不同年龄段的工资增长函数，再参考王婧和胡国晖（2013）提出的普惠金融指数构建方法，采用反欧几里得距离构建社会发展指数，最后用二次函数模型拟合不同年龄段的工资水平计算三方分担比例进行计算。
二、模型假设
1. 预测时以2000年为基准年。
2. 假设不同主体从2014年开始领取退休金。（以2014年退休者为例）
3. 假设个体户和自由职业者在退休前每一年都会缴纳养老金且缴纳的数额相等。
4. 假设个体户和自由职业者在退休后每月领取的养老金数额都相等。
5. 不考虑名义利率在长期的变化。设名义利率恒定为2.9%。
6. 养老金替代率为59.2%时退休后的生活水平将不会明显降低。（由国务院发改委信息）
7. 依据人口寿命的增长趋势，模型假设退休后25年主体不死亡，一直可以拿到养老金。
8. 假设在问题4中个体户（非企事业单位）能够自给自足，不考虑进国家统筹的范围。
三、在岗职工年均收入预测
、
上式符合Logistic阻滞增长模型函数。拟合指数函数得p = 0.1332。拟合效果非常好。在研究企业职工的养老金问题前，另一个重要的准备就是要知道不同年龄段职工的具体工资分布情况。在此做一个基于山东省情况的算例。本文根据相关资料利用线性移动平均的方法可估计出每个年龄段的上岗职工工资。表1 列出了2000 年的工资分布参照。
《中国现代化报告（2006）》推算在2050年左右，中等发达国家的最低月收入大约将达1300美元左右（约为98280人民币），平均月收入将达到196451元人民币。同时，考虑中国的发展情况，至2000 年前，职工工资的增长是较为缓慢的，而在2000年之后却有一个较大的提升。因此我们考虑建立logistic阻滞模型。gm可以根据2000年的人均收入、2050年的预测收入196451元以及之前拟合的p值0.1332求得。然后可以对不同年龄组的工资收入进行拟合，调整得到新的函数。如以25～29岁年龄组为例，拟合函数如下：
新函数R2>0.8。据此的部分预测结果如表2所示。
四、社会发展水平指数的构建与预测
本文参考国统局参考指标与RCDI 参考指标，选取人均GDP、失业率和人均可支配收入确定社会发展水平指数的增长率。由于估计社会发展水平所选取的指标的量纲不同，本文利用变异系数加权。其经济学意义不难想象，如果一个指标离中程度越大则它对社会发展水影响越大，因此它所占到的权数也应越大。
令各指标的对应的权重为该指标变异系数占3个变异系数的权重，再将不同的指标进行归一化处理。利用Min-MaxNormalization法进行归一化能将所有的数据映射到（0，1）之间，设归一化后的数据为x*。有
由此可以根据世界银行公布的实际数据得出社会发展水平指数。2011年和2012的指标值分别0.261772和0.293635。
实践表明，社会发展指数I是接近于呈现指数的变化。但是同样考虑资源禀赋的限制， 社会发展水平不会一直指数提升，实际上它具有一个最大值，因此我们也可以将它看成 是logistic增长函数去预测它将来的变动情况。同样，利用MATLAB软件可以求得指数的增长系数为0.1513。预测函数可以写成： I（t）=
R2>0.85。模型相对可靠。
五、企事业职工养老捐纳金精算模型
职工退休时的养老金由两部分组成：基础养老金（B）和个人账户养老金（C）。假设每年缴纳的保险金额数值是一定的（设为y），那么如果考虑时间价值的话，在岗职工往个人账户中缴纳的总额Y为：
Y=y
（7）
其中，n为缴纳的年数，N为缴纳的总年限，i与ρ分别是缴纳保费当年的贴现率和通货膨胀率。需要说明的是，鉴于自2000年来通货膨胀率一直稳定在2.9%附近，因此在后面的计算中，通货膨胀率都以2.9%为标准。
基于模型假设，个人60岁退休后领取25年定额养老金。则在考虑老金替代率kg后有领取总额A：
A=kg
（8）
根据国务院【2005】38号文件规定，养老金替代率要保持59.2%以上，因此取k=59.2%。由A=Y可知在不考虑其他因素时，职工要缴纳到个人账户的最低数额为：
y=kg
/
（9）
若要使得退休后生活水平与社会发展水平同等变化，则还需要对上式各项进行加权。权重为社会发展水平指数同比ηm。其中ηm为第m年的社会发展水平指数除以基准年（2000年）的社会发展水平指数。
y=kg（
*ηm+1）/
（10）
设本人平均缴费指数为β，第j年全国在岗职工年平均工资为θj，且因为有以下关系成立：
基础养老金（B）=（上年度职工平均工资+本人指数化平均缴费工资）÷2×年限×1%
本人指数化月均缴费工资=全国上年度在岗职工平均工资×本人平均缴费指数
个人账户养老金（C）=个人账户存储额÷计发月数
则能推出：
Bj=θj（1+β）÷2×N×1%（11）
由养老金替代率的定义（第j年新退休人员的平均养老金除以同一年度在岗职工的平均工资收入）可知
k=
基础养老金的替代率kc为Bj/θj，根据既定条件，就可以得到个人账户养老金的替代率为：
kg=k-kc=59.2%-（1+β）÷2×n×1%
对于平均缴费指数β来说，在处理数据时我们假设每个年龄段的权重是相等的，且假设社会保障基数与工资额相等。用每个年龄段的年平均工资估计数额比上上一年实际平均年工资算出的值再进行算术平均得出模型中所需要的β值。将实验数据代入式（10）， 可以得到处于不同年龄的人若现在加入养老计划所需要缴纳的月保险费。25、30、35、40岁加入养老计划月需缴最低数额分别为 716.45、1027.56、1504.72、2235.36元。
六、个人、企业与国家三方负担方案
假设人群中的每一个人都从23岁开始成为劳动人口，退休年龄为60岁，并且实际就业的人都要缴纳养老保险。这样不同年龄段的参保人数就可以作为计算全国总养老金基金的收入与支出的依据。以2000年25岁、30岁、35岁、40岁的人群为基准，下分4种情况来讨论不同情况下的养老金替代率k。
要计算养老金替代率必须先算出个人账户养老金和企事业单位缴纳的社会基本养老金。 已知个人账户养老金是按照工资的8%来收取的，设个人账户养老金为C，得：
C=0.08∑st
（12）
其中st表示了不同年龄分布段职工工资随年龄段变化的函数。为了准确的估计上式子中的st，在此本文做出一个算例，以2000 年不同年龄段的工资表为准（如表1），认为工资与年龄间的函数关系接近于二次函数。因此若假设年龄为x，则二者将近似满足以下关系式：
s=ax2+bx+c+ε
基于OLS有a=-5，b=487.2，c=-1586.5。
在得知年龄与工资得函数关系之后，便可以计算具体年龄所对应的年平均工资。 以25岁、30岁、35岁、40岁的人群为例，利用个人账户养老金的公式可以计算得出这四个年龄个人账户养老金积累额分别为197330.50、144697.10、97524.92、59668.00元。
至此讨论完了个人账户养老金的积累额，接下来讨论企业缴纳的基础养老金。基础养老金与上年度在岗职工年均工资、个人指数化年均工资以及缴费年限有关。由于个人指数化平均工资等于上年度职工年均工资乘以平均年缴指数，因此只要将每个年龄的当年工资比上上一年的职工年均工资并平均得平均年缴指数，便可求得不同年龄的基础养老金。基于不同年龄的平均年缴指数为0.8514、0.9330、0.9926、1.0326。
通过计算四个年龄分别到退休前一年的基础养老金，可以得到他们的养老金账户的在退休后每年支取的数额及养老金替代率。按规定，个人和企业总共缴纳工资的28%作为养老金，因此可以根据不同年龄每一年的具体工资估计值估计退休前养老金账户的总收入。同时，也可以用个人账户按时间价值的加总加上基础养老金算出退休后养老金账户的总支出。为使每一 位缴纳养老金的人退休后的生活水平和社会发展水平同等提高，设退休后第一年领取的总养老金为α，则养老金基金的总支出为：
OUT=α
*ηm=27.71α（13）
通常养老金的收入和支出是不相等的，我们把他们的差值称为养老金缺口，这个缺口就需要国家来财政补贴才能保证我国养老金机制的正常运行。假设国家担负了养老金缺口，那么间接地我们能得出国家、企业、个人需要支付的比例。本文利用国家统计局最新公布的就业人数初步估计了处于每个年龄段的在岗职工人数。并初步假设就业者的参保率为100%。由此计算得此时国家、企业、个人三方需要支付的份额为1：2.5：5.59。
七、结论与政策启示
其一，本文以山东省2000年公布的数据为例计算出了四类不同年龄的人群应缴纳的最低 数额。由于最低数额的计算较为精确，而且可以保证退休人群在今后可以享受与社会发展水 平相适应的养老金水平，因此建议今后在缴纳养老金时可将比例法和最低数值法相结合，这 样可以兼顾公平与效率。
其二，本文在测算三方分担比例的时候发现养老金目前仍存在较大缺口，个人、企业、 国家三方分担的比例为1：2.5：5.59。因此建议为保证养老金的收支平衡，国家可以以财政拨款、延长退休年龄或者提高缴费比例等方式解决缺口问题。
参考文献：
[1]高建伟.中国隐性养老金债务精算模型及其应用研究[J].经济数学，2004（02）.
[2]刘学良.中国养老保险的收支缺口和可持续性研究[J].中国工业经济，2014（09）.
[3]王婧，胡国晖.中国普惠金融的发展评价及影响因素分析[J].金融论坛，2013（06）.
[4]王青梅.养老保险基金收支平衡预测动态分析——基于山东省企业职工工资的数学模 型[J].吕梁学院学报，2013（02）.
[5]于洪，钟和卿.中国基本养老保险制度可持续运行能力分析——来自三种模拟条件的测算[J].财经研究，2009（09）.
（作者单位：浙江工商大学）